多波次導(dǎo)彈發(fā)射車的安全轉(zhuǎn)移路徑

方 舒，庫(kù)在強(qiáng)

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃岡 438000)

導(dǎo)彈作戰(zhàn)是未來(lái)戰(zhàn)場(chǎng)的主要作戰(zhàn)方式之一，導(dǎo)彈在發(fā)揮威力給予敵軍重創(chuàng)的同時(shí)，保護(hù)自身的安全性與隱蔽性也成了軍事研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，多波次導(dǎo)彈齊射作為一種重要的作戰(zhàn)方式，保障導(dǎo)彈安全快速到達(dá)發(fā)射點(diǎn)位成為了提高我方生存概率的重要手段。 楊寶珍[1]針對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)某一重要道路被破壞對(duì)作戰(zhàn)計(jì)劃的影響，充分運(yùn)用GIS路徑分析功能，進(jìn)行最佳機(jī)動(dòng)路線的選定；王桐等[2]在一定的假設(shè)下，構(gòu)建了基于馬爾卡夫鏈的多波次導(dǎo)彈作戰(zhàn)模型，用于戰(zhàn)前迅速的部署；宋志華等[3]研究了單車單波次和單車多波次行動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題的求解，在此基礎(chǔ)上，以多車多波次為研究對(duì)象，建立了多階段網(wǎng)絡(luò)流模型，將最優(yōu)行動(dòng)方案問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在網(wǎng)絡(luò)流模型中尋找最小費(fèi)用最大流問(wèn)題；郝亮亮等[4]以Dijkstra算法為基礎(chǔ)，建立了不同波次導(dǎo)彈打擊任務(wù)求解方案，不僅能使整體暴露時(shí)間最短，還可以保證導(dǎo)彈發(fā)射后軌跡不相交。在前人已經(jīng)研究的內(nèi)容基礎(chǔ)上，考慮到路網(wǎng)情況復(fù)雜，不同車載裝置速度不同，單行雙道錯(cuò)綜復(fù)雜，道路節(jié)點(diǎn)沖突等問(wèn)題。

現(xiàn)本文以第十四屆全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽E題為背景，考慮在復(fù)雜路況情況下Dijkstra算法的適應(yīng)性以及求解程序上進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化。假設(shè)有某部隊(duì)參與作戰(zhàn)行動(dòng)，基本信息如下：為了提高導(dǎo)彈部隊(duì)的生存能力和機(jī)動(dòng)能力，常規(guī)導(dǎo)彈大都使用車載發(fā)射裝置，在接受多波次發(fā)射任務(wù)后，每臺(tái)發(fā)射裝置只能載彈一枚，從待機(jī)地域攜帶導(dǎo)彈沿道路機(jī)動(dòng)到指定發(fā)射點(diǎn)位實(shí)施發(fā)射，完成任務(wù)后立即機(jī)動(dòng)到轉(zhuǎn)載地域裝彈，再機(jī)動(dòng)至下一波次指定的發(fā)射點(diǎn)位實(shí)施發(fā)射，連續(xù)兩波次發(fā)射時(shí)，每個(gè)發(fā)射點(diǎn)位使用不超過(guò)一次，具體道路分布概況如圖1。

(1)車載發(fā)射裝置情況為：車載發(fā)射裝置有A、B、C三類，數(shù)量依次為 6、6和12臺(tái)，在主干道路上的平均行駛速度依次為70、60和50公里/小時(shí)，在其他道路上的平均行駛速度依次為45、35和30公里/小時(shí)；

(2)待機(jī)區(qū)與作戰(zhàn)區(qū)情況：2個(gè)待機(jī)地域D1、D2。所屬作戰(zhàn)區(qū)域內(nèi)有轉(zhuǎn)載地域Z1～Z6，發(fā)射點(diǎn)位F1～F60，各轉(zhuǎn)載地域最多容納2臺(tái)發(fā)射裝置，每一發(fā)射點(diǎn)位只能容納1臺(tái)發(fā)射裝置，單臺(tái)轉(zhuǎn)載作業(yè)需10分鐘；

(3)道路情況：道路節(jié)點(diǎn)為J1～J62，主干道路是雙車道，可以雙車通行；其他道路均是單車道，只能在各道路節(jié)點(diǎn)處會(huì)車。

部隊(duì)接受發(fā)射任務(wù)后，需要為每臺(tái)車載發(fā)射裝置規(guī)劃每個(gè)波次的發(fā)射點(diǎn)位及機(jī)動(dòng)路線，要求整體暴露時(shí)間最短。本文將解決以下問(wèn)題：若該部隊(duì)接受兩個(gè)波次的齊射任務(wù)，每個(gè)波次各發(fā)射24枚導(dǎo)彈，如何規(guī)劃具體發(fā)射點(diǎn)位分配及機(jī)動(dòng)路線方案，使整體暴露時(shí)間最短。并且考慮到攻防雙方的對(duì)抗博弈，道路節(jié)點(diǎn)受到攻擊破壞會(huì)延長(zhǎng)整體暴露時(shí)間，量化分析該路網(wǎng)最可能受到敵方攻擊破壞的三個(gè)道路節(jié)點(diǎn)。

1 兩波次導(dǎo)彈發(fā)射最短整體暴露時(shí)間

1.1 問(wèn)題解決流程設(shè)計(jì)

本文主要研究問(wèn)題為車載裝置完成兩個(gè)波次齊射任務(wù)的暴露時(shí)間最短問(wèn)題，合理進(jìn)行24輛車載裝置路線規(guī)劃是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，因此將整個(gè)導(dǎo)彈轉(zhuǎn)移區(qū)域轉(zhuǎn)化成圖，并采用鄰接矩陣的形式進(jìn)行表示，導(dǎo)彈轉(zhuǎn)移過(guò)程如圖2所示。

圖1 作戰(zhàn)區(qū)域道路示意圖

圖2 車載裝置完成兩個(gè)波次齊射任務(wù)流程圖

1.2 主要符號(hào)說(shuō)明

多波次導(dǎo)彈作戰(zhàn)過(guò)程背景信息龐大，涉及車載發(fā)射裝置、待機(jī)區(qū)與作戰(zhàn)區(qū)、道路節(jié)點(diǎn)及單雙車道等多重分類情況，現(xiàn)列出其中主要符號(hào)說(shuō)明如表1所示。

1.3 道路節(jié)點(diǎn)地位均衡下的暴露時(shí)間

第一波次發(fā)射前車輛已經(jīng)配備好導(dǎo)彈從待機(jī)區(qū)域向發(fā)射點(diǎn)位出發(fā)，第二波次齊射前車輛狀態(tài)分為兩個(gè)連續(xù)的階段，從發(fā)射點(diǎn)位至轉(zhuǎn)載地域進(jìn)行裝彈與從轉(zhuǎn)載地域出發(fā)至發(fā)射點(diǎn)進(jìn)行第二波次導(dǎo)彈的發(fā)射，兩個(gè)波次導(dǎo)彈發(fā)射前后車輛穿行于2個(gè)待機(jī)區(qū)域，60個(gè)發(fā)射點(diǎn)位，62個(gè)道路節(jié)點(diǎn)，6個(gè)轉(zhuǎn)載區(qū)域，單雙車道共同組成的復(fù)雜路網(wǎng)中，由于車載裝置型號(hào)不同所帶來(lái)的速度差異，需要合理進(jìn)行路線規(guī)劃安排，避免道路節(jié)點(diǎn)沖突，減少等待時(shí)間，縮短整體暴露時(shí)間，在第一波齊射前的運(yùn)載過(guò)程中，車輛均處于暴露狀態(tài)，為了減少暴露時(shí)間，安排速度快的車輛去相對(duì)較遠(yuǎn)的路線，安排速度慢的車輛就近去發(fā)射點(diǎn)位。根據(jù)Dijkstra算法得出從待機(jī)地域D1、D2出發(fā)到各個(gè)發(fā)射點(diǎn)之間的距離以及合理的車輛安排行駛路線，然后安排不同類型的車輛去完成任務(wù)使得整體的暴露時(shí)間最少，暴露時(shí)間模型為如下:

表1 主要符號(hào)說(shuō)明一覽表

(1)

采用Dijkstra算法來(lái)解決本文的最短路徑問(wèn)題。根據(jù)所給條件，相鄰點(diǎn)之間有連線的記為兩點(diǎn)之間的距離，若兩點(diǎn)之間沒(méi)有連線則記為 ∞，同一點(diǎn)之間的距離則為0，通過(guò)利用Matlab編程[5-6]求出任意兩點(diǎn)之間距離以及找到從某一點(diǎn)到終點(diǎn)的具體路徑，再根據(jù)車載裝置的不同速度，計(jì)算出每條路徑上車輛行駛時(shí)具體的暴露時(shí)間。由于各個(gè)裝載導(dǎo)彈的車輛要求齊射，因此，若最慢的車花費(fèi)的時(shí)間是tm0，其余車輛所花費(fèi)的時(shí)間為tmc,則為了減少本次發(fā)射的總體暴露時(shí)間，其他車輛適當(dāng)晚點(diǎn)出發(fā)以避免到達(dá)發(fā)射點(diǎn)位的等待時(shí)間，從而減少暴露時(shí)間，特將時(shí)間差值記為tm0-tmc，由于第一輛車出發(fā)時(shí)間記為0時(shí)刻，則任意一輛車到道路某節(jié)點(diǎn)Jn的時(shí)間為：

(2)

為使導(dǎo)彈在兩個(gè)波次的發(fā)射任務(wù)的整體暴露時(shí)間最短，依據(jù)圖1發(fā)射任務(wù)流程圖，將整個(gè)過(guò)程分為三個(gè)階段，第一階段為從待機(jī)區(qū)域到第一波次導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位，第二階段為從第一波次導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位到轉(zhuǎn)載地域，第三階段是從轉(zhuǎn)載地域到第二波次導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位。將此三階段的暴露時(shí)間之和視為兩個(gè)波次發(fā)射任務(wù)的整體暴露時(shí)間。求最短暴露時(shí)間的前提是知道距離，因此通過(guò)Matlab軟件導(dǎo)入數(shù)據(jù)，利用內(nèi)部函數(shù)dist命令計(jì)算出路網(wǎng)圖中各個(gè)線段之間的距離。

1.3.1第一階段分析

從待機(jī)區(qū)域出發(fā)的車已經(jīng)攜帶導(dǎo)彈，不必再去轉(zhuǎn)載地域裝彈，因此只需考慮尋找距離待機(jī)區(qū)域最近的發(fā)射點(diǎn)位即是本階段問(wèn)題的最優(yōu)解?？紤]到不同發(fā)射裝置類型的速度不同，將安排距離較遠(yuǎn)的路徑由速度較快的車完成任務(wù)，則較短的路徑安排較慢的車去執(zhí)行，并且本文所給信息中要求24枚導(dǎo)彈齊射，為了減少整體暴露時(shí)間，特此將距離較近的裝載車晚些發(fā)射，從而減少裝載車輛在發(fā)射點(diǎn)位的等待時(shí)間。第一階段24輛攜帶導(dǎo)彈的車輛分別從D1、D2出發(fā)，利用Dijkstra算法計(jì)算出各個(gè)車輛的行駛路線，其中部分具體路線為：

……

通過(guò)Dijkstra算法可以得到最短暴露時(shí)間的發(fā)射點(diǎn)位與相應(yīng)的轉(zhuǎn)載地。給每個(gè)道路節(jié)點(diǎn)一個(gè)特定的標(biāo)號(hào)，通過(guò)Dijkstra算法反向計(jì)算出路徑[7]，并根據(jù)路徑安排去指定的發(fā)射點(diǎn)位發(fā)射導(dǎo)彈。依據(jù)相應(yīng)的路線和道路及每輛車的速度，計(jì)算每輛車到發(fā)射點(diǎn)的時(shí)間，如果全部可以到達(dá)既定發(fā)射點(diǎn)，則完成第一波發(fā)射任務(wù)，如果有部分未能及時(shí)到位，則說(shuō)明路徑過(guò)程中某個(gè)道路節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)了沖突，從而計(jì)算出等待時(shí)間來(lái)增加暴露時(shí)間，最后得出總體的暴露時(shí)間。因此確定最短路線的同時(shí)要考慮道路的沖突問(wèn)題：道路分為主干道和非主干道，主干道為雙行道，而非主干道為單行道，倆者車輛的容量有所差異。

(1)對(duì)于單行道來(lái)說(shuō)，每次只能通過(guò)單方向的車，記fn1,c(X,T)為編號(hào)為c的車輛到達(dá)單行道道路節(jié)點(diǎn)n1，假設(shè)若有整數(shù)r,滿足r≠c時(shí)有：

fn1,c(X,T)=fn1,r(X,T)

[fn1,c(X,T),fn1,c(X,T)+tn1,c]∩[fn1,r(X,T),fn1,r(X,T)+tn1,r]≠?

此時(shí)稱該道路節(jié)點(diǎn)有沖突。

為了更好的量化道路沖突，合理采用0-1規(guī)劃函數(shù)，對(duì)道路沖突進(jìn)行描述,令：

對(duì)該目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化：

maxP{hn1(X,T)}=1

(3)

(2)對(duì)于雙車道來(lái)說(shuō)，只要保證車輛之間超過(guò)2分鐘的時(shí)間間隔就可以錯(cuò)開道路沖突，因此，在考慮雙車道路節(jié)點(diǎn)n2的時(shí)候,通過(guò)計(jì)算車輛通過(guò)時(shí)間來(lái)安排車輛通行時(shí)間，從而避開道路沖突。若多個(gè)車輛進(jìn)入同一個(gè)道路，則對(duì)于車輛集C(c1,c2,c3…c24) ：

①對(duì)于任意一個(gè)運(yùn)輸方案(X,T)，計(jì)算每個(gè)車輛到達(dá)該道路節(jié)點(diǎn)的時(shí)間。

②把每輛車到該道路節(jié)點(diǎn)的時(shí)間按照從此小到大的順序排列：

Fn2,c1(X,T)

gn2,c1(X,T)=fn2,c1(X,T)

計(jì)算gn2,c1(X,T)，其中Mn2表示相應(yīng)節(jié)點(diǎn)通過(guò)的車輛次數(shù)，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟一：令r=1,dn2=0

步驟二：令ar=1,s=r+1

步驟四：返回步驟三，直到s=24

步驟六：令G←G,G={c};r=r+1

步驟七：重復(fù)步驟二到步驟五 ，直到r=24

優(yōu)化目標(biāo)：

maxP{dn2(X,T)=0,n2=c}

(4)

根據(jù)上述分析，在第一階段 24 輛車到達(dá)各個(gè)發(fā)射點(diǎn)位的總暴露時(shí)間為52.0 h。

1.3.2第二階段分析

第二階段各個(gè)發(fā)射點(diǎn)的車輛去轉(zhuǎn)載地域裝導(dǎo)彈，采用多重目標(biāo)規(guī)劃的方法，將24輛車分配到距離它們較近的轉(zhuǎn)載地域，這樣可實(shí)現(xiàn)使第二階段車輛的總體暴露時(shí)間最短，根據(jù)該思路，具體計(jì)算步驟如下：

(1)計(jì)算各轉(zhuǎn)載地域到該 24 個(gè)發(fā)射點(diǎn)位的距離，其中d(Fj,Zq)(j=1,2…24,q=1,2…6)，部分如表2所示：

表2 部分轉(zhuǎn)載地域到發(fā)射點(diǎn)位的總距離

(2) 把上述距離按照Fj從小到大的順序排列：

d(F1,Z1)

d(F2,Z1)

……

d(F24,Z1)

(3)找到每個(gè)發(fā)射點(diǎn)到相應(yīng)的轉(zhuǎn)載地域的最短路徑距離：

d(F1,Z1),d(F2,Z1)…d(F24,Z1)

(4)分析道路的容量情況，考慮單行道和雙行道的具體時(shí)間，道路的處理方式同第一階段，從而避免道路沖突。

maxP{hn1(X,T)}=1

(5)

對(duì)于多行道來(lái)說(shuō)，只要保證車輛之間超過(guò)2分鐘的時(shí)間間隔就可以錯(cuò)開道路沖突，因此，在考慮多行道的時(shí)候，通過(guò)計(jì)算車輛通過(guò)時(shí)間來(lái)安排車輛通行時(shí)間，避開道路沖突。

(5)計(jì)算每輛車到各個(gè)道路節(jié)點(diǎn)的時(shí)間，判斷等待車輛的等待時(shí)間。各個(gè)發(fā)射點(diǎn)位的車輛部分路徑如下：

通過(guò)上述路徑圖的時(shí)間分析，可以清晰的計(jì)算出第二階段車輛從各個(gè)發(fā)射點(diǎn)到轉(zhuǎn)載地域的總時(shí)間為35.9 h。

1.3.3第三階段分析

根據(jù)條件限制，第二波次齊射計(jì)算中需去掉第一階段已發(fā)射導(dǎo)彈的發(fā)射點(diǎn)位，第三階段的思考可以使用第一階段中采取的計(jì)算模型來(lái)選取最短路徑使的暴露時(shí)間最短，此時(shí)的出發(fā)點(diǎn)是各個(gè)轉(zhuǎn)載地域，對(duì)于第三階段的具體分析如下：

(1)將第一階段的發(fā)射點(diǎn)位全部去掉，剩下的所有發(fā)射點(diǎn)位，利用Dijkstra算法得出從各自的轉(zhuǎn)載地域到剩余發(fā)射點(diǎn)的最短距離及最優(yōu)路徑。

(2)分析道路的容量情況，避免道路沖突，具體處理如第一階段。

(3)計(jì)算每輛車到各個(gè)道路節(jié)點(diǎn)的時(shí)間，判斷車輛的等待時(shí)間。

部分具體路徑分別為：

通過(guò)計(jì)算得出第三階段發(fā)射裝置的整體暴露時(shí)間為44.9 h。綜合前三個(gè)階段分析，最終得出完成兩個(gè)波次的齊射任務(wù)過(guò)程中整體的暴露時(shí)間為t=52.0+35.9+44.9=132.8 h。

2 道路節(jié)點(diǎn)沖突下的暴露時(shí)間

本文前半部分主要是對(duì)多波次導(dǎo)彈完成兩個(gè)波次發(fā)射任務(wù)的最短暴露時(shí)間進(jìn)行建模分析，但考慮到雙方的攻防博弈，從總的道路節(jié)點(diǎn)中篩選出最易受敵方攻擊的道路節(jié)點(diǎn)具有重大意義。就系統(tǒng)科學(xué)分析法來(lái)說(shuō)[8-9]，道路節(jié)點(diǎn)的重要性等同于破壞性，由于道路節(jié)點(diǎn)受到損壞時(shí)，需要維修道路節(jié)點(diǎn)，或者繞到最近的道路節(jié)點(diǎn)，此時(shí)會(huì)延遲甚至阻礙發(fā)射裝置按時(shí)到達(dá)指定發(fā)射點(diǎn)位，將增加整體暴露時(shí)間，即等待時(shí)間，現(xiàn)對(duì)本文涉及到的62個(gè)道路節(jié)點(diǎn)進(jìn)行審查，從敵方視角來(lái)考慮，選擇破壞三個(gè)重要道路節(jié)點(diǎn)，使得整體暴露時(shí)間最長(zhǎng)即可達(dá)到目標(biāo)效果：

由前文可以知道，在沒(méi)有任何道路節(jié)點(diǎn)被破壞的情況下，分別找到相應(yīng)的從兩個(gè)待機(jī)區(qū)域出發(fā)所行駛的路徑:

(6)

及相應(yīng)的暴露時(shí)間，此時(shí)的暴露時(shí)間記為：

(7)

此時(shí)，每輛車的行駛路徑已經(jīng)確定，從中找到行駛最短路線及所有節(jié)點(diǎn)通過(guò)車輛的次數(shù)，用MATLAB軟件中的內(nèi)部sort命令進(jìn)行排序，可以得到：62個(gè)道路節(jié)點(diǎn)通過(guò)的車輛次數(shù)M={M1,M2,M3…M62}及該車輛在兩波齊射中所需的總時(shí)間。并且由于道路分為主干道和非主干道，主干道的行駛速度較快，因此，道路節(jié)點(diǎn)選擇出現(xiàn)沖突優(yōu)先選擇主干道。在前文最短暴露時(shí)間分析的基礎(chǔ)上，兩個(gè)波次齊射任務(wù)的24 輛發(fā)射裝置的具體行駛路線很清楚的呈現(xiàn)了出來(lái)，也可以知道各個(gè)道路節(jié)點(diǎn)被使用的情況，哪些道路節(jié)點(diǎn)對(duì)于整體暴露時(shí)間的影響較大，敵方優(yōu)先選擇這些道路節(jié)點(diǎn)作為他們目標(biāo)的概率相對(duì)來(lái)說(shuō)就會(huì)更大。

選擇每個(gè)道路節(jié)點(diǎn)去掉所節(jié)省時(shí)間后的最大值，并按照節(jié)省時(shí)間來(lái)排序，從而確定易受到敵方攻擊的三個(gè)道路節(jié)點(diǎn)。根據(jù)前文的路徑圖，可以得出被使用頻率最高的4個(gè)道路節(jié)點(diǎn)，如表3所示：

表3 道路節(jié)點(diǎn)被使用次數(shù)

由于J15，J50被使用次數(shù)相同，考慮到J15這個(gè)道路節(jié)點(diǎn)處于主干道的位置，敵方相對(duì)于J50會(huì)優(yōu)先選擇破壞J15，因此最有可能受敵方破壞的道路節(jié)點(diǎn)是J37，J32，J15。在確定最可能受敵方攻擊的道路節(jié)點(diǎn)后，就可以提前對(duì)其完整性進(jìn)行保護(hù)，以及對(duì)一旦破壞后采取哪種應(yīng)急路線方案可以最小化延長(zhǎng)整體暴露時(shí)間進(jìn)行規(guī)劃。

導(dǎo)彈作戰(zhàn)效能是衡量一國(guó)軍事發(fā)展的重要指標(biāo)，本文所研究的多波次導(dǎo)彈發(fā)射模型背景信息量大，需要考慮多重約束條件，如主干道與非主干道的速度差別，單行道與雙行道的車輛容納信息，以及道路節(jié)點(diǎn)的沖突，暴露時(shí)間最短問(wèn)題，具有較強(qiáng)的實(shí)用性，將多目標(biāo)的多波次導(dǎo)彈打擊問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求取相應(yīng)路網(wǎng)中等效的最短路徑問(wèn)題，運(yùn)用Dijkstra算法依次求解三個(gè)階段最佳路徑，進(jìn)行最短暴露時(shí)間的求解，針對(duì)道路節(jié)點(diǎn)沖突問(wèn)題，合理采用0-1規(guī)劃模型進(jìn)行解決，為了減少發(fā)射區(qū)等待時(shí)間，依車載裝置速度差異分批次出發(fā)。與此同時(shí)考慮去掉哪三個(gè)道路節(jié)點(diǎn)后使得總體暴露時(shí)間最長(zhǎng)，從另一個(gè)角度給模型優(yōu)化提供新思路，這對(duì)于導(dǎo)彈在未來(lái)戰(zhàn)場(chǎng)最大化發(fā)揮作用具有一定的參考意義，另外，本文對(duì)于具體問(wèn)題的求解方法，對(duì)于相似的路徑規(guī)劃問(wèn)題同樣具有可解性。