吳婧婷

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的數(shù)學(xué)思想之一。數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的應(yīng)用，可以銜接不同階段的教學(xué)內(nèi)容，減少學(xué)生對代數(shù)問題的畏難心理。本文旨在探討數(shù)形結(jié)合思想對代數(shù)問題的意義及數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的具體運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);代數(shù)

《福建省初中學(xué)科教學(xué)與考試指導(dǎo)意見（數(shù)學(xué)）》指出：數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。在解決初中數(shù)學(xué)問題的過程中，數(shù)形結(jié)合思想可以將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，使抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化，拓寬解題思路，優(yōu)化解題的途徑。

數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。其中“以形助數(shù)”指數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的應(yīng)用，即以形作為手段、數(shù)作為目的，將較難理解的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成直觀易懂的幾何問題，利用幾何工具解決代數(shù)問題。本文將探討數(shù)形結(jié)合思想在初中代數(shù)問題中的運(yùn)用。

一、 數(shù)形結(jié)合的概述

數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩大基本對象?！皵?shù)”是指數(shù)與式，“形”是指圖形與圖像。數(shù)形結(jié)合思想可以將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以利用數(shù)軸、圖形和平面直角坐標(biāo)系將代數(shù)問題和幾何問題緊密聯(lián)系起來，為解決問題提供新的思路和策略，達(dá)到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

華羅庚先生曾寫過一首小詩強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！痹凇读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”及“綜合與實(shí)踐”均滲透著數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想不僅能提高教學(xué)效率，更能有效訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極重要的數(shù)學(xué)思想之一。

二、 數(shù)形結(jié)合對初中代數(shù)問題的意義

（一）銜接不同階段的教學(xué)內(nèi)容

初中階段的數(shù)學(xué)知識，起著承上啟下的作用。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識為易于學(xué)生理解較為圖像化，高中階段的數(shù)學(xué)知識較為抽象化和邏輯化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以很好地銜接這兩個(gè)階段。在理解數(shù)學(xué)概念的前提下，打破數(shù)與形的界限，將不同類型的數(shù)學(xué)知識組合起來，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力。學(xué)生在思考與討論的過程中，學(xué)會舉一反三，以多種視角對問題進(jìn)行思考，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（二）減少學(xué)生對代數(shù)問題的畏難心理

絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)較有困難的初中生的難點(diǎn)，都在于代數(shù)問題尤其是代數(shù)問題里的函數(shù)問題。初中生心智尚不成熟，面對晦澀難懂的代數(shù)問題難免有畏難心理，這是可以理解并可以避免的。將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用在代數(shù)問題中，可以將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楦庇^、易理解的題目，借助直觀的幾何圖形和位置關(guān)系等，降低題目的難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)效率。

三、 數(shù)形結(jié)合在初中代數(shù)問題中的運(yùn)用

在教學(xué)實(shí)踐中需潛移默化的滲透數(shù)形結(jié)合思想，逐步形成在代數(shù)問題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維模式。以下探索數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的具體運(yùn)用：

（一）運(yùn)用數(shù)軸理解數(shù)學(xué)概念

數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的第一個(gè)實(shí)例，建立了有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系：對于每一個(gè)有理數(shù)，都能在數(shù)軸上找到唯一的點(diǎn)與之對應(yīng)。由此可引申到絕對值、相反數(shù)的概念，可運(yùn)用于有理數(shù)的加減法的運(yùn)算及代數(shù)式的化簡等。例如，絕對值的幾何意義是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，互為相反數(shù)概念的幾何意義是在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱。

在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)后，這種對應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系。實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生更好的理解無理數(shù)的概念。例如：如圖1，矩形ABCD的邊AD長為2，AB長為1，點(diǎn)A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是-1，以A點(diǎn)為圓心，對角線AC長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)E，則這個(gè)點(diǎn)E表示的實(shí)數(shù)是_____。

（二）運(yùn)用圖形比較不等式的大小

借助數(shù)軸和圖形可以直觀感受如何求出不等式的解和不等式組的解集。解一元一次不等式組需要同時(shí)滿足兩個(gè)約束條件，學(xué)生通常較難理解它們的關(guān)系，常搞錯(cuò)符號。將兩個(gè)不等式表現(xiàn)在同一個(gè)數(shù)軸上，學(xué)生就能清楚地看出兩個(gè)約束條件的關(guān)系，得到最終的解集。

學(xué)生在熟練掌握如何解一元一次不等式組后，還可以探究不等式組的有解無解問題，從而加深學(xué)生對不等式組解集的理解。在深入挖掘不等式組的含義基礎(chǔ)上，運(yùn)用所給解的局部特征和逆向思維，可以求出參數(shù)的取值范圍。例如：不等式組3x+a<0

2x+7>4x-1的解集為x<4，則a的取值范圍為 ? ?。

（三）運(yùn)用圖形推導(dǎo)代數(shù)公式

利用幾何圖形推導(dǎo)代數(shù)公式，可幫助學(xué)生更好的理解和記憶代數(shù)公式。例如兩個(gè)全等的梯形拼成的一個(gè)平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式，正方形的分割圖可以用來記憶平方差公式和完全平方公式等。其中平方差公式和完全平方公式是初中最常用的兩個(gè)公式，但是學(xué)生經(jīng)常會粗心記錯(cuò)。用圖像表示面積得到公式，加深學(xué)生的理解，建立由形到數(shù)的聯(lián)想。

在理解公式的幾何背景后，還可以用變式鞏固用幾何圖形表示數(shù)學(xué)公式的方法，讓學(xué)生深入了解數(shù)形結(jié)合在代數(shù)問題中的運(yùn)用。例如：如圖2，四張相同的矩形紙片拼成一個(gè)圖形，利用圖中空白部分面積的不同表示方法，寫出關(guān)于a、b的恒等式 ? ?。

（四）畫圖理解方程的等量關(guān)系

方程類應(yīng)用題的難點(diǎn)在于根據(jù)題意列出含有未知數(shù)的等量關(guān)系。要攻破這道難關(guān)，通常需要借助數(shù)形結(jié)合，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖。不僅可以清楚地看出題目的出題意向和考查內(nèi)容，更能將抽象的題意轉(zhuǎn)化成具體的畫面，從而找出題目中沒有明確提出的隱藏條件。這些隱藏條件往往就是解題的關(guān)鍵，能幫助學(xué)生迅速找到解決問題的突破口。

例如：小明以80米/分的速度從家里出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘帶數(shù)學(xué)書了。于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在途中追上了他，問爸爸追上小明用了多長時(shí)間。將追及問題用圖形表示出來，就能一目了然地看出方程的數(shù)量關(guān)系。

（五）運(yùn)用直角坐標(biāo)系表示幾何意義

平面直角坐標(biāo)系把“點(diǎn)”和“有序?qū)崝?shù)對”對應(yīng)起來，使抽象的“數(shù)”與直觀的“形”有了統(tǒng)一，開創(chuàng)了研究數(shù)學(xué)問題的新途徑。通過構(gòu)造幾何圖形，可以賦予代數(shù)表達(dá)式幾何意義，依靠直觀圖形幫助解決代數(shù)問題。

例如：求代數(shù)式x2+1+（x-3）2+4的最小值。整理得x2+1+（x-3）2+4=（x-0）2+（0-1）2+（x-3）2+（0-2）2，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，0）為x軸上的點(diǎn)，代數(shù)式可分別看成點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，1）和點(diǎn)B（3，2）的距離，即表示線段PA與PB的長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值，此時(shí)利用對稱點(diǎn)就能求解最值問題。

（六）運(yùn)用圖像把握函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)又是數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)得最充分的一個(gè)內(nèi)容。利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)可以把握函數(shù)的性質(zhì)，例如，一次函數(shù)的斜率和截距，反比例函數(shù)的增減性和中心對稱性，二次函數(shù)的對稱軸、開口方向、判別式等，并可用于求解函數(shù)的最值問題和值域問題等。

運(yùn)用圖像還可以將方程和函數(shù)聯(lián)系起來。方程和不等式中較難的問題運(yùn)用函數(shù)圖象來解決，更易于理解，緩解學(xué)生對函數(shù)的畏難心理。例如：如圖3是二次函數(shù)ax2+bx+c<0的部分圖象，則不等式ax2+bx+c<0的解集是 ? ?。根據(jù)圖像要求在x軸下方的部分，仔細(xì)觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)與x軸還有另一個(gè)交點(diǎn)，利用圖像中的對稱軸可以求出。

四、 在教學(xué)中提高學(xué)生運(yùn)用能力的建議

（一）緊抓內(nèi)在核心素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)過程中涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和運(yùn)算能力。數(shù)學(xué)抽象是指抽取出同類數(shù)學(xué)對象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征的思維過程。數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中最直接的應(yīng)用，就是根據(jù)題干要求畫出符合題干的圖形，以輔助分析和理解題目。學(xué)生可以清晰地了解出題意向和考查內(nèi)容，也能從圖形中找到題目隱藏的條件。

（二）熟練使用幾何工具

數(shù)形結(jié)合思想以數(shù)軸、圖形和平面直角坐標(biāo)系為基本工具。磨刀不誤砍柴工，只有掌握基本工具，在分析思考時(shí)才能得心應(yīng)手，及時(shí)聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，學(xué)生常難以理解函數(shù)的內(nèi)涵與意義，借助平面直角坐標(biāo)系，將抽象的函數(shù)轉(zhuǎn)化成直觀的幾何圖形，能使學(xué)生迅速建立起方程與函數(shù)的聯(lián)系。

（三）數(shù)形轉(zhuǎn)化的一致性

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)問題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)換原則，即數(shù)與形轉(zhuǎn)化前后的一致性和圖形的全面性。解決代數(shù)問題的方法不唯一，應(yīng)根據(jù)不同的情況作出相應(yīng)的圖形，再進(jìn)行分析。以多種視角對問題進(jìn)行思考，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（四）提高綜合運(yùn)用能力

在感悟滲透數(shù)形結(jié)合思想的過程中，也滲透著其他數(shù)學(xué)思想，例如函數(shù)思想、方程思想、化歸思想、分類討論思想、歸納推理思想等等。任何一種數(shù)學(xué)思想在解題過程中都不是孤立的，學(xué)習(xí)過程中要注重多種數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用。

數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)問題中的運(yùn)用，能充分提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。在教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)采取積極引導(dǎo)的方式點(diǎn)撥學(xué)生，點(diǎn)出數(shù)形結(jié)合解題思路的關(guān)鍵點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生自主探究，在尋找答案的過程中，逐漸領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想。

參考文獻(xiàn)：

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