二次函數(shù)解析式求解方法初探

張榮富

【摘要】數(shù)學(xué)是一門非常有助于培養(yǎng)學(xué)生理性思維及邏輯思維能力的課程，初中數(shù)學(xué)又是學(xué)生承上轉(zhuǎn)下的關(guān)鍵時(shí)期，數(shù)學(xué)掌握的好壞對(duì)學(xué)生以后學(xué)習(xí)具有重要影響。以各地中考試題為例，分析、研究其中的奧秘和思路，這對(duì)我們學(xué)好二次函數(shù)，正確掌握應(yīng)對(duì)方法，提高解題能力等都有著積極的意義。求二次函數(shù)解析式這類題不僅涉及面廣，而且靈活性大，技巧性強(qiáng)。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)解析式? 求解方法

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）13-0163-02

說(shuō)到中考數(shù)學(xué)，就不得不提函數(shù)這一重要知識(shí)內(nèi)容。

毫不夸張地說(shuō)，函數(shù)知識(shí)是整個(gè)初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，是中考數(shù)學(xué)必考的知識(shí)范疇，一直以來(lái)在中考數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)大的比重，更是中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)。

因此，每年各省中考數(shù)學(xué)試題的命題方向，都放在了二次函數(shù)上。

以各地中考試題為例，分析、研究其中的奧秘和思路，這對(duì)我們學(xué)好二次函數(shù)，正確掌握應(yīng)對(duì)方法，提高解題能力等都有著積極的意義。

求二次函數(shù)解析式這類題不僅涉及面廣，而且靈活性大，技巧性強(qiáng)。

本文通過(guò)對(duì)經(jīng)典案例的分析，結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)總結(jié)出二次函數(shù)解析式的幾種常見求法，為教師的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)提供參考，和大家共勉，不足之處，請(qǐng)批評(píng)指正。

一、一般形式：y=ax2+bx+c（a不為0）型，其中a，b，c為待定系數(shù)。

例1.已知：一個(gè)二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)（-1，10），（2，7），（1，4）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)解析式。

分析：已知拋物線過(guò)三點(diǎn)，一般情況下都可以設(shè)其解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，即得一個(gè)含有a，b，c的三元一次方程組，解出方程組即可，從而求解。

二、頂點(diǎn)形式：y=a（x-h）2+k型，（h，k）為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

例2.已知：拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），并且過(guò)點(diǎn)（1，2），求其解析式。

分析：不要被題目中的一般形式所“迷惑”。直接設(shè)解析式為頂點(diǎn)形式：y=a（x+l）2+4，再把（1，2）代入，求出待定系數(shù)a即可，從而求出拋物線解析式。

也可以這樣，利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，列出兩個(gè)方程，再把（-1，4）代入y=ax2+bx+c中，得到關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，解出方程組，從而得解。

三、交點(diǎn)形式：y=a（x-x1）（x-x2）型，其中（x1，0），（x2，0）為拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

例3.已知：拋物線y=-2x2+8x-9的頂點(diǎn)為A，若另一二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，并且與x軸的交點(diǎn)為B（0，0），C（3，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。

分析：先用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），這樣，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，可用一般形式求解，但是要解三元一次方程組。

這里用“交點(diǎn)式”。設(shè)其解析式為y=a（x-0）（x-3），將A（2，-1）代入求出a即可，從而求解。

四、平移型：平移前后拋物線的形狀不變，系數(shù)a一樣。

y=ax2怎么平移，才能得到y(tǒng)=a（x-h）2+k（h，k都為正數(shù)）呢？答案只能是將拋物線y=ax2先向右沿x軸方向平移h個(gè)單位，再沿y軸方向向上平移k個(gè)單位，才能得拋物線y=a（x-h）2+k。

例4.將拋物線y=2x2+8x+11先沿x軸方向向左平移2個(gè)單位，再沿y軸方向向下平移5個(gè)單位，求平移后的拋物線解析式。

分析：先將y=2x2+8x+11寫成頂點(diǎn)形式y(tǒng)=2（x+2）2+3，知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3）。再將它向左平移2個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位后，頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋?4，-2），根據(jù)頂點(diǎn)形式，它的解析式為y=2（x+4）2-2。

初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)主要覆蓋到這三種函數(shù)：一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)。而其中最為重要的就是二次函數(shù)。

縱觀全國(guó)各地很多中考試卷，我們都會(huì)發(fā)現(xiàn)絕大部分壓軸題都和二次函數(shù)密切相關(guān)，要么就是與二次函數(shù)相關(guān)的函數(shù)綜合問(wèn)題，或是函數(shù)與幾何結(jié)合綜合性問(wèn)題等等。

如何確定二次函數(shù)的解析式是歷年來(lái)中考的重要考點(diǎn)，一般都出現(xiàn)在二次函數(shù)壓軸題的第一問(wèn)。

求解二次函數(shù)解析式方法多種多樣，大家在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定要多加注意求二次函數(shù)解析式時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題，及時(shí)掌握相關(guān)題型和對(duì)應(yīng)知識(shí)內(nèi)容。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，中學(xué)生缺少問(wèn)題意識(shí)，自主探究及創(chuàng)新能力等。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該發(fā)揮主導(dǎo)作用，把握中學(xué)生階段的心理及需求特點(diǎn)，有針對(duì)性的采取多種措施，方式、方法，幫助學(xué)生們建立起問(wèn)題思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]張寧.二次函數(shù)最值問(wèn)題的常用求解策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2018（03）：23-27.

[2]徐薇.淺談初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問(wèn)題的求解[J].數(shù)理化解題研究，2015（13）：26.