顧 鵬， 喬琛凱， 林興德， 劉書魁， 杜 強(qiáng)， 幸浩洋， 唐昌建

(四川大學(xué)物理學(xué)院， 成都 610064)

1 引 言

大量研究表明，人們所觀測(cè)到的可見物質(zhì)在宇宙中只占了5%左右，還有27%的物質(zhì)并不了解, 這些物質(zhì)幾乎不參與人們所知的所有相互作用，卻又在宇宙中扮演著重要角色，我們稱之為暗物質(zhì)[1-3]，剩余68%則是暗能量. 在探測(cè)暗物質(zhì)的過程中，暗物質(zhì)事件是稀少的，即使探測(cè)到暗物質(zhì)信號(hào)也會(huì)被淹沒在無數(shù)的本底信號(hào)中，尤其是gamma以及中子信號(hào)[4].這些信號(hào)無法完全屏蔽，只能通過能譜分析將其排除，因此必須研究清楚這些已知粒子的能譜構(gòu)成，才能有效篩選出我們想要的信號(hào). 也因此在暗物質(zhì)探測(cè)中，理解本底并消除本底至關(guān)重要[5].

低能區(qū)的本底能譜結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對(duì)于光子能譜，在低能部分的康普頓能譜受到原子結(jié)構(gòu)影響很大，因此研究低能康普頓散射對(duì)解析低能本底有重要作用[6]. 我們研究了康普頓散射在模擬軟件中的過程，不但有助于實(shí)驗(yàn)進(jìn)行，還能通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證模擬的不足，從而改進(jìn)模擬的效率和正確性，推進(jìn)實(shí)驗(yàn)進(jìn)程.

在粒子物理和和物理實(shí)驗(yàn)方法中，經(jīng)典康普頓散射理論假設(shè)電子是自由電子，并且假設(shè)電子在碰撞前處于靜止?fàn)顟B(tài)，微分截面由Klein-Nishina公式給出[7]. 然而實(shí)際上原子中的電子并非是自由的，這些電子被束縛在原子殼層中，不但會(huì)受到原子核的束縛以及其他電子影響，并且還帶有一定的動(dòng)量. 原子的束縛效應(yīng)和束縛電子的運(yùn)動(dòng)都會(huì)對(duì)康普頓能譜產(chǎn)生較大影響，在低動(dòng)量傳遞下的康普頓散射中表現(xiàn)得尤為明顯. 因此在低動(dòng)量傳遞的康普頓散射中，經(jīng)典康普頓散射理論已經(jīng)不再適用. 本文通過模擬來研究低能區(qū)的康普頓散射，探究原子的束縛效應(yīng)對(duì)康普頓散射的影響.

2 原子康普頓散射理論

康普頓散射是描述光子與自由電子之間的碰撞而產(chǎn)生的散射效應(yīng)，經(jīng)典Klein-Nishina理論中的微分截面用如下公式進(jìn)行計(jì)算，

其中, ωf是出射光子能量，ωi是入射光子能量，θ是對(duì)應(yīng)的散射角，r0是經(jīng)典電子半徑. 經(jīng)典康普頓散射能譜如圖1所示.

圖1 模擬經(jīng)典康普頓散射能譜，橫軸為光子在鍺探測(cè)器中的沉積能量Fig.1 Classical Compton scattering spectrum in simulation, the x-axis is the deposition energy in germanium detector

然而在實(shí)際探測(cè)中必須考慮在低動(dòng)量傳遞下束縛電子的對(duì)康普頓散射的影響，為了描述這一影響，人們已經(jīng)發(fā)展出來一些新方法. 這些方法中，具有代表性的是Impulse Approximation(IA)理論[8]，在這種理論框架下，康普頓散射微分截面通過一個(gè)叫做散射函數(shù)的因子進(jìn)行修正.

散射函數(shù)是描述在康普頓效應(yīng)中實(shí)際參與過程的等效電子數(shù)，該函數(shù)與兩個(gè)參數(shù)有關(guān)，一個(gè)是初始光子能量，另一個(gè)是康普頓散射角. 雖然散射函數(shù)依賴兩個(gè)變量，但是在計(jì)算中不需要分別處理兩個(gè)變量，可以將其轉(zhuǎn)變成一個(gè)單獨(dú)變量x.

x相當(dāng)于動(dòng)量傳遞，因此研究低動(dòng)量傳遞的康普頓效應(yīng)實(shí)際上需要做的就是讓入射光子能量盡量低，散射角度盡量小.

3 康普頓散射模擬

3.1 康普頓散射模擬算法

本文采用Geant4.10.3進(jìn)行模擬工作，該軟件對(duì)于模擬實(shí)驗(yàn)具有很高的指導(dǎo)價(jià)值，其中關(guān)于康普頓效應(yīng)，該軟件建立了幾個(gè)模擬低動(dòng)量轉(zhuǎn)移康普頓效應(yīng)的算法模型，分別是Livermore模型[9]、Penelope模型[10]、Monash模型[11]以及經(jīng)典康普頓效應(yīng)模型. 前三個(gè)模型就是以IA理論作為框架而設(shè)計(jì)的幾種算法模型.

軟件中Livermore模型是建立在IA理論上的兩體碰撞，只有一個(gè)散射平面，處理散射函數(shù)時(shí)，使用了Hubbell的理論計(jì)算數(shù)據(jù)[11]，并用解析函數(shù)進(jìn)行了擬合，將Hubbell的數(shù)據(jù)連續(xù)化. Monash模型是由澳大利亞的Monash大學(xué)設(shè)計(jì)，他們將粒子的運(yùn)動(dòng)分解為三維運(yùn)動(dòng)，粒子不局限于一個(gè)散射平面，而散射函數(shù)的處理方法與Livermore模型相同. Penelope模型是根據(jù)阿根廷科爾多瓦大學(xué)的算法進(jìn)行設(shè)計(jì)的，對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的處理與Livermore模型相同，散射函數(shù)則是通過插值法將Hubbell的計(jì)算數(shù)據(jù)連續(xù)化. 三個(gè)模型在光子能量適用范圍上都是100 eV～100 GeV，能量低于100 eV時(shí)，散射函數(shù)設(shè)為0.

3.2 康普頓散射模擬設(shè)置

為了模擬真實(shí)的低動(dòng)量轉(zhuǎn)移康普頓散射實(shí)驗(yàn)，我們用高純鍺作為主探測(cè)器，它的直徑與高都是1 cm的圓柱體，以CsI晶體閃爍體作為符合探測(cè)器，用來收集康普頓散射光子. 假設(shè)周圍環(huán)境是真空環(huán)境，以減小空氣對(duì)光子的散射而產(chǎn)生的誤差，為使模擬更簡(jiǎn)便，將入射粒子設(shè)計(jì)成點(diǎn)源并固定為同一發(fā)射方向，入射光子能量為300 keV. 當(dāng)光子在高純鍺探測(cè)器中發(fā)生康普頓散射后，電子會(huì)在高純鍺內(nèi)沉積能量，光子有機(jī)會(huì)不再發(fā)生其他相互作用而穿過探測(cè)器，然后被CsI閃爍體探測(cè)器收集到.

3.3 康普頓散射模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖2為模擬的所有在高純鍺探測(cè)器中發(fā)生康普頓散射的能譜. 從模擬結(jié)果上來看，在低能區(qū)域經(jīng)典康普頓散射與修正后的康普頓散射有明顯差距. IA框架下的康普頓散射在低能區(qū)都有臺(tái)階出現(xiàn)，如圖2(a)所示，并且臺(tái)階所對(duì)應(yīng)的能量等于電子的電離能.而經(jīng)典康普頓散射并未有臺(tái)階出現(xiàn), 說明經(jīng)典康普頓散射并未考慮在能量接近原子中電子電離能時(shí)束縛態(tài)對(duì)電子的影響. 在康普頓散射中電子的多體效應(yīng)非常明顯，使得在低能區(qū)實(shí)際參與過程的電子并非原子中全部的電子. 在康普頓散射邊緣，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)典康普頓散射是截?cái)嗟模措娮泳哂袆?dòng)量這個(gè)特征不能表現(xiàn)出來. 而在模擬中，修正后的康普頓散射能譜則表現(xiàn)出了這些信息. 由此可見，當(dāng)想要真正的暗物質(zhì)信號(hào)時(shí)，必須完全了解低能本底的構(gòu)成.

圖2(a)中，Livermore模型和Monash模型的主要區(qū)別在散射粒子運(yùn)動(dòng)學(xué)的處理上，從模擬結(jié)果上可以看出能譜幾乎重合，只有極小的差別，并且總的康普頓事例一致，這也說明電子三維的運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)能譜影響小. 當(dāng)我們關(guān)注低能區(qū)部分時(shí)，也就是接近鍺原子的束縛能時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)Monash模型能譜在低能部分康普頓事例比Livermore模型多許多，已經(jīng)超出蒙特卡洛模擬的統(tǒng)計(jì)誤差，如圖2(b)所示. 對(duì)于Livermore模型，由于它是二維運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，在處理散射角時(shí)只對(duì)極角θ進(jìn)行取樣，而方位角φ當(dāng)做0. Monash模型是對(duì)極角θ和方位角φ都進(jìn)行了取樣. 因此Monash模型的康普頓事例也就與Livermore模型不同，它們的差異在低能部分比較明顯. Penelope模型對(duì)于康普頓散射的處理依賴于能區(qū)，入射光子能量高于5 MeV采用Klein-Nishina方法，而低于5 MeV的入射光子，則采用插值法獲得散射函數(shù)值.這個(gè)模型運(yùn)動(dòng)學(xué)處理依然是限定在二維的散射平面，結(jié)果與Livermore模型相近. 經(jīng)過計(jì)算，能量在原子k能級(jí)(0.011 keV)時(shí)，臺(tái)階的高度比例分別是95.92%、92.87%和96.68%，但只考慮束縛電子時(shí)，這個(gè)比例應(yīng)該為93.75%.從圖中可以看到，在低能部分三個(gè)模型的差異約有10%.

圖2 三個(gè)模型的康普頓散射能譜: (a)對(duì)數(shù)坐標(biāo)康普頓散射能譜; (b)線性坐標(biāo)康普頓能譜

Fig.2 Compton scattering spectrum about three model: (a) logarithmic coordinates Compton spectrum; (b) linear coordinates Compton spectrum

4 結(jié) 論

本文通過Geant4模擬軟件研究了暗物質(zhì)探測(cè)中的康普頓散射背景. 在IA框架下，利用三種模擬算法：Livermore模型、Penelope模型和Monash模型進(jìn)行了模擬實(shí)驗(yàn). 模擬結(jié)果顯示，與經(jīng)典康普頓散射模型相比，IA框架下的模型在低能區(qū)均有康普頓臺(tái)階出現(xiàn)，說明在IA理論下原子的束縛效應(yīng)已經(jīng)被考慮進(jìn)模型中. 經(jīng)過比較模型之間的差異，發(fā)現(xiàn)三者在全角度康普頓散射能譜中，高能區(qū)能譜差異并不明顯，而低能區(qū)差異較為明顯，高度大約有10%的差異. 在鍺原子k殼層能級(jí)處，三個(gè)模型的臺(tái)階比例分別為95.92%、92.87%和96.68%. 低能區(qū)10%的差異可以通過高純鍺探測(cè)器探測(cè)，并給出較為準(zhǔn)確的結(jié)果，因此可以通過設(shè)計(jì)一個(gè)低能康普頓散射實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證模型的優(yōu)劣.