1 研究的源由

貴刊2019年第9期《通法求“Aan+Bbn”型結(jié)構(gòu)的最小值》（文[1]）一文中，作者利用二項(xiàng)式定理與均值不等式，對(duì)下列5個(gè)結(jié)構(gòu)一致的問(wèn)題進(jìn)行研究.

題目 若正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1，求：

（1）1a+2b的最小值;（2）1a2+2b2的最小值;（3）1a3+2b3的最小值;（4）1a4+2b4的最小值;（5）1a5+2b5的最小值.

并從中得到一個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1 若正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1，則Aan+Bbn （A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值為（n+1A+n+1B）n+1，當(dāng)且僅當(dāng)Ban+1=Abn+1時(shí)取到.

在結(jié)論1的基礎(chǔ)上，文[1]再給出型如“Aan+Bbn”結(jié)構(gòu)的更一般形式（結(jié)論2）及一個(gè)變形問(wèn)題：

結(jié)論2 若正數(shù)a，b滿(mǎn)足pa+qb=d，則Aan+Bbn （p>0，q>0，d>0，A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值為1dn（pn+1A+qn+1B）n+1，當(dāng)且僅當(dāng)Bpan+1=Aqbn+1時(shí)取到.

變形問(wèn)題 若正數(shù)a，b滿(mǎn)足Aa+Bb=d，則pan+qbn （p>0，q>0，d>0，A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值為何？

文[1]中的上述問(wèn)題與各個(gè)結(jié)論的形式優(yōu)美，引起筆者的興趣，也對(duì)此進(jìn)行探究，得到一個(gè)簡(jiǎn)潔的統(tǒng)一證法，并發(fā)現(xiàn)文[1]的結(jié)論2所得的最小值有誤.特意成文，與讀者分享.

2 兩種證法的比較

為了比較不同證法之間的差異，將文[1]中結(jié)論1的證明摘錄如下：

參考文獻(xiàn)

[1] 金霞，杜文發(fā).通法求“Aan+Bbn”型結(jié)構(gòu)的最小值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（9）：41-43.

[2] 林國(guó)紅.一道“希望杯”賽題的七種解法[J].數(shù)理天地（高中版），2020（1）：26-27.

作者簡(jiǎn)介

林國(guó)紅（1977—），男，廣東佛山人.中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師，大學(xué)本科學(xué)歷，研究方向：數(shù)學(xué)教育.發(fā)表教學(xué)論文60余篇.