于清艷，胡向陽，李 勇，賈 英

(1.中國石化 石油勘探開發(fā)研究院，北京，100083； 2.中國石油 勘探開發(fā)研究院，北京，100083)

近年來，隨著中國油氣勘探開發(fā)程度越來越高，開發(fā)難度也逐漸增大?？傮w上，勘探開發(fā)由陸相向海相轉(zhuǎn)移，由碎屑巖儲層向碳酸鹽巖儲層轉(zhuǎn)移[1-2]。通過地震反演和儲集體靜態(tài)雕刻可知，碳酸鹽巖儲層可分為裂縫型、縫洞型、基質(zhì)孔隙型以及溶洞型等多種類型[3-6]。中國縫洞型碳酸鹽巖油藏多以洞穴型為主，且連通性差，油水分布復(fù)雜。近年來縫洞型油藏實(shí)現(xiàn)了快速上產(chǎn)，但由于油氣富集模式多樣，且存在滲流、自由流等多種流動狀態(tài)，導(dǎo)致縫洞型儲集體發(fā)育模式及其分布規(guī)律認(rèn)識不清，靜態(tài)雕刻儲量不夠準(zhǔn)確，同時(shí)儲集體油井參數(shù)和儲層參數(shù)無法通過靜態(tài)方法準(zhǔn)確確定。

針對此類縫洞型復(fù)雜儲層，在數(shù)學(xué)表征方面國內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了一些研究。常見的數(shù)學(xué)表征方法為通過引入三重孔隙的概念，建立了三孔單滲模型[7-12]和三孔雙滲模型[13]，并在多重介質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了試井理論研究[14-16]，此外，部分學(xué)者還以管流[17-19]、滲-管流耦合[20-21]等理論為基礎(chǔ)進(jìn)行了相關(guān)理論研究。例如，Li等[22]利用試井等動態(tài)診斷手段將縫洞型碳酸鹽巖儲集體分為兩大類：均質(zhì)型和復(fù)合型，其中根據(jù)儲集體內(nèi)部具體的孔洞縫分布，復(fù)合型儲集體包括徑向復(fù)合內(nèi)好外差、徑向復(fù)合內(nèi)差外好等類型，并對不同儲集體油井的生產(chǎn)特征進(jìn)行了評價(jià)。楊磊等[23]通過研究縫洞型碳酸鹽巖儲層，將其儲集體類型分為均勻基質(zhì)、封閉溶洞、雙重介質(zhì)和串珠狀儲層4類，并為這4類分別選定了試井解釋數(shù)學(xué)模型近似處理：均質(zhì)模型、徑向復(fù)合、雙重介質(zhì)、串并聯(lián)模型[24-25]。總體來說，目前對于尺度較小的裂縫型或溶洞型儲層，多用均質(zhì)多重模型來描述；對于內(nèi)外區(qū)縫洞發(fā)育情況不同的儲層，多用復(fù)合均質(zhì)多重模型來描述，模型中流體流動大多僅考慮為滲流?？梢姡煌目p洞空間組合可以簡化為不同的儲集體模式，進(jìn)而決定了油井不同的生產(chǎn)動態(tài)曲線形態(tài)[26-28]。

本文主要針對鉆遇大型溶洞的油井，在目前儲集體靜態(tài)地質(zhì)雕刻認(rèn)識的基礎(chǔ)上，將大型溶洞與其周圍儲層簡化為單洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型，其中，大型溶洞中的流體流動等效為自由流，多重介質(zhì)中的流體流動等效為達(dá)西滲流，建立了相應(yīng)滲流-自由流耦合數(shù)學(xué)模型，通過解析求解得到了油井產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線，同時(shí)經(jīng)過規(guī)整化處理[29-32]，獲得了歸一化的Blasingame擬合圖版，進(jìn)而經(jīng)過圖版的擬合，形成了油井參數(shù)、溶洞參數(shù)和其他儲層參數(shù)等的評價(jià)方法和流程，用以指導(dǎo)縫洞型碳酸鹽巖油藏的開發(fā)。

1 數(shù)學(xué)模型建立

當(dāng)碳酸鹽巖儲層中發(fā)育大型溶洞，且溶洞周圍分布均勻的小尺度孔洞縫儲層時(shí)，可用簡化大型溶洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型進(jìn)行求解。

1.1 物理模型

圖1為單洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型，油井直接打在溶洞上，溶洞周圍為多重介質(zhì)儲層。其中，儲集體簡化為三維圓柱復(fù)合模型，大型溶洞為內(nèi)部圓柱體，圓柱高度為h，半徑為R；外部為多重介質(zhì)，與圓柱體同心。模型作如下假設(shè)：①油井以定產(chǎn)量q生產(chǎn)；②油藏依靠彈性能開采；③流體弱可壓縮，且其壓縮系數(shù)為常數(shù)；④大型溶洞弱可壓縮，且其壓縮系數(shù)為常數(shù)，其內(nèi)流體為自由流；⑤周圍儲層考慮為滲流；⑥忽略重力、井筒儲集效應(yīng)和表皮效應(yīng)的影響。

圖1 單洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型Fig.1 The composite model of reservoirs of cavern-only and multi-porosity mediaa.靜態(tài)雕刻示意圖；b.物理模型示意圖

1.2 滲流-自由流耦合數(shù)學(xué)模型

模型的周圍儲層以三重介質(zhì)為例，且周圍儲層流體通過裂縫流入大型溶洞，同時(shí)周圍儲層基質(zhì)和溶蝕孔洞向裂縫中竄流。

流體在周圍儲層裂縫中滲流的偏微分方程為：

(1)

流體在周圍儲層溶蝕孔洞中滲流的偏微分方程為：

(2)

流體在周圍儲層基質(zhì)中滲流的偏微分方程為：

(3)

周圍儲層通過裂縫與大型溶洞相連，由大型溶洞質(zhì)量守恒定律可得，

(4)

大型溶洞考慮為自由流的等勢體，則大型溶洞中，

pf|r=R=pw=pV|r=R

(5)

封閉外邊界條件為：

(6)

初始條件為：

pv|t=0=pf|t=0=pm|t=0=pV|t=0=0

(7)

式中：R為大型溶洞半徑，m；r為任一點(diǎn)到井的徑向距離，m；；re為泄油半徑，m；q為油井的地面產(chǎn)量，m3/d；t為生產(chǎn)時(shí)間，h；Bo為原油體積系數(shù)，無量綱；μ為原油粘度，mPa·s；Kv，Kf，Km分別為周圍溶蝕孔洞系統(tǒng)、裂縫系統(tǒng)、基質(zhì)系統(tǒng)滲透率，10-3μm2；pm，pv，pf，pw，pV分別為周圍基質(zhì)系統(tǒng)、溶蝕孔洞系統(tǒng)、裂縫系統(tǒng)、井底和大型溶洞壓力，MPa；Φm，Φv，Φf，ΦV分別為周圍基質(zhì)系統(tǒng)、溶蝕孔洞系統(tǒng)、裂縫系統(tǒng)和大型溶洞的孔隙度；Ctm，Ctf，Ctv，CtV分別為周圍基質(zhì)系統(tǒng)、裂縫系統(tǒng)、溶蝕孔洞系統(tǒng)和大型溶洞的綜合壓縮系數(shù)，1/MPa；αm，αv分別為周圍基質(zhì)系統(tǒng)、溶蝕孔洞系統(tǒng)形狀因子，1/m2；h為儲層厚度，m。

引入下列無因次變量：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：rD為無因次半徑，無量綱；rw為井筒半徑，m；reD為無因次泄氣半徑，無量綱；RD為無因次大型洞穴半徑，無量綱；pf,m,v,VD分別為周圍裂縫系統(tǒng)、基質(zhì)系統(tǒng)、溶蝕孔洞系統(tǒng)和大型溶洞無因次壓力，無量綱；pi為原始地層壓力，MPa；λm,v分別為周圍基質(zhì)系統(tǒng)、溶蝕孔洞系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流系數(shù)，無量綱；ωf,m,v,V分別為周圍裂縫系統(tǒng)、基質(zhì)系統(tǒng)、溶蝕孔洞系統(tǒng)和大型溶洞儲容系數(shù)，小數(shù)。

則，整體油井無因次流動數(shù)學(xué)模型為：

(15)

式中：pwD為無因次井底流壓，無量綱。

經(jīng)拉普拉斯變換后：

(16)

聯(lián)立方程，可得以上方程的通解，

(17)

式中：A，B為常數(shù)，無量綱；K0為第二類零階虛宗量變形貝塞爾函數(shù)；I0為第一類零階虛宗量變形貝塞爾函數(shù)。

對公式(17)求導(dǎo)后，代入公式(16)中的內(nèi)邊界和外邊界條件，可得無因次井底流壓Laplace空間解：

(18)

其中，

(19)

(20)

(21)

(22)

式中：K1為第二類一階虛宗量變形貝塞爾函數(shù)；I1為第一類一階虛宗量變形貝塞爾函數(shù)；Y1，Y2，Y3，σ分別為中間變量。

利用Duhamel原理，井底無因次產(chǎn)量拉氏解為：

(23)

2 常規(guī)產(chǎn)量不穩(wěn)定敏感性分析

對上述拉氏解進(jìn)行數(shù)值反演，以無因次產(chǎn)量qD、無因次產(chǎn)量積分qDi和無因次產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)qDid的對數(shù)作縱坐標(biāo)，以無因次時(shí)間tD的對數(shù)為橫坐標(biāo)，繪制油井產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線，如圖2所示。

從圖2可以看出，單洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型特征曲線可以分為七個(gè)階段：Ⅰ為大型溶洞反應(yīng)階段，相當(dāng)于一個(gè)擴(kuò)大的“井筒”，表現(xiàn)出井筒儲集效應(yīng)，無因次產(chǎn)量積分與產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)曲線重合為斜率為“-1”的直線；Ⅱ 為外圍多重介質(zhì)裂縫線性流與徑向流反應(yīng)階段，主要與多重介質(zhì)中裂縫的性質(zhì)有關(guān)；Ⅲ 為外圍多重介質(zhì)中溶蝕孔洞向裂縫竄流階段，無因次產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)第一個(gè)“凹子”；Ⅳ 為多重介質(zhì)裂縫與溶蝕孔洞整體的徑向流階段，無因次產(chǎn)量積分與產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)曲線平行；Ⅴ為多重介質(zhì)中基質(zhì)系統(tǒng)向裂縫竄流階段，無因次產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)曲線出現(xiàn)第二個(gè)“凹子”；Ⅵ 為外圍多重介質(zhì)整體徑向流階段；Ⅶ 為邊界控制流階段，對于封閉邊界，產(chǎn)量積分曲線與產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)曲線重合為斜率為“-1”的直線。且若ωv=0，單洞與三重介質(zhì)復(fù)合模型可以簡化為單洞與雙重介質(zhì)復(fù)合模型；若ωv=0，ωf=0.8，模型可以簡化為單洞與單重介質(zhì)復(fù)合模型。

圖3為單洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型油井產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線影響因素的敏感性分析。由圖3a可以看出，中心大型溶洞半徑RD越大，無因次產(chǎn)量積分與產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)曲線相交的直線越靠上，反映的井筒儲集效應(yīng)階段持續(xù)時(shí)間越長。圖3b中，ωV對曲線的影響與RD類似，但影響相對較小。圖3c中可知，隨著周圍儲層泄氣半徑reD的增大，邊界控制流階段曲線是逐漸靠后的。由Blasingame理論可知[29-32]，運(yùn)用常規(guī)產(chǎn)量不穩(wěn)定分析圖版，由于邊界控制階段曲線的變化，擬合獲得的儲層參數(shù)和油井參數(shù)存在多解性問題。

圖2 油井產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線Fig.2 Oil production variation analysis curves

圖3 不同參數(shù)對產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線的影響Fig.3 Impact of different parameters on the production analysis curvesa. RD對產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線的影響；b. ωv對產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線的影響；c. reD對產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線的影響

3 Blasingame典型曲線圖版的繪制

通過Blasingame變換[29-32]，利用公式(24)—(27)，最終可獲得無因次規(guī)整化產(chǎn)量qDd、無因次規(guī)整化產(chǎn)量積分qDdi以及無因次規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)qDdid隨物質(zhì)平衡時(shí)間tDd的變化曲線。

(24)

圖4 Blasingame典型曲線圖版敏感性分析Fig.4 Parameter sensitivity analyses of typical Blasingame curvesa. RD對產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線的影響；b. ωv對產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線的影響；c. reD對產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線的影響

(25)

(26)

qDdid=qDdi-qDd

(27)

式中：qDd為無因次規(guī)整化產(chǎn)量，無量綱；qDdi為無因次規(guī)整化產(chǎn)量積分，無量綱；qDdid為無因次規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)；tDd為無因次物質(zhì)平衡時(shí)間，無量綱。

經(jīng)過變換，可得單洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型的Blasingame產(chǎn)量不穩(wěn)定分析典型曲線圖版，其參數(shù)敏感性分析如圖4所示。

由圖4c可以看出，Blasingame典型曲線早期的不穩(wěn)定流階段為一組對應(yīng)不同無因次井控半徑reD的曲線，reD越大，曲線的不穩(wěn)定流階段越往下，而曲線的邊界控制流階段匯聚成一條斜率為“-1”的直線，其值不會隨著reD的改變而左右移動?？梢姡?jīng)過Blasingame變換的處理，reD不再影響邊界控制流階段，僅影響不穩(wěn)定流階段，這對于儲層參數(shù)的擬合，尤其對于動態(tài)儲量的獲得減少了較多的不確定性。

4 典型曲線圖版擬合步驟

根據(jù)常規(guī)單重介質(zhì)封閉儲層Blasingame擬合方法可知[29-32]，規(guī)整化處理后的實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合典型曲線圖版的不穩(wěn)定流階段可獲得泄油半徑、儲層滲透率等參數(shù)，擬合典型曲線圖版的邊界控制流階段可確定油井動態(tài)儲量等參數(shù)。則對于大型溶洞與多重介質(zhì)復(fù)合儲層，可根據(jù)縫洞體靜態(tài)儲集體模型，選擇合適的大型溶洞與多重介質(zhì)Blasingame擬合圖版進(jìn)行擬合，具體的操作步驟為：

1) 油井實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)的規(guī)整化處理，根據(jù)公式(28)—(31)可獲得油井實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)的規(guī)整化產(chǎn)量qDd、規(guī)整化產(chǎn)量積分qDdi、規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)qDdid以及物質(zhì)平衡時(shí)間td；

2) 繪制規(guī)整化參數(shù)與物質(zhì)平衡時(shí)間的三條曲線；

3) 結(jié)合儲層靜態(tài)儲集體模型，規(guī)整化后的實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)通過擬合不穩(wěn)定流階段圖版曲線，可確定大型溶洞半徑、周圍儲層的泄氣半徑、周圍儲層的滲透率等參數(shù)；通過擬合邊界控制流階段圖版曲線，可確定周圍儲層的動態(tài)儲量，且通過與大型溶洞結(jié)合，根據(jù)公式(32)可確定油井的最終動態(tài)儲量。

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：td為油井物質(zhì)平衡時(shí)間，d；qd為油井規(guī)整化產(chǎn)量，m3/(d·MPa)；qdi為油井規(guī)整化產(chǎn)量積分，m3/(d·MPa)；qdid為油井規(guī)整化產(chǎn)量積分導(dǎo)數(shù)，m3/(d·MPa)；Np為油井累計(jì)產(chǎn)油量，m3；q為油井日產(chǎn)油量，m3；pwf為井底流壓，MPa；N為油井動態(tài)儲量，m3；Ct為周圍儲層綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；Sw為大型溶洞水的飽和度，小數(shù)。

5 實(shí)例應(yīng)用

塔里木油田某井鉆井資料顯示，當(dāng)鉆遇目的層位時(shí)，出現(xiàn)鉆桿放空和泥漿大量漏失等現(xiàn)象，說明井鉆遇了大型溶洞或裂縫。由靜態(tài)儲集體模型可知，T1井是通過大型溶洞與周圍多重介質(zhì)儲層相連的一口油井，其初期產(chǎn)量相對較高且投產(chǎn)油壓高，其生產(chǎn)動態(tài)曲線如圖5所示。

基于以上大型溶洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型Blasingame圖版擬合方法及步驟，處理T1井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)并進(jìn)行圖版擬合，擬合結(jié)果如圖6所示。由擬合結(jié)果可知，無因次大型溶洞半徑RD為20，泄氣半徑reD為300，qd/qDd=1/0.08，td/tDd=1/0.02。則計(jì)算得到大型溶洞半徑約為2.14 m，由公式(32)可計(jì)算得到評價(jià)的動態(tài)儲量大小約為27.95×104m3，解釋結(jié)果與現(xiàn)場實(shí)際地質(zhì)和鉆井?dāng)?shù)據(jù)吻合較好。可見，通過圖版擬合，利用油井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)即可快速確定大型溶洞參數(shù)、周圍多重介質(zhì)參數(shù)以及油井動態(tài)儲量等油井參數(shù)，同時(shí)可判斷油井生產(chǎn)狀況，最終指導(dǎo)油藏下一步合理開發(fā)部署。

圖5 塔里木油田T1井生產(chǎn)動態(tài)曲線Fig.5 Curves of the dynamic production data in Well T1,Tarim Basina.日產(chǎn)液和日產(chǎn)油變化曲線；b.含水率和氣油比變化曲線；c.油壓和油嘴大小變化曲線

圖6 油井實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)歸一化曲線圖版擬合結(jié)果Fig.6 Fitting of the cross-plots of normalized Blasingame typical curves with actual production dataa.圖版擬合前；b.圖版擬合后

6 結(jié)論

1) 縫洞型碳酸鹽巖儲層由于大型溶洞、溶蝕孔洞和裂縫的存在，流體流動包含自由流、滲流等多種流動形式。

2) 針對鉆遇大型溶洞的油井，可簡化為大型溶洞與周圍孔縫儲層組成的復(fù)合模型，其中大型溶洞中為自由流，井周儲層中為多重介質(zhì)滲流，最終建立了滲流—自由流耦合的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了求解，獲得了油井的產(chǎn)量不穩(wěn)定分析曲線，并進(jìn)行了敏感性分析。

3) 通過規(guī)整化處理，獲得了大型溶洞與多重介質(zhì)復(fù)合模型的Blasingame典型曲線圖版，邊界控制流階段曲線歸一化，減少了圖版擬合過程的不確定性。

4) 通過圖版擬合，最終可確定大型溶洞參數(shù)、周圍多重介質(zhì)參數(shù)以及油井動態(tài)儲量等油井參數(shù)，同時(shí)可判斷油井生產(chǎn)狀況，是否有能量補(bǔ)充和水侵等，為實(shí)際油井的合理開發(fā)提供技術(shù)支撐。