變換
——讓拋物線演繹新的精彩

文 崔恒劉

平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換，近年來，它們攜手拋物線，共同演繹了新的精彩。

一、平移

例1（2019·山東淄博）將二次函數(shù)y=x2-4x+a的圖像向左平移1個單位，再向上平移1個單位。若得到的函數(shù)圖像與直線y=2有兩個交點，則a的取值范圍是（ ）。

A.a＞3 B.a＜3 C.a＞5 D.a＜5

【解析】我們應(yīng)先利用配方法將y=x2-4x+a化為頂點式，即y=x2-4x+a=（x-2）2-4+a，得頂點坐標(biāo)為（2，-4+a）。圖像向左平移1個單位，再向上平移1個單位，則其頂點為（1，-3+a），因此得到的函數(shù)解析式為y=（x-1）2-3+a=x2-2x+a-2。再將y=2代入，得 2=x2-2x+a-2，即x2-2x+a-4=0。由題意“函數(shù)圖像與直線y=2有兩個交點”，所以Δ=4-4（a-4）＞0，解得a＜5。故選D。

【點評】幾何圖形平移變換后，改變的只是位置，而形狀、大小都沒有變。對于二次函數(shù)拋物線而言，平移不改變拋物線的開口方向、大?。ǘ雾椣禂?shù)不變）。同學(xué)們解題時要抓住拋物線平移的關(guān)鍵——頂點，由頂點的平移判斷整個拋物線的平移，據(jù)此求出函數(shù)解析式。

二、翻折

例2（2019·四川資陽）圖1是函數(shù)y=x2-2x-3（0≤x≤4）的圖像，直線l∥x軸且過點（0，m），將該函數(shù)在直線l上方的圖像沿直線l向下翻折，在直線l下方的圖像保持不變，得到一個新圖像。若新圖像對應(yīng)的函數(shù)的最大值與最小值之差不大于5，則m的取值范圍是（ ）。

圖1

A.m≥1 B.m≤0

C.0≤m≤1 D.m≥1或m≤0

【解析】已知圖像是二次函數(shù)y=x2-2x-3上的一部分。我們先求出圖像上的關(guān)鍵點：由y=（x-1）2-4，得其頂點坐標(biāo)為（1，-4）。當(dāng)x=0時，y=-3，所以A（0，-3）；當(dāng)x=4時，y=5，所以C（4，5）。

直線l與x軸平行，移動直線l，觀察：當(dāng)m=0時，如圖2所示，D（4，-5），此時最大值為0，最小值為-5；當(dāng)m=1時，如圖3所示，此時最小值為-4，最大值為1；當(dāng)1＜m＜5時，最大值與最小值之差大于5，不合題意。綜上所述：0≤m≤1，故選C。

圖2

圖3

【點評】此題將幾何變換的翻折引入二次函數(shù)的問題中，解題時我們應(yīng)結(jié)合函數(shù)圖像，借助幾何直觀，不斷嘗試操作，改變動直線的位置，找出最大值和最小值的差剛好為5的m的臨界值。

三、旋轉(zhuǎn)

例3（2019·遼寧大連）把函數(shù)C1：y=ax2-2ax-3a（a≠0）的圖像繞點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，得到新函數(shù)C2的圖像，我們稱C2是C1關(guān)于點P的相關(guān)函數(shù)。C2的圖像的對稱軸與x軸交點坐標(biāo)為（t，0）。

（1）填空：t的值為________；（用含m的代數(shù)式表示。）

（2）若a=-1，當(dāng)時，函數(shù)C1的最大值為y1，最小值為y2，且y1-y2=1，求C2的解析式；

（3）當(dāng)m=0時，C2的圖像與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸相交于點D。把線段AD繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到它的對應(yīng)線段A′D′，若線段A′D′與C2的圖像有公共點，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍。

【解析】（1）C1：y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，頂點（1，-4a）繞點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°的對稱點為（2m-1，4a），C2：y=-a（x-2m+1）2+4a，函數(shù)的對稱軸為x=2m-1，所以t=2m-1，故填2m-1。

（2）當(dāng)a=-1時，C1：y=-（x-1）2+4。

①當(dāng)時，則時，有最小值時，有最大值y1=-（t-1）2+4，則，無解。

②當(dāng)時，則x=1時，有最大值y1=時，有最小值（舍去）。

③當(dāng)時，則x=1時，有最大值y1=4；x=t時，有最小值y2=-（t-1）2+4，則y1-y2=（t-1）2=1，解得t1=0（舍去），t2=2。

故C2：y=（x-2）2-4=x2-4x。

（3）m=0，C2：y=-a（x+1）2+4a。

則各點坐標(biāo)分別是A（1，0）、B（-3，0）、D（0，3a）、A′（0，1）、D′（-3a，0）。

當(dāng)a＞0時，a越大，則OD越大，點D′越靠左。

當(dāng)C2過點A′時，y=-a（0+1）2+4a=1，解得當(dāng)C2過點D′時，同理可得a=1，故或a≥1。

當(dāng)a＜0時，當(dāng)C2過點D′時，-3a=1，解得，故。

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及中心對稱，圖形全等，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)等，綜合性強，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)。