有限域Z2上線性方程組解的個(gè)數(shù)

閆慧凰，武惠俊

（長(zhǎng)治學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西長(zhǎng)治046011）

1 有關(guān)符號(hào)說(shuō)明和定義

Z2=｛｝表示模2的剩余類環(huán)，它是一個(gè)僅有兩個(gè)元的有限域。為方便書(shū)寫，文中分別用0，1表示，以后不專門說(shuō)明.記對(duì)應(yīng)方程組的解的個(gè)數(shù)為n.其余符號(hào)和術(shù)語(yǔ)與文獻(xiàn)［1］［2］一致.

定義1 Z2上的線性方程組指形式為

的方程組，其中 x1，x2，…，xn代表 n 個(gè)未知量，s為方程的個(gè)數(shù)，并且 aij，bi∈Z2，（i=1，2，…，s，j=1，2，…，n）.

定義2（1）式中當(dāng)bi=0（i=1，2，…，s）時(shí)的方程組稱為 Z2上的齊次線性方程組.

2 Z2上的齊次線性方程組的解

定理1Z2上的n元單個(gè)線性方程的解的個(gè)數(shù)為個(gè)2n-1（n≥1）.

證明：（i）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然.

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立.即齊次線性方程組x1+x2+… +xk=0有2k-1個(gè)解（由于Z2中僅有0，1兩個(gè)元素，由對(duì)稱性則知方程組x1+x2+…+xk=1的解的個(gè)數(shù)也恰為2k-1個(gè)）.則當(dāng)n=k+1時(shí)，齊次線性方程組x1+x2+…+xk+xk+1=0的解有且僅有以下兩種情形：

對(duì)于以上情形（i），解的個(gè)數(shù)顯然為2k-1個(gè)；

對(duì)于以上情形（ii），解的個(gè)數(shù)顯然也為2k-1個(gè)；則方程x1+x2+… +xk+xk+1=0的解的個(gè)數(shù)為：2k-1+2k-1=2·2k-1=2k=2（k+1）-1個(gè).

故Z2上的n元單個(gè)線性方程的解的個(gè)數(shù)為2n-1個(gè)（n≥1）.

推論1對(duì)于Z2上的n元單個(gè)線性方程，若其中k個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1，其余n-k個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為0，則方程的解的個(gè)數(shù)亦為2n-1個(gè).

證明：對(duì)于系數(shù)均為1的k個(gè)未知數(shù)的方程，由定理1知，解的個(gè)數(shù)為2k-1個(gè)；對(duì)于系數(shù)為0的n-k個(gè)未知數(shù)，每個(gè)未知數(shù)的取值均有0，1兩種可能，由乘法原理，則這n-k個(gè)未知數(shù)的總共取法為可得方程解的個(gè)數(shù)為2k-1·2n-k=2n-1，結(jié)論得證.

定理2Z2上的n元齊次線性方程組，若所含的方程個(gè)數(shù)為2個(gè)，則當(dāng)r（A）=1時(shí)，解的個(gè)數(shù)為2n-1；當(dāng)r（A）=2時(shí)，解的個(gè)數(shù)為2n-2.

證明：r（A）=1時(shí)，由定理1知，結(jié)論顯然；

（其中 i1，i2，…ik及 j1，j2，…jk為 1，2，…，n 中的不同數(shù)碼）.下面分三種情形分別予以證明：

（1）方程（#）中n個(gè)未知元全部出現(xiàn)，方程（*）中含方程（#）中的s個(gè)未知元（不妨設(shè)是前s個(gè)）.由定理2.1知，方程（*）的解的個(gè)數(shù)為 2s-1個(gè)，則

由于方程（#1）含有未知數(shù)的個(gè)數(shù)為 n-(s+1)+1 個(gè)，則方程（#1）的解的個(gè)數(shù)為 2［n-(s+1)+1］-1=2n-s-1個(gè).由乘法原理，所以方程組（I）的解的個(gè)數(shù)為2s-1·2n-s-1=2n-2=2n-r（A）.

（2）方程（#）與（*）中n個(gè)未知元全部出現(xiàn)，有m個(gè)公共未知元，則方程（#）中除這m個(gè)公共元外還有k-m個(gè)元，方程（*）中除這m個(gè)公共元外還有s-m個(gè)元，即有k+s-m=n.這時(shí)，

其中，未知元 xi1，xi2，…，xim表示方程（#）與方程（*）的 m 個(gè)公共元；未知元 xim+1，xim+2，…，xik表示方程（#）中除去方程組（I）中的m個(gè)公共元外剩余的k-m個(gè)元；未知元表示方程（*）中除去方程組（I）中的m個(gè)公共元外剩余的 s-m 個(gè)元.結(jié)合定理 1，則方程組（I1）的解的個(gè)數(shù)為 2m-1·2［k-(m+1)+1］-1·2［s-(m+1)+1］-1=2k+s-m-3=2n-3.又由于Z2中僅有0和1兩個(gè)元，有0和1的對(duì)稱性，再由定理1，則方程組（I2）的解的個(gè)數(shù)也為2n-3個(gè).所以，原方程組的解的個(gè)數(shù)為：2n-3+2n-3=2n-2=2n-r（A）.

（3）方程（#）與（*）無(wú)公共元，且設(shè)方程（#）中含有p個(gè)未知元，方程（*）中含有q個(gè)未知元.由定理1知，方程（#）的解的個(gè)數(shù)為2p-1，方程（*）的解的個(gè)數(shù)為2q-1，且方程組（I）中有n-p-q個(gè)自由未知量，每個(gè)量均有取0和1兩種取法，共2n-p-q種取法.故有乘法原理，則方程組（I）的解的個(gè)數(shù)為2p-1·2q-1·2n-p-q=2n-2=2n-r（A）.

綜上，對(duì)于Z2上的n元齊次線性方程組，若所含的方程個(gè)數(shù)為2個(gè)，則當(dāng)r（A）=1時(shí)，解的個(gè)數(shù)為2n-1；當(dāng)r（A）=2時(shí)，解的個(gè)數(shù)為2n-2.

定理3Z2上的n元齊次線性方程組，若其系數(shù)矩陣的秩為r（A），則方程組的解的個(gè)數(shù)n=2n-r（A）.

證明：設(shè)方程組為

其中 aij∈Z2（i=1，2，…，s，j=1，2，…，n）.

對(duì)r（A）作數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)r（A）=1，r（A）=2時(shí)，由定理2結(jié)論成立.

假設(shè)系數(shù)矩陣的秩為r（A）-1時(shí)，結(jié)論成立.當(dāng)系數(shù)矩陣的秩為r（A）時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，得到最簡(jiǎn)階梯形矩陣中有r（A）個(gè)非零行.記原方程組的解有n0個(gè)，注意到，第一行到第r（A）-1行組成的方程組與r（A）個(gè)非零行組成的方程組相比較，恰好多了一個(gè)自由未知量，而自由未知量有0，1兩種取法.又由歸納假設(shè)得，第一行到第r（A）-1行對(duì)應(yīng)的方程組有2n-r（A）+1個(gè)解，可以得到n0·2=2n-r（A）+1，故n0=2n-r（A），結(jié)論得證.