張羽 于世章
高考數(shù)學(xué)的考試時(shí)間是兩個(gè)小時(shí),規(guī)定時(shí)間內(nèi),考生要完成22個(gè)必做題(8個(gè)單選,4個(gè)多選,4個(gè)填空,其中一個(gè)是一題2空,6個(gè)解答題)的解答,這對(duì)每一位考生來(lái)說(shuō)都是不小的挑戰(zhàn).面對(duì)滿分150分,平均每4分鐘對(duì)應(yīng)分值為5分的高考試卷,僅有“速算競(jìng)賽”一樣的心態(tài)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,面對(duì)突然出現(xiàn)的“熟題”與“生題”,必須有解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的“硬功夫”,“硬功夫”指什么呢?就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”.如認(rèn)真審題、規(guī)范書寫、清晰表述、卷面整潔、敘述條理、格式完整等都是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”.筆者據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn),就數(shù)學(xué)的“硬功夫”怎么煉成,怎么在數(shù)學(xué)“規(guī)矩”下解題,談?wù)勛约旱目捶?
規(guī)矩1 解題過(guò)程要講“規(guī)矩”
數(shù)學(xué)和語(yǔ)文一樣,應(yīng)在規(guī)矩下講話.數(shù)學(xué)解題過(guò)程,其實(shí)就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”的呈現(xiàn)過(guò)程,也就是數(shù)學(xué)解題過(guò)程要求的格式.如:例1 函數(shù)f(x)=x2-32xemx在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析 按數(shù)學(xué)“規(guī)矩”來(lái)說(shuō),解決此類問(wèn)題,就這樣幾句話幾個(gè)步驟:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-32xemx在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),所以f′(x)=mx2-32m-2x-32emx≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,即mx2-32m-2x-32≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,然后按部就班的求解即可,這就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”,該要的步驟,該講的“規(guī)矩”是不能省略的.
解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-32xemx在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),所以f′(x)=mx2-32m-2x-32emx≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,
即mx2-32m-2x-32≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.
當(dāng)m=0時(shí),f(x)=x2-32x=x-342-916,顯然在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)增,所以m=0適合題意.
當(dāng)m≠0時(shí),m>0,m-32m+2-32≥0,
所以m>0,m≤1,所以0 綜合以上兩種情況,實(shí)數(shù)m的取值范圍為0≤m≤1. 這是高考常涉及的題型.常用的解題方法:一是分離參數(shù),二是轉(zhuǎn)化成常見的二次函數(shù).無(wú)論采用什么方法求解,解題的規(guī)范性時(shí)刻不能忘記,該講的“規(guī)矩”還是要講. 規(guī)矩2 胸中有“數(shù)”,“形”中化難 高中數(shù)學(xué)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到的核心素養(yǎng)就有數(shù)形結(jié)合,解題過(guò)程中怎樣才能做到“數(shù)”和“形”的結(jié)合呢?想明白之后你會(huì)頓悟,就是兩種語(yǔ)言的相互翻譯,把符號(hào)語(yǔ)言用圖形語(yǔ)言直觀表現(xiàn)出來(lái),然后再把圖形語(yǔ)言翻譯后用符合語(yǔ)言表述出來(lái),從而完成解題的整個(gè)過(guò)程,這就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”.舉例來(lái)說(shuō): 例2 m取何值時(shí),方程x2-32xex+x2-2x-m=0有兩個(gè)根?一個(gè)根?無(wú)根? 分析 咋看上去題目有一定難度,讓人一下無(wú)從下手,找不到問(wèn)題解決的突破口在哪里.若將原方程變形為x2-32xex=-x2+2x+m,問(wèn)題就簡(jiǎn)單了許多.本是方程問(wèn)題,轉(zhuǎn)化一下,就成為函數(shù)問(wèn)題. 在一同坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=x2-32xex和y=-x2+2x+m的圖象,根據(jù)圖象不難得出結(jié)論. 解 f′(x)=x2+12x-32ex,令f′(x)=0,解得x1=-32,x2=1,當(dāng)x變化時(shí),f′(x)和f(x)變化狀態(tài)如下: 在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=-x2+2x+m的圖象(略),得到結(jié)論: 當(dāng)m+1>-e2,即m>-1-e2時(shí),方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根; 當(dāng)m+1=-e2,即m=-1-e2時(shí),方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根; 當(dāng)m+1<-e2,即m<-1-e2時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根. 由此可見,問(wèn)題的解決過(guò)程,就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”的再次呈現(xiàn)過(guò)程,因?yàn)橹v了數(shù)學(xué)“規(guī)矩”,才能把看似有難度的題目解決掉.規(guī)矩3 難化易 大化小 生化熟 數(shù)學(xué)中講究等價(jià)轉(zhuǎn)化,實(shí)際上就是把難題轉(zhuǎn)化為容易題,大題轉(zhuǎn)化為小題,生分的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的題目來(lái)解決,這就是數(shù)學(xué)的“規(guī)矩”,許多看似一籌莫展的題目,在數(shù)學(xué)的“規(guī)矩”下就能迎刃而解.如例2就是把不熟悉的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化成兩個(gè)熟悉的函數(shù)問(wèn)題得以解決,下面再舉一例: 例3 設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+x-1x+1,其中a為常數(shù),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 分析 這是導(dǎo)數(shù)中常見問(wèn)題,也是高考中??碱}型,解決起來(lái)有一定難度.但若講數(shù)學(xué)“規(guī)矩”,在“規(guī)矩”下把難化易、大化小、生化熟,求解起來(lái)就方便很多.不仿先求導(dǎo)函數(shù),然后尋求突破: f′(x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2,考慮到函數(shù)的定義域,導(dǎo)函數(shù)的分母是恒正的,只需圍繞分子上的函數(shù) g(x)=ax2+(2a+2)x+a來(lái)解答問(wèn)題即可.就是在這樣的數(shù)學(xué)“規(guī)矩”下,完成了難化易、大化小、生化熟的轉(zhuǎn)化過(guò)程,從而使問(wèn)題得解. 解 函數(shù)f(x)定義域是(0,+∞),f′(x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2.當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1). ①當(dāng)a=-12時(shí),Δ=0,f′(x)=-12(x-1)2x(x+1)2≤0,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; ②當(dāng)a<-12時(shí),Δ<0,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; ③當(dāng)-120,設(shè)x1,x2(x1 由x1=a+1-2a+1-a =a2+2a+1-2a+1-a>0,所以x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;x∈(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.綜上可知,當(dāng)a≥0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a≤-12時(shí),函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)-12 高考中的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,往往就是通過(guò)這種途徑解決.所以,講數(shù)學(xué)“規(guī)矩”對(duì)解題是很有幫助的. 規(guī)矩4 由抽象到具體 有時(shí),數(shù)學(xué)問(wèn)題解決起來(lái)頗感不易,主要是數(shù)學(xué)的抽象性所致,若能把抽象的問(wèn)題變成具體的問(wèn)題,解決起來(lái)會(huì)容易很多. 這就是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”. 例4 已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(1)=1,且f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)>12,則不等式f(x2) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1)∪[1,+∞)D.(-1,1) 分析 題目屬于抽象函數(shù)問(wèn)題.而與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式,又是高三學(xué)生比較頭疼的問(wèn)題.關(guān)鍵在于如何把抽象問(wèn)題具體化,讓學(xué)生切實(shí)看得見摸得著,從而化解難點(diǎn)解決問(wèn)題.這就需要講“規(guī)矩”:已知條件f′(x)>12是怎么來(lái)的呢?能找滿足條件的具體函數(shù)嗎? 解 設(shè)F(x)=f(x)-12x,F(xiàn)′(x)=f′(x)-12, 因?yàn)閒′(x)>12,所以F′(x)=f′(x)-12>0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(x2) 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,確實(shí)需要講數(shù)學(xué)“規(guī)矩”,把抽象問(wèn)題具體化,是數(shù)學(xué)“規(guī)矩”下重要的解題策略. 數(shù)學(xué)的“規(guī)矩”還有很多,真心希望同學(xué)們能在數(shù)學(xué)的“規(guī)矩”下,鍛造成“出色的解題者”. 作者簡(jiǎn)介 于世章(1962—),男,山東定陶人,中學(xué)數(shù)學(xué)正高級(jí)教師.全國(guó)模范教師,山東省特級(jí)教師,山東省首批正高級(jí)教師,省優(yōu)秀教師,省教師出版基金杯2013年度創(chuàng)新人物(教師系列)提名獎(jiǎng),省課程團(tuán)隊(duì)專家;青島市專業(yè)技術(shù)拔尖人才,青島市名師主持人,“國(guó)培計(jì)劃”專家?guī)斐蓡T,全國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)方法論數(shù)學(xué)哲學(xué)研究委員會(huì)副秘書長(zhǎng),青島市中小學(xué)教師培訓(xùn)專家講師團(tuán)成員,青島大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專業(yè)學(xué)位研究生校外導(dǎo)師,第一屆全國(guó)全日制教育碩士學(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué))專業(yè)技能大賽(決賽)評(píng)委,發(fā)表論文40余篇,專著《在學(xué)生的心靈中旅行》第一輯由中國(guó)書籍出版社出版,第二輯由中國(guó)海洋大學(xué)出版社出版.