曹立靜 姚守峰

(1.山東協(xié)和學(xué)院，山東 濟(jì)南 250107；2.山東省交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司，山東 濟(jì)南 250031)

1 數(shù)學(xué)模型

觀測(cè)邊長(zhǎng)在進(jìn)行平差計(jì)算的過程中，要經(jīng)過高程歸化改正和投影改正。一般海拔較高地區(qū)兩點(diǎn)之間的觀測(cè)邊長(zhǎng)D在進(jìn)行高程歸化時(shí)邊長(zhǎng)縮短。設(shè)兩點(diǎn)之間的平均概略高程為H，兩點(diǎn)所處地球位置平均曲率半徑為Rm，則歸化至參考橢球面時(shí)其長(zhǎng)度近似變形值ΔD計(jì)算公式為：

觀測(cè)邊長(zhǎng)D歸化至參考橢球面的距離S計(jì)算公式為：

歸化至參考橢球面的邊長(zhǎng)S再歸算至高斯平面時(shí)，其長(zhǎng)度會(huì)增加ΔS。設(shè)兩點(diǎn)平均橫坐標(biāo)(即觀測(cè)邊長(zhǎng)中點(diǎn)距離中央子午線的偏移量)為ym，則其近似計(jì)算公式為：

由(1)式、(3)式可見觀測(cè)邊長(zhǎng)D在高程歸化和高斯投影改正存在抵消關(guān)系，經(jīng)過高程歸化和高斯投影改正后的邊長(zhǎng)L為：

帶入(2)式得L與觀測(cè)邊長(zhǎng)D關(guān)系式為：

由(5)式可推算出觀測(cè)邊長(zhǎng)D經(jīng)過高程歸化、高斯投影后變形值Δ為：

設(shè)D為1000m，則根據(jù)(6)式可以計(jì)算出偏移量ym、每千米允許變形值Δ與觀測(cè)邊長(zhǎng)D兩點(diǎn)之間平均高程H的數(shù)學(xué)模型：

由(7)式可知，已知一點(diǎn)P的高程及限差要求，可以推算出以該點(diǎn)為中點(diǎn)的任意觀測(cè)邊距離待確定中央子午線的最佳偏移量ym的范圍值。

2 平均曲率半徑

根據(jù)《公路勘測(cè)細(xì)則》規(guī)定，Rm為參考橢球體在測(cè)距邊方向上的法截弧曲率半徑，因?yàn)槿我夥ń鼗∏拾霃脚c法截弧方位角有關(guān)，而方位角是任意不確定的，因此Rm的值在M(最小值，子午圈曲率半徑)和N(最大值，卯酉圈曲率半徑)之間，為便于計(jì)算，在日常計(jì)算中選取任一點(diǎn)P的平均曲率半徑作為Rm的值，公式為：

式中a為地球長(zhǎng)半軸，e為第一偏心率，B為P點(diǎn)的緯度值。

3 歸化投影數(shù)學(xué)模型案例應(yīng)用

京臺(tái)高速濟(jì)南至泰安段起點(diǎn)位于晏城樞紐立交，途經(jīng)德州市齊河縣、濟(jì)南市槐蔭區(qū)、市中區(qū)、長(zhǎng)清區(qū)、泰安市岱岳區(qū)，長(zhǎng)度約80km，方向南北偏東，地形穿越平原、丘陵和山地，測(cè)區(qū)海拔從20～230m不等，根據(jù)(1)式計(jì)算可知，當(dāng)海拔超過159m時(shí)，每千米高程歸化變形值超過25mm，不符合《公路勘測(cè)規(guī)范》規(guī)定，因此需要利用(7)式數(shù)學(xué)模型確定該線路合適的中央子午線進(jìn)行高斯投影改正，使變形值滿足規(guī)范規(guī)定的要求。

沿路線每隔1km選取約83個(gè)點(diǎn)，將每個(gè)點(diǎn)Pi的緯度帶入(8)式，計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的平均曲率半徑Rm，將Rm、海拔H和限差Δ帶入(7)式，利用EXCEL函數(shù)即可推算出Pi點(diǎn)在變形值限差為-25、25、-10、10對(duì)應(yīng)的偏移量ym值，如點(diǎn)P66，緯度36.25°，高程為223.2，經(jīng)公式(8)計(jì)算的該位置處曲率半徑為6371688m，帶入公式(7)可分別算得變形值限差為-25、25、-10、10對(duì)應(yīng)的偏移量ym值為69.8km、60.4km、45.1km、28.5km。

4 經(jīng)度差計(jì)算公式

赤道每隔經(jīng)度1度的實(shí)際長(zhǎng)度約為111km，緯線的周長(zhǎng)越靠南北兩極越小，同一緯度B每隔經(jīng)度1度距離就會(huì)變成111乘COSB，因此同一緯度只要知道2點(diǎn)之間的經(jīng)度差ΔL就可以計(jì)算出2點(diǎn)之間的距離，如式(9)；

ym=ΔL*111*cosB(9)，

由(9)式可得經(jīng)度差計(jì)算公式，

式中ym為任一點(diǎn)至中央子午線的距離，即偏移量，

將(10)式帶入EXCEL計(jì)算表，可得每點(diǎn)4個(gè)ym值對(duì)應(yīng)的經(jīng)度差，如點(diǎn)66，分別算得的經(jīng)度差為0.78°、0.68°、0.50°、0.32°。

5 經(jīng)緯度范圍確定

經(jīng)度差確定后，可由點(diǎn)Pi的精度加經(jīng)差(Pi對(duì)應(yīng)的中央子午線位于該點(diǎn)東側(cè))獲得該點(diǎn)高斯投影對(duì)應(yīng)的中央子午線值，也可由點(diǎn)Pi的精度減經(jīng)差(Pi對(duì)應(yīng)的中央子午線位于該點(diǎn)西側(cè))獲得該點(diǎn)高斯投影對(duì)應(yīng)的中央子午線值，如點(diǎn)66向西偏時(shí)所得中央子午線范圍值為116.20°、116.30°、116.48°、116.66°。經(jīng)對(duì)所有點(diǎn)中央子午線范圍進(jìn)行對(duì)比可以確定當(dāng)選取116.50度作為中央子午線時(shí)，全線每個(gè)測(cè)區(qū)觀測(cè)邊長(zhǎng)經(jīng)高程歸化、高斯投影改正后邊長(zhǎng)變形值可以滿足規(guī)范規(guī)定。

6 變形值驗(yàn)算

將最終確定的中央子午線116.50度帶入(6)式，計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)變形值，依次進(jìn)行驗(yàn)證中央子午線選取的可靠性，如點(diǎn)2，116.8248，36.7673，23.85，經(jīng)計(jì)算得歸化投影變形值為6.6mm；點(diǎn)P66，116.9787，36.2534，223.17，經(jīng)計(jì)算得歸化投影變形值為-12.4mm。

利用ECXEL表將所有點(diǎn)帶入，經(jīng)驗(yàn)算，當(dāng)選取116.50度作為中央子午線進(jìn)行高斯投影改正時(shí)，整個(gè)測(cè)區(qū)最大邊長(zhǎng)變形值為12.4mm，平均數(shù)學(xué)變形值為-1.5mm，可以滿足《公路勘測(cè)規(guī)范》中關(guān)于測(cè)區(qū)內(nèi)投影長(zhǎng)度每千米變形值小于2.5cm；大型構(gòu)造物投影長(zhǎng)度每千米變形值應(yīng)小于1cm的要求。

7 總結(jié)

在中低海拔地區(qū)用偏移中央子午線抵消高程歸化邊長(zhǎng)變形的方法確定合理的中央子午線是非常方便和合理的，投影的中央子午線不會(huì)較大地偏離實(shí)際坐標(biāo)系正確的中央子午線，避免了選取抵償高程面帶來(lái)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題，便于設(shè)計(jì)人員在超圖等GIS軟件中進(jìn)行BIM設(shè)計(jì)的應(yīng)用，具有較好的參考價(jià)值。