對微積分學(xué)教育教學(xué)中構(gòu)建學(xué)生“數(shù)學(xué)極限思想”的研究

王智勇 王春秀

摘? 要：文章針對努力實現(xiàn)“高職教育培養(yǎng)高素質(zhì)技能型專門人才”的目標(biāo)定位， 解讀數(shù)學(xué)極限思想概念和數(shù)學(xué)極限思想的本質(zhì)特征，從古人數(shù)學(xué)極限思想萌芽到青年學(xué)生的認知模型和認知特質(zhì)，探索出高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)模塊——微積分學(xué)的教育教學(xué)中構(gòu)建學(xué)生“數(shù)學(xué)極限思想”的路線圖。

關(guān)鍵詞：極限思想;本質(zhì)特征;認知模型;路線圖

Abstract： To achieve the object of cultivating many professionals with special skills and abundant competence， this paper firstly analyzes the concept of mathematic limits ant its essence. Next， according to college students' cognition traits， it finds out one route to building the thinking model of mathematic limit in giving a lecture on calculus.

Keywords： concept of mathematic limits; essence; cognition model; route

微積分學(xué)作為高等數(shù)學(xué)之基礎(chǔ)，絕不僅僅是解決問題的工具，其中蘊涵著博大的科學(xué)思想之一——“數(shù)學(xué)極限思想”，是數(shù)學(xué)教育教學(xué)不可忽視的，正如日本數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家米山國藏在其專著《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中論述到：“無論對于科學(xué)工作者、教師人員，還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的就是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)知識只是第二位的?！盵1]“如果教師們利用數(shù)學(xué)教科書，向?qū)W生們傳授這樣的精神、思想和方法，并通過這些精神活動以及數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的活用，反復(fù)地鍛煉學(xué)生們的思維能力……縱然把數(shù)學(xué)知識忘記了，但數(shù)學(xué)精神、思想、方法也會深深銘刻于腦海里，長久地活躍于日常的業(yè)務(wù)中。”[1]可見，學(xué)生將數(shù)學(xué)知識忘卻了以后，剩下的核心成分是數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法。然而，現(xiàn)實狀況是，在高職高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，普遍存在重視數(shù)學(xué)理論教學(xué)和數(shù)學(xué)理論應(yīng)用教學(xué)，而忽視了“深深銘刻于腦海里”的起到重要教育意義的人文思想之一——“數(shù)學(xué)思想”。這種現(xiàn)狀，與“教書育人”的基本原則相悖，與習(xí)近平總書記提出的“三全育人”的總體要求不相適應(yīng)，與高職教育培養(yǎng)高素質(zhì)技能型專門人才的目標(biāo)定位相差甚遠。挖掘高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想，全方位多角度地開展學(xué)生思想素質(zhì)教育，提高高職數(shù)學(xué)教育教學(xué)效能，成為高職院校數(shù)學(xué)教育工作者必須面對的課題。本文從數(shù)學(xué)極限思想的本質(zhì)特征、青年學(xué)生的認知模型的視角，探索出高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)模塊——微積分學(xué)的教育教學(xué)中構(gòu)建學(xué)生“數(shù)學(xué)極限思想”的路線圖。

一、數(shù)學(xué)極限思想概念和數(shù)學(xué)極限思想本質(zhì)特征的解讀

（一）數(shù)學(xué)極限思想概念的解讀

所謂數(shù)學(xué)極限思想，是指用極限概念、極限性質(zhì)、極限準(zhǔn)則、極限公式和極限運算方法、極限分析方法，進行認識問題、判斷問題、邏輯證明問題、嚴密分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。“數(shù)學(xué)極限思想”構(gòu)成的理論體系在于：

第一，數(shù)列極限概念及數(shù)學(xué)表達式;

第二，函數(shù)極限中的自變量六種變化過程及數(shù)學(xué)表達式;

第三，函數(shù)極限概念及數(shù)學(xué)表達式;

第四，極限性質(zhì)和極限準(zhǔn)則;

第五，極限運算法則和極限運算方法;

第六，函數(shù)極限的兩個重要極限公式：

第七，極限的一系列分析方法;

第八，無窮大、無窮小的概念，無窮小的性質(zhì)，無窮大與無窮小的關(guān)系等。

（二）“數(shù)學(xué)極限思想”的本質(zhì)特征

數(shù)學(xué)極限思想不僅貫穿整個微積分學(xué)理論，而且在高等數(shù)學(xué)的微分方程、級數(shù)理論、積分變換、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等，以及建筑工程、機械工程、電子通信、信息工程、自動化控制工程等方面都有廣泛的應(yīng)用?！皵?shù)學(xué)極限思想”揭示了一系列對立統(tǒng)一及矛盾相互轉(zhuǎn)化的辯證規(guī)律：

第一、它揭示了無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系?！盁o限”與“有限”是反映事物發(fā)展變化的不同程度，兩者既有聯(lián)系，又有本質(zhì)的不同。例如，無限個循環(huán)小數(shù)的和，不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想方法，從“有限”來認識“無限”的，從“已知”世界探尋“未知”世界。例如：

第二，揭示了常量與變量的對立統(tǒng)一的關(guān)系。按照辯證唯物主義觀點，“變”是絕對的，經(jīng)常的，永恒的，而“不變”是相對的?！白儭迸c“不變”反映了事物變化發(fā)展與事物相對靜止的兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可以相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)極限思想的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運動質(zhì)點在某一時刻的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們觀察到很小很小的時間段內(nèi)，速度改變也很小很小，把小時間段內(nèi)的變速運動，看成勻速運動，用勻速代替變速，并求其平均速度，再把瞬時速度定義為運動時間段無限短的平均速度的極限。

第三，揭示了直線與曲線的對立統(tǒng)一的關(guān)系。“曲線”與“直線”有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，在生活中的木桶由等長的小矩形木板鑲成的，小矩形木板的寬為短直線段，而木桶的上下底面圓周為圓周弧線，在這里，“直線形”與“曲線形”實現(xiàn)了轉(zhuǎn)換。恩格斯在《自然辯證法》一束中感嘆道：“直線和曲線在微分中終于等同起來了。”[2]善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一，例如直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等數(shù)學(xué)方法是不能解決的。

第四，揭示了量變和質(zhì)變的辯證規(guī)律。量變的積累，到達一定的程度能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一。例如，生活中的蔬菜茄子，不是一個規(guī)則的圓柱體。當(dāng)我們將茄子平放在菜板的平面上，用垂直于菜板的平面，不停地截茄子，任取其中的薄片茄子，仔細觀察，這一薄片茄子幾乎變成了一個薄薄的圓柱體。再把茄子截得越薄，則薄片茄子就無限接近一個規(guī)則的薄圓柱體，而規(guī)則的圓柱體的體積有公式計算，計算得來的體積，是一個近似值，進而將每個薄片茄子的體積（近似值）進行無限疊加（求和）后，再取極限（積分），就能計算出茄子的體積。這種“分割——取近視——求和——取極限”的過程中，就是數(shù)學(xué)極限思想的直接應(yīng)用。

第五，揭示了近似與精確的對立統(tǒng)一關(guān)系，兩者在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是高等數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際計算的重要訣竅。例如，微分的近似由變量比計算公式：

二、古代極限思想的萌芽與青年大學(xué)生的認知特質(zhì)解讀

（一）古代極限思想的萌芽

在生產(chǎn)力落后的古代，我們的祖先對有限、無限問題認識不斷深化，逐漸形成數(shù)學(xué)極限思想的萌芽。公元前三世紀(jì)戰(zhàn)國時期出現(xiàn)的《莊子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的名言，萌芽出了無限細分的極限思想;到了公元三世紀(jì)，我國三國時期的數(shù)學(xué)家劉輝，將莊子的無限細分的極限思想，用在了圓的面積的計算，他在《九章算術(shù)》中采用了正多邊形對圓周不斷分割，得出“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失”的無限逼近的數(shù)學(xué)極限思想方法。

（二）高職大學(xué)生的認知模型和認知特質(zhì)的解讀

從認知的總體視角看，認知發(fā)展是從初級向高級，從簡單到復(fù)雜方向發(fā)展的。青年大學(xué)生歷經(jīng)小學(xué)到中學(xué)系統(tǒng)的連續(xù)的學(xué)習(xí)和接受教育，認知得到極大的發(fā)展，其認知過程和認知能力，都是多層次的，多結(jié)構(gòu)的。具體體現(xiàn)在：

（1）青年大學(xué)生們注意力的集中性和穩(wěn)定性，得到了很好的發(fā)展，注意力達到成年人的水平;

（2）青年學(xué)生們記憶的自覺性和目的性，得到很大的提高，能堅持運用有意義的識記方法;

（3）青年學(xué)生們的理解能力也有很好的發(fā)展，對學(xué)習(xí)內(nèi)容，能尋找內(nèi)在聯(lián)系，抓住主題，分清重點;

（4）青年學(xué)生們的抽象思維能力在不斷發(fā)展，經(jīng)歷了感知行動思維、具體抽象思維和抽象邏輯思維等階段。

（5）盡管青年學(xué)生們的這些認知能力具有個體差異性和觀察的不確定性，但是，學(xué)生們的認知水平都會遵循認知數(shù)學(xué)模型：

三、微積分學(xué)的教育教學(xué)中，構(gòu)建高職學(xué)生“數(shù)學(xué)極限思想”的路線圖

（一）在微積分學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中挖掘“數(shù)學(xué)極限思想”

對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)問題（案例）提出和思考的過程，數(shù)學(xué)概念的理解和建立過程，數(shù)學(xué)方法（性質(zhì)或規(guī)則）的形成和運用過程，數(shù)學(xué)原理（定理）的理解和證明過程，數(shù)學(xué)規(guī)律的熟悉和掌握過程等，都是高職學(xué)生數(shù)學(xué)思想感覺、發(fā)現(xiàn)、提出、滲透、理解、提煉、歸納和逐步建立的過程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思想歸納、總結(jié)和深化的好時機，更是數(shù)學(xué)老師挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想，對蘊含在不同數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中看似“碎片化”分散的數(shù)學(xué)思想，進行條理化和系統(tǒng)化整合的好路徑。例如極限理論知識教學(xué)中的數(shù)列極限概念及數(shù)學(xué)表達式、函數(shù)極限中的自變量六種變化過程及數(shù)學(xué)表達式、函數(shù)極限概念及數(shù)學(xué)表達式、極限性質(zhì)和極限準(zhǔn)則、極限運算方法，函數(shù)極限的兩個重要極限公式，以及極限的一系列分析方法等極限知識，不僅僅是構(gòu)成極限理論知識和極限分析方法，而且蘊含了豐富的數(shù)學(xué)極限思想，有待數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)極限教育教學(xué)中挖掘出“數(shù)學(xué)極限思想”，有意識有目的進行數(shù)學(xué)極限思想教學(xué);又如以數(shù)學(xué)極限理論知識為基礎(chǔ)，主要研究變量變化的速度和大小問題，建立導(dǎo)數(shù)和微分概念及微分學(xué)理論，是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具，用微分學(xué)分析函數(shù)變化形態(tài)的過程中，離不開分析討論“常量與變量”、“連續(xù)與間斷”、“直與曲”、“凸與凹”、“極大與極小”、“最大與最小”等，用“數(shù)學(xué)極限思想”揭示的一系列對立統(tǒng)一的辯證規(guī)律。微分學(xué)的建立和微分學(xué)中蘊含的數(shù)學(xué)極限思想不僅對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響，而且滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會經(jīng)濟等各個領(lǐng)域。結(jié)合微分學(xué)應(yīng)用的典型例題分析與講解，帶領(lǐng)學(xué)生在“用數(shù)學(xué)”解決實際問題中揭示“數(shù)學(xué)極限思想”，反過來又用“數(shù)學(xué)極限思想”分析解決實際問題。

數(shù)學(xué)極限理論知識、數(shù)學(xué)極限思想和數(shù)學(xué)極限方法三者，相互交織，融為一體，需要數(shù)學(xué)老師在數(shù)學(xué)教材中認真挖掘數(shù)學(xué)極限思想，有意識的深化“數(shù)學(xué)極限思想”的滲透;從極限理論知識、極限方法和極限思想的邏輯角度分析與把握，熟悉教材的知識體系與知識要點的脈絡(luò)、地位與作用、重點與難點，還要按照極限實例（案例）、極限概念的建立、極限理論知識的理解、極限計算等知識板塊的教學(xué)結(jié)構(gòu)中，挖掘、尋找和總結(jié)“數(shù)學(xué)極限思想”;從數(shù)學(xué)極限的教學(xué)中提煉和概括極限思想，又把提煉和概括的極限思想反饋到極限理論知識的進一步理解、掌握和應(yīng)用中，一步一步地積累學(xué)生的極限理論知識和形成學(xué)生自覺行動的數(shù)學(xué)極限思想，進而形成學(xué)生全面的極限理論知識和極限思想體系。

（二）在數(shù)列極限和函數(shù)極限的一系列概念形成的過程中滲透“極限思想”

數(shù)學(xué)極限概念的教學(xué)，是建立在已有的基礎(chǔ)知識和熟悉的典型事例的前提下，與學(xué)習(xí)理解新知識之間建立起內(nèi)在聯(lián)系，包括數(shù)學(xué)極限問題的提出→極限概念初步形成→極限概念的建立→極限概念的概括和極限符號的準(zhǔn)確表達等內(nèi)容。教學(xué)中用幾何圖形的直觀表達，讓學(xué)生更容易理解抽象的極限概念及其表達式、極限性質(zhì)和極限準(zhǔn)則等，形成數(shù)學(xué)極限思想的初步印象;用典型的數(shù)學(xué)極限例題分析，幫助學(xué)生在用極限概念、極限性質(zhì)、極限公式和極限運算方法解決問題的過程中，加深極限概念的理解，熟悉極限公式和極限運算方法的應(yīng)用，逐步建立數(shù)學(xué)極限思想。

數(shù)學(xué)極限概念包括數(shù)列極限、自變量無限增大時函數(shù)的極限、自變量無限趨近于某一點時函數(shù)的極限、自變量無限趨近于某一點時函數(shù)的單側(cè)極限（即左極限和右極限）。人類對數(shù)學(xué)極限的認識，不是一蹴而就的，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)極限認識的萌芽→極限深入思考的困惑→極限概念的深刻認識與表達的過程。數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)極限的認識和定義，進行了艱苦的探尋過程，直到19世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯提出嚴格化靜態(tài)化的極限定義，即為“ε-Ν”函數(shù)f（x）在x→∞時的靜態(tài)化極限定義：

數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯“ε-Ν”靜態(tài)化極限定義的成功，在于消除了歷史上關(guān)于極限各種模糊的表述，諸如“最終比”、“無限趨近于”、“無限接近于”等等，消除了歷史上形成的多年的“貝克萊悖論”。數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯極限定義中發(fā)明的“ε-Ν”數(shù)學(xué)語言表達方式的奧妙在于，正數(shù)ε>0（不論它多么?。┦侨我饨o定的，蘊含了辯證的邏輯思想：

其一，正數(shù)ε具有確定性，一旦給定，就不能變了;

其二，正數(shù)ε具有任意性，在選定之前，具有變化的特性，可以看成變量;

其三，只要給定正數(shù)ε，總存在正數(shù)y>b。即是說正數(shù)ε與正數(shù)y之間建立了某種對應(yīng)關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系。

這一嚴謹科學(xué)的極限定義，清晰地表達了函數(shù)極限中蘊含的“流動性，不確定性和無限性”思想和過程邏輯確定性思想;這一嚴謹科學(xué)的極限定義，具有數(shù)學(xué)語言獨特表達的抽象性，學(xué)生理解這一函數(shù)極限的定義有困難，教師在教學(xué)過程中，用生活中或發(fā)生過較容易理解的直觀的案例，多角度全方位的分析講解，引導(dǎo)學(xué)生理解和建立極限概念中的“流動性，不確定性和無限性”思想和過程邏輯確定性思想。

數(shù)列{xn}收斂于a的幾何意義：

1. 將數(shù)列{xn}中的項，放置于數(shù)軸上時，數(shù)列{xn}收斂于a就意味著對于無論多么小的正數(shù)ε，對于區(qū)間（a-ε，a+ε）（即為點a的領(lǐng)域 U（a+ε）），總存在正整數(shù)N，使得數(shù)列{xn}的點列x1，x2，x3，x4......xn......的第n個點xN，以后所有的點xN+1，xN+2，xN+3，......都落入鄰域 U（a+ε）內(nèi)。

2. 如圖1所示

3. 數(shù)列{xn}極限定義中的正數(shù)ε，是任意給定的，正整數(shù)N是隨著正數(shù)ε的給定而確定的。

通過對數(shù)列極限的“代數(shù)分析”、“ε-Ν”極限定義分析、理解“ε-Ν”數(shù)列極限定義、數(shù)列{xn}收斂于a 的幾何意義分析，讓學(xué)生多角度全方位理解數(shù)列極限概念，多重理解數(shù)列極限和數(shù)列極限概念，不僅僅起到深入理解數(shù)列極限概念，而且加深了數(shù)列極限方法的掌握，建立了數(shù)學(xué)極限思想。

（三）在數(shù)學(xué)極限問題解決過程中深入揭示 “數(shù)學(xué)極限思想方法”

單純的教授數(shù)學(xué)方法，無論是在解答數(shù)學(xué)題，還是解決實際問題，學(xué)生很難做到熟練掌握，多數(shù)學(xué)生在很長時間段都停留在簡單的模仿階段，學(xué)到的數(shù)學(xué)方法也是一些“套路式”的方法。這些“套路式”的方法，缺乏活的“靈魂”或活的“思想”，難以舉一反三，靈活運用。

數(shù)學(xué)的特點之一，就是具有廣泛的應(yīng)用性。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于用好數(shù)學(xué)，在于用數(shù)學(xué)理論思考實際問題和解決實際問題，也就是數(shù)學(xué)老師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的過程，一個應(yīng)用數(shù)學(xué)理論探索實際問題與解決實際問題的過程，在這一過程中，有意識的有目的地深入揭示數(shù)學(xué)思想，有意識的有目的地總結(jié)出數(shù)學(xué)方法，將“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)方法”有機結(jié)合，形成帶有規(guī)律性的科學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法一經(jīng)形成，必然遵循數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)理論，完全可以指導(dǎo)實踐，完全可以反復(fù)用之于實踐，師生在思考、分析、探索和解決實際問題的過程中，反復(fù)運用科學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法，不僅能提升他們解決實際問題的能力，而且還能夠深化高職學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，對高職學(xué)生初步形成的數(shù)學(xué)思想進行整體化和系統(tǒng)化的作用，熟練師生解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，解決實際問題的方法也就變得更有“靈魂”了。

（四）在不同階段的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)整理中，歸納、概括、總結(jié)和深化“數(shù)學(xué)極限思想”

數(shù)學(xué)極限思想的教學(xué)必須以數(shù)學(xué)極限知識和數(shù)學(xué)極限理論為載體，而數(shù)學(xué)極限思想又常常分布在許多不同的知識點中，在形式上看，數(shù)學(xué)極限思想體現(xiàn)出了一定的“分散”的特點。這種“分散”，不是簡單的分散，有的分散在數(shù)學(xué)概念的形成中，如“導(dǎo)數(shù)概念的形成”、“無窮小”、“無窮大”、“函數(shù)連續(xù)”、“定積分概念的形成”等;有的分散在數(shù)學(xué)問題的解決中，如“曲線上一點處切線的斜率”、 “曲線的曲率”、 “曲邊梯形面積”、“變速直線運動的路程”等;有的分散在數(shù)學(xué)問題的分析認識中，如“曲線連續(xù)與間斷分析”、“曲線性態(tài)分析”等;有的分散在數(shù)學(xué)新理論理解掌握中，如“級數(shù)理論”、“積分變換”、“中心極限定理”等。不同的數(shù)學(xué)知識和理論中蘊含“數(shù)學(xué)極限思想”方式不同，不同的數(shù)學(xué)知識和理論中“數(shù)學(xué)極限思想”的表達形式也不同，不同的數(shù)學(xué)知識和理論中“數(shù)學(xué)極限思想”的思維方式更不同。這種“數(shù)學(xué)極限思想”在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中“分散”和表現(xiàn)方式“多樣”的特點，符合“高職大學(xué)生的認知特征”，有助于高職學(xué)生全方位多角度感悟、認知、理解和掌握數(shù)學(xué)極限思想;再從辯證法的視角看待，“數(shù)學(xué)極限思想”在數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的“分散”，不是簡單的分開，而是體現(xiàn)在一系列數(shù)學(xué)概念中、一系列數(shù)學(xué)理論的結(jié)構(gòu)中和一系列數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用中，數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，既要認真挖掘不同數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中數(shù)學(xué)極限思想，又要及時地歸納、概括、總結(jié)、提煉和深化數(shù)學(xué)極限思想，將表現(xiàn)方式的“多樣化”特點的數(shù)學(xué)極限思想條理化、系統(tǒng)化、層次化和整體化，引導(dǎo)學(xué)生有層次地全面地理解數(shù)學(xué)極限理論知識和數(shù)學(xué)極限思想，更系統(tǒng)地和整體地思考數(shù)學(xué)極限概念的產(chǎn)生、極限的性質(zhì)、極限形成的知識結(jié)構(gòu)、有關(guān)極限新知識的展開……，怎樣證明？實質(zhì)是什么？怎樣應(yīng)用？等等，構(gòu)建極限理論、極限思想及其應(yīng)用的良好的認知結(jié)構(gòu)。

五、結(jié)束語

數(shù)學(xué)極限思想方法蘊含了數(shù)學(xué)極限思想和數(shù)學(xué)極限方法，更是數(shù)學(xué)極限思想與數(shù)學(xué)極限方法的辯證統(tǒng)一。就現(xiàn)有的數(shù)學(xué)教材中，都沒有明確提出或單獨提出數(shù)學(xué)極限思想方法，而是將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法融入數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，滲透到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)。教師在教學(xué)備課中不僅要鉆研數(shù)學(xué)教材，博覽數(shù)學(xué)文獻，而且還要將數(shù)學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法揭示和挖掘出來，選擇好典型教學(xué)案例，結(jié)合學(xué)生實際，把數(shù)學(xué)極限思想方法列為具體的教學(xué)目的，把數(shù)學(xué)極限思想方法作為實現(xiàn)“教書育人”的重要內(nèi)容，開展教育教學(xué)。在課程教學(xué)中，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)現(xiàn)、提出、滲透、提煉、歸納、概括、總結(jié)、激活、深化和運用。“只有這樣，才能引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)思想的精髓，學(xué)到真正的知識，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維能力?！盵4]

參考文獻：

[1][日]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].四川教育出版社，1986：87-95.

[2]弗里德里希·馮·恩格斯.自然辯證法[M].學(xué)習(xí)出版社，1998：45-46.

[3]李心燦.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2008：55-56.

[4]曹一鳴.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].高等教育出版社，2008：280-232.