多元函數(shù)的方向?qū)?shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

李國(guó)權(quán)

摘? 要：多元函數(shù)的方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，也是學(xué)習(xí)多元泰勒展開(kāi)的基礎(chǔ)。針對(duì)方向?qū)?shù)這一教學(xué)目標(biāo)，采用“綜合教學(xué)法”來(lái)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，課堂反應(yīng)良好，得到滿(mǎn)意的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：分層教學(xué)法? 方向?qū)?shù)? 偏導(dǎo)數(shù)? 梯度

數(shù)學(xué)分析是本科數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的學(xué)科基礎(chǔ)課程[1]，將歷時(shí)三學(xué)期，約300學(xué)時(shí)。通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在專(zhuān)業(yè)課的學(xué)習(xí)中儲(chǔ)備了必須的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)提高了運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法研究事物的數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，提高了思想和觀點(diǎn)的邏輯性、準(zhǔn)確性，增強(qiáng)了自身的科學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力。是學(xué)生創(chuàng)新能力形成，最終養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)的一種重要途徑。

由于本節(jié)內(nèi)容是第三學(xué)期學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是對(duì)前面兩學(xué)期所學(xué)習(xí)的關(guān)于一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的推廣，因此與前面所學(xué)知識(shí)既有共性也有不同之處，這也是本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一。此外，由于學(xué)生已經(jīng)具備了高等代數(shù)的相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備，本節(jié)課將使用高等代數(shù)的工具幫助學(xué)生理解新的概念。

1? 教學(xué)目標(biāo)

定義1 （方向?qū)?shù)）設(shè)三元函數(shù)f在點(diǎn)P0（x0，y0，z0）的某鄰∪（P0）R3域內(nèi)有定義。l為從點(diǎn)P0出發(fā)的射線(xiàn)。P（x，y，z）為l上且∪（P0）含于內(nèi)的任一點(diǎn)，以ρ表示P與P0兩點(diǎn)間的距離。若極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)，記為或f1（P0）、f1（x0，y0，z0）。

2? 教學(xué)內(nèi)容

1、舉例引入本節(jié)課主題

例1：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1），（5，1），（1，3），（5，3）.在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱.假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比.在（3，2）處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？

通過(guò)作圖，得到結(jié)論：沿溫度下降最快的方向爬行！如何找到這個(gè)方向？

2、通過(guò)平均變化率和瞬時(shí)變化率展開(kāi)方向?qū)?shù)定義的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明白方向?qū)?shù)的幾何意義。

3、如何計(jì)算方向?qū)?shù)？講解定理1，并加以證明，同時(shí)鞏固學(xué)生對(duì)方向?qū)?shù)定義的理解。

4、舉例練習(xí)

3? 教學(xué)效果及反思

數(shù)學(xué)教學(xué)是師生互動(dòng)的數(shù)學(xué)思維的行為活動(dòng)。教師在教學(xué)中要引領(lǐng)學(xué)生分析問(wèn)題，這樣有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中提高學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力。通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)還讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)分析和其它課程，例如高等代數(shù)的融合，加深學(xué)生的理解，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1] 歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金福臨，等.數(shù)學(xué)分析[M].4版.高等教育出版社，北京.

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，高等代數(shù)[M].4版.高等教育出版社，北京.