梅波

摘? 要：教科書由于篇幅所限，以及對邏輯、體系的追求，提供給學(xué)生的往往只是干巴巴的數(shù)學(xué)結(jié)論。如果能從數(shù)學(xué)史的視角引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)規(guī)則，讓學(xué)生經(jīng)歷前人探素與發(fā)現(xiàn)的過程，那么一方面可以使“數(shù)學(xué)教學(xué)順應(yīng)生活事理的邏輯走向，學(xué)生的學(xué)習(xí)可以像呼吸一樣自然和樸素”;另一方面則可以通過“淺顯的情境去凸顯數(shù)學(xué)思想的深刻內(nèi)涵，使得數(shù)學(xué)教育具體中見深邃，淺顯中見厚重，使得數(shù)學(xué)能夠煥發(fā)出思想的光芒、經(jīng)典的力量”。而更為重要的是，數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的引入，可以向?qū)W生傳遞這樣一種信息：歷史上的數(shù)學(xué)家在研究中也遭遇過很多的曲折和失敗，他們也有自己不能解決的問題，我們所遇到問題都是正常的，從而讓學(xué)生樹立頑強鉆研的勇氣與持續(xù)學(xué)習(xí)的信心。

對于如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)這一問題，國外一些學(xué)者在20世紀90年代就已經(jīng)開展了比較系統(tǒng)的研究，并總結(jié)了十余種數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史的方法。國內(nèi)的一些研究則將這些方法整合為重構(gòu)式、復(fù)制式兩類。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;重構(gòu);復(fù)制

一、“重構(gòu)”歷史進程，理解問題起源

“重構(gòu)式”是指在教學(xué)中借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展歷史，意圖呈現(xiàn)知識的自然發(fā)生過程，重構(gòu)的數(shù)學(xué)史材料或直接呈現(xiàn)于新概念的引入中.或隱含于某個知識點的發(fā)展過程中。

因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)……數(shù)論中的這些基本概念如果按照課本的呈現(xiàn)方式展現(xiàn)，學(xué)生將有的反應(yīng)是：學(xué)這些東西有什么用？繼而會產(chǎn)生這樣的迷惑：為什么研究自然數(shù)時不討論“0”？將本單元置于合理的歷史背景下，學(xué)生學(xué)習(xí)中的這些困惑將得到一定程度的消解。雖然這些基本概念在歷史長河中發(fā)生、發(fā)展的歷程已然無法考證，但我們可以根據(jù)概念進行合理的猜想。因此，我將“因數(shù)和倍數(shù)”單元知識發(fā)生發(fā)展的背景整體性地置于公元前人類文明的初始時代，在這一歷史背景下和學(xué)生一起重構(gòu)了這些基本概念的發(fā)展歷程。

單元教學(xué)伊始，微課“史前時代的數(shù)學(xué)”帶領(lǐng)學(xué)生進入了人類文明的初始階段。學(xué)生跟隨微課回顧了數(shù)的發(fā)展歷程——自然數(shù)自然而然的產(chǎn)生過程，受十根手指影響而確立十進制……那時，沒有分數(shù)，沒有小數(shù)，甚至也沒有0，當然更沒有負數(shù)……

理解了歷史背景，我告訴孩子們，現(xiàn)在我們穿越時空，回到史前時代，成為那個時代中愛好數(shù)學(xué)研究的一群人。我們會遇到什么問題呢？

孩子們依據(jù)已有的知識背景，提出“史前數(shù)學(xué)家”最有可能遇到的問題：除法除不盡怎么辦？而這正是“因數(shù)”和“倍數(shù)”概念提出的基礎(chǔ)——區(qū)分能整除和不能整除的除法，根據(jù)能整除的除法將數(shù)的關(guān)系定義為“因數(shù)”和“倍數(shù)”。

在這樣的歷史背景下，很自然地，學(xué)生能夠理解除法給“史前數(shù)學(xué)家”帶來的困惑，更能夠理解為什么要尋找“2、5、3的倍數(shù)的特征”——除法這么麻煩，有時能夠整除，有時又不能整除，如果能夠知道2、5、3的倍數(shù)有什么特征，就不用每次都這么麻煩地用除法計算一遍了。

就這樣，在師生合力“重構(gòu)”的歷史背景下，這些數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生和發(fā)展既順理成章，又妙趣橫生。

二、“復(fù)制”數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)魅力

“復(fù)制式”的一個顯著特點是在數(shù)學(xué)教學(xué)中直接呈現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)問題，通過“做數(shù)學(xué)”來了解數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，從而加深對數(shù)學(xué)理解?！耙驍?shù)和倍數(shù)”單元中所牽涉的許多數(shù)學(xué)問題就是歷史上的數(shù)學(xué)問題，教學(xué)中可以直接呈現(xiàn)給學(xué)生，并介紹這些問題的解決方法。

例如，課本上讓學(xué)生用分別劃去2、3、5、7等數(shù)的倍數(shù)找100以內(nèi)質(zhì)數(shù)的方法，就是由古希臘著名數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼提出的“篩法”。

在教學(xué)時，可以直接出示問題：找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)，做一個質(zhì)數(shù)表。然后請學(xué)生獨立思考后討論：你準備怎樣找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)？學(xué)生很自然地會想到一個數(shù)一個數(shù)地檢查、驗證;也可能有其他更好的方法。

在學(xué)生各抒已見之后，介紹埃拉托斯特尼所提出的“篩法”，并請學(xué)生思考“篩法”與一個數(shù)一個數(shù)地檢查、驗證的方法相比，好在哪里，接著請學(xué)生運用“篩法”在百數(shù)表內(nèi)找出所有的質(zhì)數(shù)。在實際操作的過程中，學(xué)生能夠體驗到“篩法”批量篩除的準確和高效。

關(guān)于質(zhì)數(shù)和合數(shù)還有一個非常有趣的問題，那就是：有最大的質(zhì)數(shù)嗎？

在找完100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)之后，我向孩子們介紹了目前數(shù)學(xué)家們找質(zhì)數(shù)的成果。孩子們果然很好奇地提問了：老師，有沒有最大的質(zhì)數(shù)？我故意反問：你們認為呢？由于孩子們已經(jīng)有了樸素的無限觀，因此他們認為，自然數(shù)的個數(shù)是無限的，沒有最大的自然數(shù)，所以應(yīng)該也沒有最大的質(zhì)數(shù)，只要不斷地找下去，就能找到更大的質(zhì)數(shù)。

孩子們的想法當然是有道理的。但是，數(shù)學(xué)不只是這樣的。我告訴他們，這個問題很早以前就有人提出來，并且已經(jīng)證明了。是怎樣證明的呢？

于是，我們追隨古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的腳步，開始了一段證明。

首先，假設(shè)已經(jīng)找到了所有的質(zhì)數(shù)，其中最大的是n。接著，將所有的質(zhì)數(shù)相乘，2×3×5×7×11×…×n，這是一個什么數(shù)呢？當然是一個擁有眾多質(zhì)因數(shù)的合數(shù)。接下來將這個積加1，記為k，即k=2×3×5×7×ll×…×（n+1）。因為k不是任何已知質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，所以k一定是一個比n更大的質(zhì)數(shù)。

怎么樣？這個證明漂亮吧？這就叫做“反證法”。你能試著用反證法證明沒有最大的自然數(shù)嗎？這個問題對孩子們來說當然是小菜一碟——假設(shè)已經(jīng)找到了最大的自然數(shù)n，則n+1是比它更大的自然數(shù)……

兩個問題都是兩千多年前數(shù)學(xué)家真實研究過的，而他們所采用的解決問題的方法都能夠使孩子們理解并嘗試加以運用。由此，學(xué)生一方面更深入地理解了數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，另一方面加深了對數(shù)學(xué)問題的理解，感受了數(shù)學(xué)理性思維的魅力。

在數(shù)學(xué)教育哲學(xué)層面上，更為重要的不在于教學(xué)的形式，而在于揭示數(shù)學(xué)到底是什么。我們很難簡明地向?qū)W生闡述這個問題，但以數(shù)學(xué)史的視角開展教學(xué)，可以帶領(lǐng)學(xué)生一起感受數(shù)學(xué)理性、純粹的美，朦朧而又似乎清晰地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，穿越時空，領(lǐng)略數(shù)學(xué)在曲折前行中迸發(fā)的魅力！