陳修龍 郭景堯 賈永皓

(山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院， 青島 266590)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比于串聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、精度高、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點，但由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異點的影響，使其優(yōu)勢難以發(fā)揮[1-4]。具有冗余結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以避免并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位型，提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度，在一定程度上提高了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動性能，因此受到研究者的廣泛關(guān)注[5-7]。結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)通過構(gòu)型的優(yōu)勢彌補了普通并聯(lián)機(jī)構(gòu)的不足，因此，對結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究具有重要意義。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛體動力學(xué)建模是實現(xiàn)動力學(xué)控制和研究機(jī)構(gòu)性能的前提，是在機(jī)構(gòu)運動學(xué)的基礎(chǔ)上對并聯(lián)機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步研究與探索[8-11]，可為并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動電機(jī)的選擇、控制和實際機(jī)構(gòu)的研制奠定理論基礎(chǔ)，同時為其他結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛體動力學(xué)建模提供可行的思路。近年來，國內(nèi)外學(xué)者采用不同的方法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型進(jìn)行了大量研究，但針對具有冗余結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究較少。劉芳華等[12]基于拉格朗日動力學(xué)模型，建立了6-UPS并聯(lián)平臺的全動力學(xué)模型，并求解了理想驅(qū)動力和時間的關(guān)系。XIN等[13]以三自由度空間并聯(lián)機(jī)器人為例，利用拉格朗日與虛功原理相結(jié)合的方法建立了動力學(xué)模型，并通過仿真和實驗加以證明。桑董輝等[14]提出了一種新型的二自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，利用牛頓-歐拉法建立了動力學(xué)方程，并在給定外力的作用下計算了關(guān)節(jié)作用力和作用力矩。王英波等[15]利用凱恩法建立了Stewart平臺的剛體動力學(xué)模型，并利用動力學(xué)建模仿真驗證了其動力學(xué)模型的正確性。陳修龍等[16]采用牛頓-歐拉法和虛擬仿真相結(jié)合的方法對4-UPS-RPS空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)分析。ABDELLATIF等[17]利用拉格朗日公式和廣義坐標(biāo)重新推導(dǎo)了動力學(xué)方程，驗證了坐標(biāo)選取形式的重要性。朱偉等[18]以一種新型四自由度高速并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，運用虛功原理建立了動力學(xué)方程，并通過ADAMS虛擬仿真進(jìn)行了驗證。GOSSELIN等[19]介紹了一種具有冗余結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并證明該機(jī)構(gòu)所有奇異點都可通過運動學(xué)冗余來避免。ABADI等[20]證明了結(jié)構(gòu)冗余是避免奇異點和增大工作空間的有效途徑，并提出了一種新的運動規(guī)劃策略，以避免奇異點的產(chǎn)生。QU等[21]提出了一種平面結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并通過靜力學(xué)仿真預(yù)測了機(jī)構(gòu)中較為容易損壞的位置。

本文以具有冗余結(jié)構(gòu)的3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對象，考慮其冗余構(gòu)型的影響，利用拉格朗日乘子法建立該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛體動力學(xué)模型。首先，分析3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征，計算機(jī)構(gòu)整體自由度；然后，利用閉環(huán)矢量法建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運動學(xué)模型，求解出驅(qū)動桿的角位移、角速度和角加速度；采用質(zhì)心坐標(biāo)和自然坐標(biāo)相結(jié)合的方式建立系統(tǒng)約束方程，計算機(jī)構(gòu)整體的質(zhì)量矩陣，利用拉格朗日乘子法建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程，并根據(jù)拉格朗日乘子與約束力矩的關(guān)系求解驅(qū)動力矩；最后，利用Matlab對動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解，將理論模型求解結(jié)果與ADAMS虛擬仿真結(jié)果進(jìn)行對比，分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)曲線。

1 結(jié)構(gòu)特征

3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示。該并聯(lián)機(jī)構(gòu)由定平臺、動平臺和3條運動支鏈組成，每條運動支鏈包括主動臂和從動臂，從動臂為由4根桿件組成的平行四邊形構(gòu)型，其中R表示轉(zhuǎn)動副，Pa表示平行四邊形構(gòu)型，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各個構(gòu)件之間均通過轉(zhuǎn)動副連接。

圖1 3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三維模型Fig.1 Three dimensional model of 3-RRPaR spatial parallel mechanism1.主動臂 2.轉(zhuǎn)動副 3.從動臂 4.定平臺 5.動平臺

3-RRPaR為閉環(huán)空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，采用修正的Grubler-Kutzbach公式計算其自由度[22]，計算公式為

(1)

式中P——機(jī)構(gòu)整體自由度

p——機(jī)構(gòu)構(gòu)件總數(shù)

q——機(jī)構(gòu)運動副總數(shù)

fk——第k個運動副的自由度

h——冗余約束數(shù)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的3條運動支鏈分布在2個平面內(nèi)，增加了機(jī)構(gòu)的剛度和平穩(wěn)性，通過對3個主動臂的旋轉(zhuǎn)驅(qū)動可實現(xiàn)動平臺的三維移動。對于運動支鏈中的平行四邊形構(gòu)型，由于引入了冗余約束，在動力學(xué)建模過程中需去掉多余的約束方程。

2 運動學(xué)模型

機(jī)構(gòu)運動學(xué)是研究物體的位置、速度和加速度與時間的關(guān)系，是機(jī)構(gòu)動力學(xué)研究的基礎(chǔ)。本文利用閉環(huán)矢量法建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)運動學(xué)模型[23-25]，分別求出機(jī)構(gòu)位置、速度和加速度的逆解。

2.1 位置模型

為方便表示并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)件間的幾何關(guān)系，對該機(jī)構(gòu)作機(jī)構(gòu)簡圖如圖2所示。在定平臺下建立全局坐標(biāo)系Oxyz，動平臺視為質(zhì)點O′，則O′點的位置矢量g=(x,y,z)T可表示為

gi=Mi+l1iui+l2isi-Ni(i=1,2,3)

(2)

式中Mi——鉸點Mi在Oxyz中的位置矢量

Ni——鉸點Ni在O′x′y′z′中的位置矢量

l1i——機(jī)構(gòu)主動臂桿長

l2i——機(jī)構(gòu)從動臂桿長

ui——主動臂單位方向矢量

si——從動臂單位方向矢量

圖2 3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.2 3-RRPaR spatial parallel mechanism diagram

Mi在定系Oxyz下的位置矢量為

Ni在局部坐標(biāo)系O′x′y′z′下的位置矢量為

為方便計算，引入單位矢量wi，wi垂直于主動臂的旋轉(zhuǎn)面，使得wi×ui能夠表示主動臂的旋轉(zhuǎn)方向。ui和wi的表達(dá)式為

將式(2)化簡，得gi-Mi-l1iui+Ni=l2isi，等式兩邊左乘各自的轉(zhuǎn)置，可得

(3)

將式(3)轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)式

Aisinθi+Bicosθi+Ci=0

其中A1=-2l11x

B1=2l11(y+a-m)

A2=2l12(z-b+n)

B2=2l12y

A3=-2l13x

B3=-2l13(y-a+m)

解得主動臂的角位移為

(4)

因此，可得從動臂單位方向矢量si為

si=(g-Mi-l1iui+Ni)/l2i

(5)

2.2 速度模型

將式(2)兩端關(guān)于時間求導(dǎo)，得到動平臺質(zhì)心點O′的速度表達(dá)式為

(6)

ωi——從動臂角速度矢量

(7)

對式(6)兩端同時左叉乘ωi，可求得機(jī)構(gòu)從動臂角速度為

(8)

則機(jī)構(gòu)從動臂質(zhì)心速度為

(9)

2.3 加速度模型

將式(6)兩端關(guān)于時間求導(dǎo)，得到動平臺質(zhì)心點O′的加速度表達(dá)式為

(10)

(11)

(12)

則機(jī)構(gòu)從動臂質(zhì)心加速度為

(13)

通過對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)逆解，得到主動臂角位移、角速度和角加速度。

3 動力學(xué)模型

3.1 約束方程

根據(jù)空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)各構(gòu)件之間的幾何關(guān)系建立其約束方程。質(zhì)心坐標(biāo)和歐拉角轉(zhuǎn)換矩陣可以準(zhǔn)確描述構(gòu)件的位置和姿態(tài)，易于通過驅(qū)動臂的角度變化來實現(xiàn)機(jī)構(gòu)驅(qū)動，但對于特殊情況下的旋轉(zhuǎn)變換，歐拉角存在奇異問題。自然坐標(biāo)是利用全局坐標(biāo)系下的絕對坐標(biāo)來描述構(gòu)件的運動狀態(tài)，兩點零矢的自然坐標(biāo)不涉及到構(gòu)件的方向矢量，適用于描述空間構(gòu)件的相對一維轉(zhuǎn)動，但兩點零矢的自然坐標(biāo)不能通過角度變化來實現(xiàn)機(jī)構(gòu)驅(qū)動。

3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)為結(jié)構(gòu)冗余的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，各個構(gòu)件之間均通過轉(zhuǎn)動副連接。為了易于驅(qū)動，方便地構(gòu)建約束方程并去掉多余的約束，本文對3個支鏈的主動臂采用質(zhì)心坐標(biāo)和歐拉角來表示機(jī)構(gòu)構(gòu)件的位置和姿態(tài)，對其他構(gòu)件采用自然坐標(biāo)來表示機(jī)構(gòu)構(gòu)件的位置和姿態(tài)。建立自然坐標(biāo)時，對于桿構(gòu)件，在桿的兩端建立自然坐標(biāo)，對于三角板構(gòu)件，在三角板的3個端點處建立自然坐標(biāo)。則機(jī)構(gòu)整體的廣義坐標(biāo)表示為

q=(O1,O2, …,O30)

其中Ok=(xk,yk,zk)T(k=2,3,…,9,11,12,…, 18,20,21,…,30)，Ok=(xk,yk,zk,αk,βk,γk)T(k=1,10,19)。

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)共有99個廣義坐標(biāo)，且機(jī)構(gòu)有三維移動自由度，因此需要添加96個線性無關(guān)的約束方程。由于機(jī)構(gòu)復(fù)雜且廣義坐標(biāo)數(shù)目較多，本文以1號支鏈為例構(gòu)建其約束方程，1號支鏈構(gòu)件坐標(biāo)表示如圖3所示。

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)1號支鏈坐標(biāo)示意圖Fig.3 Coordinate diagram of No.1 branch chain of parallel mechanism

用質(zhì)心坐標(biāo)和歐拉角表示構(gòu)件位姿時，可以利用運動副的約束關(guān)系建立約束方程?？臻g轉(zhuǎn)動副只有一維轉(zhuǎn)動，限制了構(gòu)件的三維移動和二維轉(zhuǎn)動，因此需構(gòu)建5個約束方程。為了約束兩構(gòu)件之間的相對移動，需使兩構(gòu)件在旋轉(zhuǎn)軸中心上的兩點重合。為了約束兩構(gòu)件之間兩個方向的相對轉(zhuǎn)動，需沿旋轉(zhuǎn)軸在兩構(gòu)件上分別建立兩個單位方向向量，使得這兩個方向向量共線，由于已知1號支鏈主動臂繞z軸旋轉(zhuǎn)，因此可直接限制構(gòu)件另外2個方向的相對旋轉(zhuǎn)?？傻棉D(zhuǎn)動副約束方程為

(14)

其中

式中Ru1——1號支鏈主動臂繞z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣

O3×1、O2×1——零矩陣

l11——1號支鏈主動臂桿長

利用自然坐標(biāo)表示構(gòu)件位姿時，可直接根據(jù)構(gòu)件的幾何關(guān)系建立約束方程

(15)

(16)

Φ4=O4-O2=O3×1

(17)

Φ5=O6-O3=O3×1

(18)

Φ6=|O5-O4|-l21=0

(19)

Φ7=O8-O5=O3×1

(20)

Φ8=O9-O7=O3×1

(21)

(22)

(23)

式中l(wèi)21——1號支鏈從動臂桿長

lx——平行四邊形構(gòu)型中小桿桿長

根據(jù)動平臺的尺寸和運動狀態(tài)建立約束方程

(24)

(25)

由運動學(xué)模型可知主動臂角位移變化函數(shù)，則對機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型建立驅(qū)動約束方程為

(26)

式中Φd——機(jī)構(gòu)主動臂驅(qū)動約束方程

由式(26)組成3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)理想約束方程

Φ(q)=[Φ1Φ2…Φ32Φd]T=O99×1

(27)

式中Φ1～Φ10——1號支鏈約束方程

Φ11～Φ20——2號支鏈約束方程

Φ21～Φ30——3號支鏈約束方程

3.2 質(zhì)量矩陣

質(zhì)量矩陣是質(zhì)量到廣義坐標(biāo)的推廣，是機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程的重要組成部分，而質(zhì)心坐標(biāo)和自然坐標(biāo)可以方便地表示構(gòu)件的質(zhì)量矩陣。

對于質(zhì)心坐標(biāo)下構(gòu)件對應(yīng)的質(zhì)量矩陣，由構(gòu)件局部坐標(biāo)原點的移動分量對應(yīng)的質(zhì)量矩陣和構(gòu)件局部坐標(biāo)原點的轉(zhuǎn)動分量對應(yīng)的慣性張量矩陣組成，可分別表示為

Nj=diag(mj,mj,mj) (j=1,6,11)

(28)

Jj=diag(Ixj,Iyj,Izj) (j=1,6,11)

(29)

則質(zhì)心坐標(biāo)下構(gòu)件j對應(yīng)的質(zhì)量矩陣為

Mj=diag(Nj,Jj) (j=1,6,11)

(30)

對于自然坐標(biāo)下構(gòu)件對應(yīng)的質(zhì)量矩陣，可利用慣性力的虛功率分別求出桿單元和三角板單元的質(zhì)量矩陣，桿單元和三角板單元(動平臺)的質(zhì)量矩陣分別為

(31)

(32)

式中I3——三階單位矩陣

則系統(tǒng)整體質(zhì)量矩陣為

M=diag(M1,M2,…,M16)

(33)

3.3 動力學(xué)方程

利用拉格朗日乘子法來建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛體動力學(xué)方程。將式(27)對時間求一階導(dǎo)數(shù)，得到系統(tǒng)速度約束方程為

(34)

式中Φq——系統(tǒng)約束方程的Jacobian矩陣

將式(27)對時間求二階導(dǎo)數(shù)，得到系統(tǒng)加速度約束方程為

(35)

利用拉格朗日法建立3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)帶有拉格朗日乘子的動力學(xué)方程為

(36)

式中δ、η——大于0的修正參數(shù)[25]

λ——系統(tǒng)拉格朗日乘子矢量

Q——系統(tǒng)廣義外力矢量

求解該動力學(xué)方程可得到系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義加速度和拉格朗日乘子矢量。通過系統(tǒng)的廣義加速度，積分得到系統(tǒng)的廣義速度和廣義坐標(biāo)，可用來描述間隙對系統(tǒng)動力學(xué)的影響，為研究含間隙動力學(xué)打下基礎(chǔ)。通過拉格朗日乘子矢量，可求得主動臂轉(zhuǎn)動副處的驅(qū)動力矩，完成3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)逆解。則i號支鏈驅(qū)動桿轉(zhuǎn)動副處驅(qū)動力矩為

(37)

Ri——i號支鏈主動臂局部坐標(biāo)系關(guān)于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣

ρi——i號支鏈主動臂轉(zhuǎn)動鉸點在其局部坐標(biāo)系中的位置矢量

4 算例仿真與分析

4.1 仿真參數(shù)

根據(jù)上述理論模型利用Matlab編寫程序，進(jìn)行3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程的數(shù)值求解。利用Matlab自帶的ode45算法進(jìn)行數(shù)值求解，使得計算效率更高，結(jié)果更精確。

3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量和構(gòu)件參數(shù)如表1～3所示。

表1 3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)主動臂轉(zhuǎn)動慣量Tab.1 Moment of inertia of active arm of 3-RRPaR spatial parallel mechanism kg·m2

圖4 動平臺動態(tài)響應(yīng)曲線Fig.4 Dynamic response curves of moving platform

表2 3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural parameters of 3-RRPaR spatial parallel mechanism

表3 定平臺和動平臺尺寸參數(shù)Tab.3 Size parameters of fixed platform and moving platform m

4.2 仿真結(jié)果與分析

為了分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)，需要對動平臺規(guī)劃一條運動軌跡。已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)有三維移動自由度，使得動平臺中心點在全局坐標(biāo)系Y-Z平面運動軌跡為圓軌跡，其運動方程描述為

(38)

動平臺在全局坐標(biāo)系下的起始點為(0.54, 0.15, 0.08)，利用Matlab對動力學(xué)方程進(jìn)行數(shù)值求解，得到該機(jī)構(gòu)動平臺位移、速度和加速度曲線，然后利用拉格朗日乘子和約束力矩的關(guān)系求解出驅(qū)動桿處的驅(qū)動力矩，并將結(jié)果與ADAMS仿真結(jié)果進(jìn)行對比，對機(jī)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)曲線進(jìn)行分析。

圖4是該機(jī)構(gòu)動平臺動態(tài)響應(yīng)曲線，分別求出了機(jī)構(gòu)剛體時動平臺的位移、速度和加速度，與規(guī)劃的運動軌跡相同，驗證了該動力學(xué)模型的正確性，為分析含間隙時的動力學(xué)模型打好基礎(chǔ)。

圖5 并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩曲線Fig.5 Driving torque curves of driving rod

圖5a為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)空載時驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩曲線。從圖5a可以看出，Matlab求解動力學(xué)模型所得驅(qū)動力矩曲線和ADAMS虛擬仿真所得驅(qū)動力矩曲線基本吻合，但有較小誤差。其中3號驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩誤差最大，為0.027 N·m；1號驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩誤差次之，為0.015 3 N·m；2號驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩誤差最小，為0.002 3 N·m?？蛰d時，3號支鏈驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩最大，最大值達(dá)到4 N·m，1號支鏈和2號支鏈驅(qū)動力矩較小且相差不大，為0.8 N·m左右。

圖5b為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺加載1 kg時驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩曲線。從圖5b可以看出，動平臺加載1 kg之后，驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩數(shù)值相應(yīng)增大，Matlab與ADAMS數(shù)值結(jié)果的誤差也隨之增大，但幅值和周期基本沒有變化。3號驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩最大為6 N·m ，誤差為0.027 N·m ；1號驅(qū)動桿和2號驅(qū)動桿驅(qū)動力矩相差不大，為1 N·m，誤差也相應(yīng)較小，1號驅(qū)動桿誤差為 0.014 N·m，2號驅(qū)動桿誤差為0.004 N·m。

由以上分析可知，通過剛體動力學(xué)模型求解出的并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的位移、速度和加速度，結(jié)果與所規(guī)劃軌跡完全吻合，分別對比了機(jī)構(gòu)空載和加載時驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩，Matlab與ADAMS結(jié)果基本一致，驗證了3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛體動力學(xué)模型的正確性。

5 結(jié)論

(1)分析了3-RRPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特征，利用閉環(huán)矢量法建立了該機(jī)構(gòu)的逆運動學(xué)模型，得到了主動臂的角位移、角速度和角加速度。

(2)通過質(zhì)心坐標(biāo)法和自然坐標(biāo)法建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束方程，分別計算出質(zhì)心坐標(biāo)和自然坐標(biāo)下構(gòu)件的質(zhì)量矩陣，利用拉格朗日乘子法建立了3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程，并根據(jù)拉格朗日乘子和驅(qū)動力矩的關(guān)系求解出驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩。

(3)通過Matlab求解3-RRPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛體動力學(xué)方程，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺的位移、速度和加速度，結(jié)果與所規(guī)劃軌跡完全吻合，通過ADAMS虛擬仿真得到機(jī)構(gòu)空載和加載時驅(qū)動桿的驅(qū)動力矩曲線，與Matlab數(shù)值計算結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗證了3-RRPaR空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛體動力學(xué)模型的正確性。