圓中易錯(cuò)點(diǎn)分析

文 曹 丹

圓是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是中考考查的熱點(diǎn)。圓的概念和公式較多，而且綜合性強(qiáng)，很多同學(xué)在學(xué)習(xí)中易出現(xiàn)錯(cuò)誤。下面，老師選取平時(shí)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中的易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行舉例分析，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、忽視分類，造成漏解

例1如圖1，⊙O上有兩定點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），若∠OAB=30°，則∠C的度數(shù)是________。

【錯(cuò)解】60°。

【錯(cuò)因分析】很多同學(xué)根據(jù)題意想當(dāng)然求解出60°，這種情況是對(duì)的，但是只考慮了點(diǎn)C在優(yōu)弧上的情況。點(diǎn)C也可能在劣弧上。在求弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)時(shí)，要注意一條弦所對(duì)的弧有兩條，它們圍成一個(gè)整圓，所以弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，且它們互補(bǔ)。

【正解】如圖2，連接OB。

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，

二、方程思想不熟練

例2如圖3，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過點(diǎn)C作CD⊥PA，垂足為D。

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長(zhǎng)度。

【錯(cuò)因分析】第一問較為常規(guī)，我們通過連接OC容易解決。第二問給出線段關(guān)系，應(yīng)聯(lián)想設(shè)未知數(shù)，結(jié)合勾股定理利用方程解決問題，而同學(xué)們往往不會(huì)構(gòu)造合適的直角三角形，因而無從下手。我們不妨從問題考慮，從求弦長(zhǎng)聯(lián)想到垂徑定理，結(jié)合勾股定理的基本模型，作垂直，構(gòu)造直角△AFO，再通過線段關(guān)系表示未知線段，得到方程，進(jìn)而解決問題。

【正解】（2）如圖4，作OF⊥AB于F，所以四邊形OFDC是矩形。

設(shè) DA=x，則 OF=CD=6-x。因?yàn)橹睆綖?0，所以半徑為5，所以DF=OC=5，所以AF=5-x。

在 Rt△OFA 中 ，AF2+OF2=AO2，即（5-x）2+（6-x）2=52，解得x1=2，x2=9（舍）。所以，AF=3，再由垂徑定理可得AB=6。

三、構(gòu)造隱圓意識(shí)薄弱

例3 在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A＞∠B，則BC的長(zhǎng)的取值范圍是________。

【錯(cuò)解】BC＞4。

【錯(cuò)因分析】本題沒有圓，大多數(shù)同學(xué)都能想到BC的一個(gè)極端情況是等邊三角形的邊，所以BC＞4，而另一極端情況就難想到了。如果我們能夠由∠C=60°恒不變聯(lián)想到圓周角，就“撥云見日”了。如何構(gòu)造這個(gè)圓？可以畫極端情況下的外接圓，這時(shí)候感受∠C在動(dòng)中的不變性，容易得到直徑最長(zhǎng)。

【正解】作△ABC的外接圓，如圖5所示：

∵∠BAC＞∠ABC，AB=4，

∴當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，BC是直徑，也是最長(zhǎng)的弦。

當(dāng)∠BAC=∠ABC時(shí)，△ABC是等邊三角形，∴BC=AC=AB=4。