王 超，孫長青，張 凱，張小輝

（沈陽工程學(xué)院a.機械學(xué)院；b.學(xué)報編輯部；c.工程訓(xùn)練中心，遼寧 沈陽 110136）

為了適應(yīng)重工業(yè)核心技術(shù)的發(fā)展，齒輪設(shè)計、制造及優(yōu)化需要滿足重載、高速、大功率、高精密、輕質(zhì)量的技術(shù)要求，同時齒輪傳動也向著平穩(wěn)、可靠、噪音低、壽命長的方向發(fā)展。漸開線斜齒輪嚙合是齒輪傳動的最廣泛形式之一，凸面與凹面相接處的形式使傳動具有傳動平穩(wěn)、效率高、傳動比穩(wěn)定、結(jié)構(gòu)緊湊、壽命長等優(yōu)點。由于齒輪的工作條件異常復(fù)雜，導(dǎo)致齒輪傳動的故障率較高，而齒輪失效所占比率為65%左右，因此齒輪的失效形式備受業(yè)界關(guān)注，提高齒輪的質(zhì)量迫在眉睫。

國內(nèi)外許多學(xué)者對齒輪接觸問題進行了深入研究。TSENG J 和OLSON M D 提出了混合有限元方法來解決接觸問題，該方法以接觸內(nèi)力作為未知量基本部分，將整個總剛度矩系統(tǒng)矩陣凝聚到接觸的邊界，從而形成接觸內(nèi)力的方程和柔度，縮短了計算時間［1］。李潤方等將材料線性和非線性相關(guān)聯(lián)，提出了接觸有限元混合法的計算單元［2-4］。LITVIN F L 等人提出了二維彈性接觸問題的單元法，為三維接觸問題和熱彈性問題發(fā)展奠定了基礎(chǔ)［5］。上述研究成果為齒輪接觸特性的分析數(shù)值提供了相關(guān)的理論基礎(chǔ)。但齒輪嚙合過程中的載荷無規(guī)律變化和應(yīng)力隨機變化導(dǎo)致計算難度大，計算結(jié)果不夠準(zhǔn)確。為了研究齒輪嚙合過程，本文以嚙合理論為基礎(chǔ)，利用有限元方法對齒輪嚙合過程進行仿真模擬，通過對齒輪嚙合的靜力學(xué)和動力學(xué)分析，得出斜齒輪一個嚙合周期內(nèi)的應(yīng)力變化情況，為防止齒輪失效提供依據(jù)。

1 有限元模型及邊界條件

選取一對GB/T19406-2003 型漸開線圓柱斜齒輪為模型，其參數(shù)如表1 所示。齒輪模型的材料為鍛鋼，彈性模量為211 GPa，密度為7 300 kg/m3，泊松比為0.277。采用4 節(jié)點平面實體單元進行映射網(wǎng)格劃分，對主動齒輪施加扭矩，切向力均勻分布在主動齒輪內(nèi)圈上，約束主動齒輪內(nèi)圈所有節(jié)點的徑向和軸向的自由度。此外，從動大齒輪內(nèi)圈所有節(jié)點施加全約束。

表1 斜齒輪的建模參數(shù)表

2 漸開線圓柱斜齒輪的靜力學(xué)分析

2.1 靜力學(xué)接觸分析

在有限元靜力學(xué)求解過程中，默認選擇罰函數(shù)法，接觸剛度值默認為1。計算斜齒輪嚙合的過程存在很大的穿透量，通過調(diào)節(jié)接觸剛度值，使穿透值在合理的區(qū)間內(nèi)，得到接觸剛度與穿透量、接觸壓力、等效應(yīng)力關(guān)系，如表2所示。

表2 穿透量、接觸壓力、等效應(yīng)力隨接觸剛度變化的數(shù)值表

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，應(yīng)用Origin圖表軟件得到Penetration隨Normal Stiffness變化曲線，Pressure 隨Normal Stiffness 變化曲線，Equivalent Stress隨Normal Stiffness變化曲線，分別如圖1、圖2和圖3所示。

由圖1、圖2 和圖3 可知，隨著 Normal Stiffness值變大，Penetration 值變小，而 Pressure、Equivalent Stress 值增大，但是不能無限制增大Normal Stiffness 值。如果Normal Stiffness 值過大，會增加計算量，導(dǎo)致無法收斂。查閱有限元手冊，Equivalent Stress 經(jīng)驗比值數(shù)小于3%～5%。由表2 可知，當(dāng)Normal Stiffness 的取值為 5 時，Penetration 值達到10-7級，達到標(biāo)準(zhǔn)計算要求。

圖1 Penetration隨Normal Stiffness變化曲線

圖2 Pressure隨Normal Stiffness變化曲線

圖3 Equivalent Stress隨Normal Stiffness變化曲線

2.2 靜力學(xué)結(jié)果分析

在結(jié)構(gòu)計算中，將一對漸開線斜齒輪定義為轉(zhuǎn)動副，被動齒輪軸向固定，主動齒輪施加極限工況條件下的驅(qū)動力矩，使用Contact Tool 命令檢查齒輪接觸的穿透量和間隙，通過靜力學(xué)分析求解，得到 Total Deformation和Equivalent Stress，如圖4 和圖5所示。

圖4 總變形

圖5 等效應(yīng)力及最大應(yīng)力位置

由圖4 可知，齒輪嚙合在仿真條件下Total Deformation 的數(shù)量級為10-5，齒頂在交變應(yīng)力作用下的變形比較嚴(yán)重，容易磨損或折斷。

由圖5 可知，Maximum Stress 發(fā)生在齒輪的尖端位置達到了785 MPa，但由于齒輪制造過程沒有尖端點，都是圓角過渡，整個齒輪模型的靜力學(xué)分析結(jié)果可能是由額外應(yīng)力造成的。

3 漸開線圓柱斜齒輪的動力學(xué)接觸分析及結(jié)果

在齒輪動力學(xué)仿真中，大多數(shù)學(xué)者采用Adams Impact接觸模塊對齒輪進行接觸調(diào)整和計算，因為Impact 適應(yīng)范圍較廣，且計算處理速度快。但是，Impact 存在很大的缺陷，它基于計算機圖形理論，判斷計算圖形的接觸面積進一步生成接觸力的數(shù)值，這就對接觸區(qū)域具有精確輪廓要求。然而，大多數(shù)仿真軟件在導(dǎo)入曲線方程時生成離散點，通過折線連接擬合生產(chǎn)輪廓曲面，這就導(dǎo)致與真實接觸存在誤差，因此可能造成極端的結(jié)果，如圖6所示。

圖6 線性擬合輪廓與真實輪廓存在的誤差

由圖6可知：

1）通過折線連接，存在尖端點導(dǎo)致計算接觸力會出現(xiàn)一個很大的峰值，然后真實輪廓為曲線過渡連接，造成計算結(jié)果比理論數(shù)值偏大；

2）折線擬合的輪廓計算結(jié)果未接觸，然而真實輪廓已經(jīng)接觸，擬合輪廓小于真實輪廓，造成計算接觸力數(shù)值偏小，如圖6中的a圖所示；

3）通過折線連接離散點，進一步線性擬合，擬合結(jié)果判斷接觸，然而真實輪廓并沒有接觸，擬合輪廓大于真實輪廓，造成計算接觸力數(shù)值偏大，如圖6中的b圖所示。

圖7 為斜齒輪一個嚙合周期過程中單齒嚙合、雙齒嚙入、雙齒嚙合、雙齒嚙出、單齒嚙合位置的等效應(yīng)力云圖。分析各嚙合位置的最大接觸應(yīng)力，應(yīng)力計算結(jié)果如表3所示。

圖7 不同時刻各嚙合位置的最大接觸應(yīng)力

表3 各嚙合位置的最大接觸應(yīng)力

圖7 中，a 圖為斜齒輪副單齒嚙合時的等效應(yīng)力云圖，最大接觸應(yīng)力為261.13 MPa；b 圖和d 圖為齒輪嚙入、嚙出位置的等效應(yīng)力云圖，由于齒輪存在彈性變形和軸向竄動導(dǎo)致接觸區(qū)發(fā)生干涉，被動齒輪嚙入、嚙出時齒頂與主動齒輪齒面發(fā)生穿透，最大接觸應(yīng)力為317.69 MPa和266.53 MPa，是整個嚙合周期接觸應(yīng)力的最大值，由此可見，齒輪嚙入時產(chǎn)生最大接觸應(yīng)力；c 圖為齒輪雙齒嚙合時的等效應(yīng)力云圖，由于雙齒共同承擔(dān)接觸壓力，此時為整個嚙合周期的接觸應(yīng)力最小值，最小接觸應(yīng)力為232.75 MPa；e 圖為齒輪單齒嚙合時的等效應(yīng)力云圖，最大接觸應(yīng)力為259.16 MPa，與圖a 圖的最大接觸應(yīng)力值近似相等。

對于一對漸開線圓柱斜齒輪來說，齒輪的受力變形導(dǎo)致齒輪面接觸區(qū)同時沿軸向和法向產(chǎn)生偏移，嚙合點偏離嚙合線上理論嚙合點，造成齒輪在嚙入、嚙出過程中齒頂干涉，使接觸應(yīng)力急劇上升，嚴(yán)重的嚙合沖擊會造成輪齒折斷，降低齒輪的使用壽命。在實際生產(chǎn)中，通過調(diào)整齒輪頂隙系數(shù)和齒頂修形的方法來避免齒頂干涉現(xiàn)象的發(fā)生。

4 結(jié) 論

1）本文采用有限元方法對漸開線圓柱斜齒輪進行靜力學(xué)接觸分析，由圖1、圖2和圖3分析可知，隨著 Normal Stiffness 值變大，Penetration 值變小，而Pressure、Equivalent Stress值增大，但是不能無限制增大Normal Stiffness 值。如果Normal Stiffness值過大，會增加計算量，導(dǎo)致無法收斂。

2）建立動力學(xué)模型，對其進行動力學(xué)接觸分析，得到斜齒輪一個嚙合周期的接觸應(yīng)力云圖。由應(yīng)力云圖分析可知，整個嚙合周期接觸應(yīng)力最大值為317.69 MPa，發(fā)生在齒輪嚙入時。齒輪的受力變形導(dǎo)致齒輪面接觸區(qū)同時沿軸向和法向產(chǎn)生偏移，嚙合點偏離嚙合線上的理論嚙合點，造成齒輪在嚙入、嚙出過程中齒頂干涉，使接觸應(yīng)力急劇上升，嚴(yán)重的嚙合沖擊會造成輪齒折斷。