從數(shù)學好玩到玩好數(shù)學

侯軍 王婭梅

摘 ? ?要：高中數(shù)學第一課應是一節(jié)數(shù)學內涵的“欣賞課”，一節(jié)學生數(shù)學情感的“重塑課”.教師應該帶領學生一起玩轉高中數(shù)學的概念、方法、思想等，讓學生欣賞數(shù)學之美，體會數(shù)學之用，進而認識到學習數(shù)學的意義和價值，幫助學生破除“高中數(shù)學難學”的心理障礙和錯誤認識.

關鍵詞：高中數(shù)學第一課;概念;方法;思想

高中數(shù)學第一課教什么？怎么教？不同的教師有不同的教學構想.筆者認為，高中數(shù)學第一課應是一節(jié)數(shù)學內涵的“欣賞課”，一節(jié)學生數(shù)學情感的“重塑課”.通過第一課的教學，教師帶領學生一起玩轉高中數(shù)學的概念、方法、思想等，讓學生欣賞數(shù)學之美，體會數(shù)學之用，進而認識到學習數(shù)學的意義和價值，幫助學生破除“高中數(shù)學難學”的心理障礙和錯誤認識，從而使學生的思想向想要“玩好數(shù)學”（學好數(shù)學）轉變.

一、情感激發(fā)：認識高中數(shù)學的“好玩”

2002 年7月，陳省身先生應《上海教育》邀請給廣大青少年題詞：數(shù)學好玩.不久，中科院院士田剛教授也題了四個字：玩好數(shù)學.一個簡單的“玩”字滲透了兩位老一輩數(shù)學家對青少年的勉勵和期待[1].如何才能讓學生玩轉高中數(shù)學？入學第一課是關鍵.教師不妨帶領學生先從認識“數(shù)學好玩”開始，通過這一過程使學生初步了解高中數(shù)學的知識內涵，進而向想要“玩好數(shù)學”轉變.

（一）好玩的數(shù)學概念

數(shù)學在本質上是玩概念的，數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，其抽象的數(shù)學表征是學生步入高中面臨的一個重要難題.數(shù)學教學實質上就是數(shù)學概念的教學，課堂活動或課后作業(yè)的布置都是為了深化概念的理解.剛剛步入高中的學生學習數(shù)學時常犯的一個錯誤就是忽視概念理解，陷入“套路式”解題模仿.故起始課教學中讓學生認識數(shù)學概念的重要性是十分必要的.

【教學片段1】

面對新的教師，新的同學，學生往往比較拘謹，不敢表達，這無疑會影響教師教育教學的質量.故而，教師在課程導入時，不妨以集合的“確定性”為背景和學生開一個小玩笑.

班長：起立！

學生：老師好！

教師笑語：同學們好！請所有長頭發(fā)的同學站一下，其余同學請坐下.（停頓幾秒給學生思考）

教師繼續(xù)：（目測包含所有站著的學生）請站著的同學中身高低于2米的坐下.

【設計說明】意在建立學生對集合概念的感性認識.“長頭發(fā)”的不確定性引發(fā)學生思考：多長的頭發(fā)算長頭發(fā)？部分頭發(fā)較長的女生不知所措，有的男生也在糾結自己的坐與站的問題.教師快速追加坐下的條件“身高低于2米”，則所有站立的學生坐下，化解了這一部分學生的尷尬.課堂上，師生談笑間拉近了心理的距離.

教師開始本節(jié)課的導入語：首先祝賀大家升入高中的學習，老師剛剛以高中數(shù)學中“集合” 的概念為背景和大家開了一個小玩笑.什么是集合？我們全班的全體同學可以是一個集合，全體的男同學或全體的女同學也都是一個集合，但所有長頭發(fā)的同學不能構成一個集合，因為集合要滿足其內在的個體（元素）是確定的.這也是引發(fā)部分同學不確定自己是坐還是站的原因，而站著的同學中“身高低于2米的同學”顯然是能夠確定的，它是一個集合.集合是現(xiàn)代數(shù)學的一個基本概念，也是我們高中數(shù)學學習的第一個概念.同學們在后續(xù)的學習中要注意數(shù)學概念的學習，概念的理解程度決定了我們數(shù)學學習的深度，也直接決定了數(shù)學解題水平的高低.

【設計說明】通過學生不難理解的集合概念，讓學生體會數(shù)學概念在數(shù)學學習中的重要性.教學中，教師不必對集合的概念加以定義，以學生的感性認識理解即可，意在提升學生的學習興趣和數(shù)學認知，也可留下懸念為后續(xù)正式學習集合相關知識鋪墊情感因素.

【教學片段2】

問題1：比較[1.01365，1365，0.99365]之間的大小.

問題2：它們之間相差大嗎？

【設計說明】問題1到問題2意在建立矛盾沖突，學生通過自己的直覺即可回答問題1，然而再用直覺判斷問題2則會帶來錯誤.事實上，教師引導學生使用科學計算器完成以上數(shù)據(jù)的計算，可得[1.01365=37.78343433289]，[0.99365=0.02551796445229].進一步的，教師運用Geogebra等動態(tài)可視化軟件帶領學生進一步觀測不同指數(shù)、三個數(shù)值之間的差異，初步體會從函數(shù)的視角看數(shù)值的變化，簡單了解函數(shù)的單調性及指數(shù)爆炸等數(shù)學概念.并引導學生思考：努力學習和不努力學習的差異，努力一周和一年、三年的差別.

（二）好玩的數(shù)學方法

數(shù)學方法即用數(shù)學語言表述事物的狀態(tài)、關系和過程，并加以推導、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預言的方法.數(shù)學方法是學習者解決具體問題的數(shù)學手段，是數(shù)學概念應用于解題過程的顯化.教師在起始課教學中，不妨讓學生初步感受高中數(shù)學中常見的數(shù)學方法.例如基于“二分法”設計的猜數(shù)字游戲，再如基于“算兩次”設計一些代數(shù)或幾何問題，以提高學生對數(shù)學方法的理性認識.需要注意的是，問題設計應貼合學生認知水平，不可超出學生的“最近發(fā)展區(qū)”.下面是基于作差法比較大小的第一課教學片段.

【教學片段3】

一個唱片商店里，有兩類唱片，其中30張老式硬唱片一塊錢2張，另外30張唱片是一塊錢3張.那天，這60張唱片全賣完時，老板經(jīng)過計算，30張一塊錢2張的唱片共賣15元，30張一塊錢3張的唱片共賣10元，總共是25元.第二天老板又拿出這樣的60張唱片，他想何必自找麻煩來分唱片？30張老唱片是一塊錢2張，另30張一塊錢3張，何不把60張唱片放在一起，按2塊錢5張來賣？這一天60張唱片全按2塊錢5張賣出去了，可是老板點錢時發(fā)現(xiàn)只賣得24元，不是25元，這1元錢到哪兒去了？老板百思不解，你能幫助分析原因嗎？

現(xiàn)實生活中，市場上經(jīng)常有兩種物品混合售賣的情況，例如水果的混合、瓜子的混合、糖果的混合等等，商家如何搭配銷售才能贏利？

我們可以利用數(shù)學方法作如下更一般性的分析，請同學們思考以下問題.

問題1：假設價格較高的甲商品買[a]單位需要[b]元， 價格較低的乙商品買[c]單位需要[d]元，則甲、乙兩種商品單價分別為多少？

學生：甲商品單價為[ba]元/單位，乙商品單價為[dc]元/單位.

問題2：兩種商品混合后的售價為多少？（取平均售價）

學生：兩種商品混合后的售價為：[21ba+1dc=2ab+cd=2bdad+bc].

教師：故只需比較混合后的銷售額：[2bdad+bc（a+c）] ，未進行搭配的銷售額為[b+d].

問題3：回到上面的唱片案例，可知[a=30，b=15，c=30，d=10]，故混合后的銷售額：[2bdad+bc（a+c）=24]，未進行搭配的銷售額為[b+d=25]，搭配銷售虧了1元錢.怎樣才能賺錢或不虧呢？（啟發(fā)學生比較大?。?/p>

學生：顯然[ba>dc]，即[bc>ad]，

兩種銷售方式的額差為[（b+d）-2bd（a+c）ad+bc=（d-b）（ad-bc）ad+bc]

因為[bc>ad] ?∴[ad-bc<0]，

當[b>d]時，搭配銷售吃虧;當[b=d]時，搭配前后一致;當[b

【設計說明】以問題串的形式讓學生的思考層層遞進，案例中主要體現(xiàn)了高中常見的作差比較法，通過對現(xiàn)實生活中實際問題的解決，讓學生體會數(shù)學方法對解決問題的重要性，理解學好數(shù)學的現(xiàn)實意義.

（三）好玩的數(shù)學思想

數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，教師通過對數(shù)學思想的介紹，能讓學生領會知識背后的數(shù)學思維方式.常見的數(shù)學思想有數(shù)學結合思想、函數(shù)思想、分類討論思想、極限思想等[2].

【教學片段4】

數(shù)學實驗：請學生在移動端的GeoGebra上打開老師做好的旋轉體實驗平臺（初始幾何體為圓柱，如圖1），通過調整幾何體上、下底面半徑、高度[h]三個參數(shù)進行如下實驗.

實驗一：當上底面半徑逐漸接近于[0]時，圖形是怎樣變化的？（見圖2）

實驗二：當上下底面不相等時，圖形是怎樣的？（見圖3）

實驗三：當幾何體的高度[h]逐漸接近于[0]時，圖形是怎樣變化的？

【設計說明】學生親自動手操作，體會幾何圖形動態(tài)的變化過程.圖形之間從量變到質變的轉換可以使學生直觀感知極限思想的內涵.值得一提的是，GeoGebra可以360度查看幾何體各個視角的形態(tài)，這為學生建立幾何直觀提供了強有力的技術支持.例如，圖4是實驗三的正視圖，圖5是俯視圖.

【教學片段5】

題目 ? 用函數(shù)思想證明一道高考題.（2013年全國高考數(shù)學理科新課標Ⅱ卷第23題）

設[a，b，c]均為正數(shù)，且[a+b+c=1]，證明：[ab+bc+ca≤13].

證明：由[a+b+c=1]得[c=1-a-b]，

所以[ab+bc+ca-13=ab+][b][1-a-b][+1-a-ba-13]

[=-b2+1-ab-a2+a-13]，

令[y=-b2+1-ab-a2+a-13]，

因為[Δ = 1-a2 + 4 -a2+a-13 =]

[-3a-132≤0]，

所以[ab+bc+ca-13≤0]，故[ab+bc+ca≤13].

【設計說明】在沒有運用高中數(shù)學知識的前提下完成一道高考真題，這樣的成就感無疑為學生進一步的學習數(shù)學打了一針“強心劑”，也能讓學生認識到數(shù)學思想的無限魅力.其中對于[y=-b2+1-ab-a2+a-13]的理解需要教師進行適當?shù)闹笇?

二、學法指導：如何“玩好”高中數(shù)學

學會學習是高中數(shù)學教學的一個重要隱性目標，教師不僅要教給學生必要的考試知識，更要教會學生如何學習數(shù)學.第一課中，從“數(shù)學好玩”到“玩好數(shù)學”的過程本質上恰是從授之以“欲”到授之以“漁”的過程.教師在帶領學生完成“數(shù)學好玩”的體驗過程后可趁熱打鐵指導學生“玩好數(shù)學”，相信學生必能聽之信之.

（一） 數(shù)學運算重推理，聽課過程聽“分析”

初中階段的數(shù)學運算普遍是技巧層面的代數(shù)變形，且運算難度小，高中階段的數(shù)學運算則普遍是帶有邏輯推理的運算，且運算量較大.算不對、算不準也就成了高中生學習數(shù)學的常態(tài).故在第一課教學中，教師有必要在課堂教學中展示一些往屆學生的數(shù)學作業(yè)或答題卡的解題圖片，通過展示不同水平畢業(yè)生的解題圖片讓學生認識到苦練數(shù)學運算的重要性.

數(shù)學學習過程外顯的是知識的汲取，內隱的卻是思維的培養(yǎng).不同于初中階段的數(shù)學學習，高中階段，學生聽得懂教師所講的數(shù)學知識，但自己獨立運用的時候卻往往又不會解題了.其主要原因是學生的聽課方式不正確，習慣性地關注教師解題步驟的書寫過程，而對教師分析問題（暴露思維）的過程重視不夠.故在第一課教學中，教師需指導學生高中數(shù)學聽課的關鍵要點——聽“分析”，即重視聽教師分析怎樣“想問題”，聽教師分析概念、定理、公式內在的知識內涵或思想方法.

（二） 堅定信念苦鉆研，善于糾錯勤復習

數(shù)學解題不僅需要扎實的基礎，更需要堅定的信念.高中數(shù)學學習過程中，學生遇到難題需要花費較多的時間去思考，要求學生具有堅定的信念和刻苦鉆研的精神.故教師在授課時可介紹一些著名數(shù)學家的個人事跡或身邊學生刻苦學習獲得好成績的成功案例，以激勵學生學習的斗志.最后，教師還需指導學生高效整理筆記、錯題的方法以及養(yǎng)成科學復習的好習慣.

高中數(shù)學第一課的教學中，認識“數(shù)學好玩”立足于學生數(shù)學學習興趣的培養(yǎng)、學生數(shù)學情感重塑這兩個層面，而如何“玩好數(shù)學”則是針對學生學習方法的指導和學習習慣的建議.高中階段培育學生的核心素養(yǎng)首先在于育“情”（對數(shù)學的態(tài)度、興趣、學習意志等），有“情”的學生才能在日積月累的數(shù)學學習中不斷地思考、積累、探索，才能真正地“玩好數(shù)學”，才能實現(xiàn)“會用數(shù)學的眼光看世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界”的目標.

參考文獻：

[1]謝玉娓.情智數(shù)學：數(shù)學好玩，玩好數(shù)學[J].中國教師，2015（10）：71-74.

[2]侯軍.叩兩端而執(zhí)其中，探極限而露本質[J].高中數(shù)學教與學，2017（10）：16-18.