基于SOLO分類理論的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價（二）
——小學(xué)生找出“較復(fù)雜圖形中梯形”的思維層次分析

□邵 虹

（接上期）

四、啟示與建議

在上述的測試問卷與調(diào)查數(shù)據(jù)中，通過SOLO分類理論診斷、分析不同學(xué)生對同一問題的解題策略與思維水平，可以初步得出研究啟示和對教學(xué)的建議。

（一）SOLO 分類理論能有效地評價數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量

在學(xué)習(xí)情境中，如何評價教學(xué)質(zhì)量，如何提高教學(xué)質(zhì)量，是所有教師關(guān)心的問題。定量的評價，如1分鐘正確口算的題量，如記住公式法則的數(shù)量……目前已經(jīng)有了很好的理解和運用。但如何對學(xué)習(xí)過程和學(xué)生思維結(jié)構(gòu)進行質(zhì)的評價，大多數(shù)教師使用的方法往往是主觀的，模糊的。而SOLO 分類理論的主要觀點是：關(guān)注學(xué)習(xí)過程，關(guān)注學(xué)習(xí)質(zhì)量，認為學(xué)習(xí)結(jié)果在結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜程度可以顯示學(xué)習(xí)質(zhì)量的不同水平。[7]由此可見，SOLO分類為評價學(xué)習(xí)質(zhì)量提供了適切的理論分析框架。

如圖11所示，SOLO分類理論的前結(jié)構(gòu)水平到多點結(jié)構(gòu)水平反映的是學(xué)生獲取信息、線索數(shù)量的多少，并沒有找到知識的內(nèi)在聯(lián)系，屬于量變。從多點結(jié)構(gòu)水平到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平不僅增加了相關(guān)信息的數(shù)量，更重要的是將零散知識聯(lián)結(jié)成有結(jié)構(gòu)的體系，是質(zhì)的飛躍。關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平到抽象擴展結(jié)構(gòu)水平則反映學(xué)生思維進入了一個更高的層次，也就是高認知水平層次。

圖11 SOLO分類理論與學(xué)習(xí)質(zhì)量評價的關(guān)系

隨著學(xué)生應(yīng)答結(jié)果的復(fù)雜性不斷增加，SOLO分類理論的五種思維水平反映了學(xué)生學(xué)習(xí)從量變到質(zhì)變的過程，清晰、合理地解釋了層次之間的遞進，呈現(xiàn)螺旋上升的結(jié)構(gòu)。這些事實都表明，SOLO分類理論對評價數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量有很大的優(yōu)勢。

（二）SOLO 分類理論能準確地測量學(xué)生思維水平

本次研究中，筆者對學(xué)生解決“找出較復(fù)雜圖形中的梯形”一題，根據(jù)SOLO 分類理論對各思維水平層次進行了統(tǒng)計。四年級學(xué)生的作答處于單點結(jié)構(gòu)水平及以下的有22 人，約占22.9%；處于多點結(jié)構(gòu)水平的有52 人，約占54.2%；處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平及以上的有22 人，約占22.9%。數(shù)據(jù)表明，在梯形概念教學(xué)中，多數(shù)學(xué)生對圖形特征的本質(zhì)把握停留在直觀辨認階段，缺乏綜合應(yīng)用概念進行邏輯判斷的能力和經(jīng)驗，處于量變到質(zhì)變的邊緣地帶。

通過SOLO 分類理論對學(xué)生作答過程進一步分析，對錯誤結(jié)果進行分類?？梢园l(fā)現(xiàn)，處于前結(jié)構(gòu)和單點結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生理解問題、掌握知識存在困難和錯誤（例如，錯誤認為四邊形DEFC 是平行四邊形）；處于多點結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生對尋找量與量之間的關(guān)系、理解知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)存在缺失；處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生在推理能力、關(guān)聯(lián)思維方面需要鍛煉。

研究中還出現(xiàn)了一個意外事件：有兩名學(xué)生，任課教師事先給他們的數(shù)學(xué)平均成績等級是“C”（A為優(yōu)秀，B為良好，C為中下，D為差），而在這次測試中，一名學(xué)生的思維反應(yīng)層次處于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，另一名學(xué)生的思維反應(yīng)層次處于抽象擴展結(jié)構(gòu)水平。通過深入訪談，得知這兩名學(xué)生的思維比較靈活，有時回答問題會突發(fā)奇想，與其他學(xué)生有不一樣的見解。但學(xué)習(xí)態(tài)度不佳，上課經(jīng)常插嘴，作業(yè)經(jīng)常少做或不做，因此成績并不理想。這一事件也恰恰表明，SOLO 分類理論能比較準確地測量出學(xué)生的真實思維水平。同時，希望教學(xué)中不能只看表面現(xiàn)象，要充分挖掘所有學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力。

（三）重視幾何概念教學(xué)，發(fā)展學(xué)生幾何思維水平

概念，是思維的基本形式，反映了客觀事物一般的、本質(zhì)的特征。了解數(shù)學(xué)概念的形成，可以較好地把握學(xué)生認知與思維過程。[8]幾何概念是按照一定的順序和方向發(fā)展的，相鄰概念間有著密切的關(guān)聯(lián)。因此，在教學(xué)中學(xué)生是否具備同化新概念所需的知識經(jīng)驗，能否通過變式教學(xué)理解幾何概念的內(nèi)涵和外延，顯得十分重要。

1.經(jīng)歷幾何概念定義過程，提高概念同化的能力

在概念教學(xué)中，學(xué)生主動地運用原有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念知識經(jīng)驗，去學(xué)習(xí)和掌握新概念的方式，稱為概念同化。朱樂平老師撰寫的《讓學(xué)生經(jīng)歷概念的定義過程——談?wù)J識梯形的教學(xué)》一文中提到：根據(jù)現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編寫順序，學(xué)生在學(xué)習(xí)梯形概念前已經(jīng)掌握了四邊形的概念，認識了長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形，經(jīng)歷了從邊和角兩個維度觀察和歸納圖形特征的過程[9]。如長方形的認識，從邊的維度觀察“對邊長度相等”，從角的維度觀察“四個角都是直角”；平行四邊形的認識，經(jīng)歷了“兩組對邊分別平行且相等”的探索過程。因此，梯形概念學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)具備了同化新概念所需的知識和經(jīng)驗。例如，教學(xué)時先通過圖形觀察建立梯形與平行四邊形之間的聯(lián)系，讓學(xué)生自主給梯形下定義；其次比較學(xué)生對梯形的多種表達方式，歸納最本質(zhì)的特征與屬性；對比發(fā)現(xiàn)梯形概念與平行四邊形概念的異同；最后進行鄰近概念與從屬概念的比較分類，用集合思想構(gòu)建概念體系，擴大和改組原有的認知結(jié)構(gòu)?；谝陨纤伎?，《梯形的認識》一課教學(xué)流程如圖12所示。

圖12 《梯形的認識》課堂教學(xué)流程

教學(xué)中，應(yīng)該充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，創(chuàng)設(shè)讓每個學(xué)生認真參與的探究活動，使梯形概念與原有認知結(jié)構(gòu)中的舊知識發(fā)生相互作用，改造舊知識形成新概念，經(jīng)歷概念定義過程，實現(xiàn)知識的同化。

2.加強幾何概念變式教學(xué)，突出概念的本質(zhì)屬性

影響學(xué)生幾何概念掌握的因素主要有：概念的抽象性、概念的變式。概念的變式包括外延集合的變式和非本質(zhì)屬性的變式，通過各種概念變式和非概念變式，能有效增強學(xué)生對概念對角度的辨析和理解能力。[10]例如，在梯形概念教學(xué)的引入部分，可以通過具體實物圖→幾何圖的變式，幫助學(xué)生從原有的感性經(jīng)驗上升到圖形水平，繼而為建立抽象概念奠定基礎(chǔ)。每個概念都有一個明晰的邊界，梯形的概念也不例外。掌握梯形的概念意味著能通過它的內(nèi)涵去判斷具體圖形是否存在于這個邊界內(nèi)，因此非標準圖形的變式對梯形本質(zhì)屬性的掌握尤其重要。如圖13 所示，由于“梯形標準圖形”容易受學(xué)生感性經(jīng)驗的影響，產(chǎn)生“先入為主”的誤解，從而縮小了概念的外延。解決這個問題的方法就是加強“梯形非標準圖形”的變式，通過概念變式突出本質(zhì)屬性。

圖13 梯形概念標準與非標準圖形的變式

圖14 梯形的非概念圖形變式

在本研究中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對梯形的認識還存在誤解，借助“非概念變式”可以有效地解決這個問題。如圖14 所示，根據(jù)梯形與其他圖形概念之間的邏輯關(guān)系，收集學(xué)生常見的錯誤類型，教學(xué)時運用“非概念變式”進行辨析，不僅能澄清概念理解中容易混淆的內(nèi)容，正確掌握概念的本質(zhì)特征，還能幫助學(xué)生建立相關(guān)知識間的聯(lián)系。

3.重視幾何概念體系構(gòu)建，促進概念的深度理解

幾何概念通常都不是孤立存在的，它們是由一系列彼此相互聯(lián)系的多種概念組成的一個整體，而這個整體就是概念體系。概念體系有四種主要形式：①相鄰的概念體系（如三角形和四邊形）；②相反的概念體系（如正數(shù)與負數(shù)）；③并列的概念體系（如直角梯形和等腰梯形）；④從屬的概念體系（如四邊形、平行四邊形、長方形、正方形）。[11]

例如《梯形的認識》一課教學(xué)中，結(jié)合學(xué)生已經(jīng)認識的長方形、正方形和平行四邊形，設(shè)計用示意圖進行“四邊形分類”的環(huán)節(jié)。如圖15 所示，弄清概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生進一步明確概念所包含的對象集合有一個清晰的邊界。

圖15 四邊形關(guān)系圖

利用集合圖，可以直觀反映概念之間的關(guān)系。如四邊形是梯形的上位概念，等腰梯形和直角梯形是梯形的下位概念，平行四邊形與梯形是并列關(guān)系等等?？磥恚瑤缀胃拍铙w系構(gòu)建的過程，能較好地幫助學(xué)生整體把握概念內(nèi)部的相關(guān)性和層次性，加深學(xué)生對概念的理解。

（四）關(guān)注非常規(guī)問題的解決提升學(xué)生高階思維

本次研究中，學(xué)生表現(xiàn)不佳的其中一個因素是：面對思維水平稍高的非常規(guī)情境題，不能迅速聯(lián)想到解決問題所需的幾何概念和性質(zhì)，根據(jù)問題獲取有用信息和線索的能力弱，缺乏必要的解題策略。

培養(yǎng)和提升學(xué)生高階思維的一個重要特征就是在各種情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題。PLSA2000定義了數(shù)學(xué)思維的三個層次：第一，回憶、復(fù)制、定義和運算。第二，問題解決過程中聯(lián)結(jié)不同領(lǐng)域知識，綜合相關(guān)信息解決簡單問題。第三，認識和提取鑲嵌在真實情境中的數(shù)學(xué)知識，分析、解釋和建立數(shù)學(xué)論斷。[12]

非常規(guī)問題，指解決的問題不是對知識的簡單回顧，或者模仿已有的數(shù)學(xué)解題過程（如教材例題、基本練習(xí)和教學(xué)輔導(dǎo)材料中常見的問題），它沒有既定的模式可以套用，解決問題的方法或結(jié)果不是唯一固定的，需要學(xué)生經(jīng)歷一個從現(xiàn)實情境到數(shù)學(xué)情境的數(shù)學(xué)化過程。[13]在這個過程中，學(xué)生從具體現(xiàn)象中獲取數(shù)學(xué)關(guān)系、規(guī)律、性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)的語言表達相關(guān)信息、概念，并能完整地解釋其現(xiàn)實意義。非常規(guī)問題的解決，能夠反映學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解析實際問題的能力，充分展現(xiàn)學(xué)生自己設(shè)計解題策略的數(shù)學(xué)思維過程，真正從“解題”走向“解決問題”。可見，非常規(guī)問題的解決能幫助學(xué)生認識到數(shù)學(xué)的廣泛性，更好地理解數(shù)學(xué)知識和方法，發(fā)展高層次思維水平。