摘? ?要? ?學(xué)生建構(gòu)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)。復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)的常見課型，通過復(fù)習(xí)，要優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加科學(xué)合理，提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力。本文基于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)視角，從數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完備性、重構(gòu)性、網(wǎng)絡(luò)性、寬深性四個(gè)方面，談?wù)勗趶?fù)習(xí)課中優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞? ?數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)? 完備性? 重構(gòu)性? 網(wǎng)絡(luò)性? 寬深性

復(fù)習(xí)課是以鞏固梳理已學(xué)過的知識(shí)、技能為主要任務(wù)，以促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化、形成科學(xué)合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為核心，以提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力為最終目標(biāo)的一種課型[1]。復(fù)習(xí)課是對已學(xué)內(nèi)容的再回顧、再組織、再應(yīng)用和再反思，其區(qū)別于新授課的顯著特征是復(fù)習(xí)課具有重復(fù)性、概括性、系統(tǒng)性、綜合性和反思性[2]。有效的復(fù)習(xí)課，有利于學(xué)生完善基礎(chǔ)知識(shí)表征，有利于學(xué)生形成基本技能程序，有利于學(xué)生建構(gòu)良好的策略性知識(shí)，從而使學(xué)生形成科學(xué)合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此復(fù)習(xí)課受教師的高度重視。基于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的復(fù)習(xí)課有以下幾個(gè)特點(diǎn)。

一、完備性

完備性是指學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完整性與正確性。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)本質(zhì)是學(xué)生長時(shí)記憶中數(shù)學(xué)知識(shí)的總和，是由知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系、認(rèn)知者的自我組織等形成的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[3]。這個(gè)結(jié)構(gòu)是因人而異的：一是因?yàn)椴煌娜?，表征?shù)學(xué)知識(shí)的能力、形式、習(xí)慣是不同的，二是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差異性，也會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差異性。在復(fù)習(xí)課上，教師要有目的地安排復(fù)習(xí)課的內(nèi)容，其中重要的一點(diǎn)就是要發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完備的地方，然后，有目的地進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué)。

首先，發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤，及時(shí)修正。如（a+b）2=a2+b2，因?yàn)閷W(xué)生在學(xué)習(xí)完全平方公式前，學(xué)習(xí)了（ab）2=a2b2，學(xué)生把（a+b）2納入了（ab）2=a2b2的結(jié)構(gòu)，所以出現(xiàn)了如此錯(cuò)誤。造成此錯(cuò)誤的根本原因是學(xué)生沒有仔細(xì)區(qū)別兩個(gè)整式，式子（ab）2=a2b2，a與b之間是乘法，而式子（a+b）2=a2+b2，a與b之間是加法。因此要通過復(fù)習(xí)，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，使學(xué)生形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。其次，發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)有遺漏，及時(shí)補(bǔ)上。如在平面幾何教學(xué)中，教師要總結(jié)證明兩直線平行的方法，若發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中沒有或缺少這一知識(shí)，要在復(fù)習(xí)課中及時(shí)補(bǔ)上，確保認(rèn)知結(jié)構(gòu)完備性。最后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中程序性知識(shí)與過程性知識(shí)銜接有斷裂，及時(shí)彌補(bǔ)。學(xué)生雖然在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有了陳述性知識(shí)，但沒有運(yùn)用知識(shí)去解決問題，也就是程序性知識(shí)沒有形成。學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，沒有自己的體驗(yàn)，過程性知識(shí)沒有形成。如等腰三角形的三線合一定理，很多學(xué)生知道這個(gè)定理但不會(huì)使用，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中只有陳述性知識(shí)，程序性知識(shí)沒有形成。通過復(fù)習(xí)課教學(xué)，要使學(xué)生在某一知識(shí)上保持完備性，對這類知識(shí)要進(jìn)行復(fù)習(xí)，使學(xué)生具有陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)、過程性知識(shí)。

二、重構(gòu)性

重構(gòu)性是指通過復(fù)習(xí)，學(xué)生可調(diào)整原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使之更科學(xué)合理。教師在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，要把所學(xué)習(xí)的知識(shí)系統(tǒng)化，把學(xué)習(xí)過的知識(shí)通過一定的方式方法聯(lián)系起來，這樣學(xué)生就要改造原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，組成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使之更加緊密合理，更容易被激活。

如學(xué)生在學(xué)習(xí)全等三角形后，在復(fù)習(xí)階段教師會(huì)對各種圖形進(jìn)行充分的變式，使學(xué)生重新認(rèn)識(shí)所學(xué)習(xí)過的圖形。學(xué)生原來的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是單一的圖形——基本圖形8型圖，通過對基本圖形的變式，使學(xué)生能夠充分地認(rèn)識(shí)一類圖形，這時(shí)學(xué)生要重構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使認(rèn)知上一個(gè)臺(tái)階。圖1、圖2兩個(gè)圖組的本質(zhì)是都含有8型圖，后面的5個(gè)圖形都可看成是由8型圖演變而來，這樣，學(xué)生通過復(fù)習(xí)，其認(rèn)知能力就上了一個(gè)臺(tái)階。學(xué)生可以在認(rèn)知了8型圖后，將后面的圖形化為一類圖形，這樣，對認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行整理，可以使認(rèn)知能力得到加強(qiáng)。

三、網(wǎng)絡(luò)性

網(wǎng)絡(luò)性，一是通過復(fù)習(xí)使學(xué)生學(xué)過的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化，能通過超鏈接快速提取知識(shí);二是不同的知識(shí)之間建立聯(lián)系，便于分析比較，利于模式識(shí)別。

第一，建構(gòu)問題集合。華東師范大學(xué)李士锜教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在形式上看是由節(jié)點(diǎn)和連線組成的復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點(diǎn)就是結(jié)構(gòu)中的元素或?qū)ο?，連線則是元素間存在的穩(wěn)定聯(lián)系。最基本的形式有三種：線性結(jié)構(gòu)、樹型結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[4]。學(xué)生對學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，依據(jù)其內(nèi)部聯(lián)系會(huì)形成一個(gè)個(gè)的樹形結(jié)構(gòu)，但是樹形知識(shí)結(jié)構(gòu)有一個(gè)弱點(diǎn)，就是當(dāng)需要提取數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，要遍歷這棵知識(shí)樹，也就是要依據(jù)一定的順序，搜索數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此需要時(shí)間。如果把知識(shí)之間依據(jù)用途建立超鏈接，如同網(wǎng)頁中的超鏈接，一點(diǎn)直接就可打開要的網(wǎng)頁，這樣省去要遍歷這棵知識(shí)樹的時(shí)間，從而快速提取知識(shí)。如在學(xué)習(xí)平行線時(shí)，總結(jié)證明兩直線平行的方法，形成一個(gè)證明方法集合。到了平行四邊形學(xué)習(xí)后，在復(fù)習(xí)課時(shí)，再次總結(jié)證明兩直線平行的方法，把運(yùn)用平行四邊形證明兩條直線平行的方法加入進(jìn)來，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中證明兩直線平行的方法就會(huì)形成新的集合，便于快速提取。第二，不同知識(shí)建立內(nèi)部聯(lián)系，有利于區(qū)別，也有利于模式識(shí)別。數(shù)學(xué)知識(shí)之間是既有聯(lián)系又有區(qū)別的整體，復(fù)習(xí)課時(shí)，要把這些知識(shí)整合到一起，形成網(wǎng)絡(luò)?？?。如函數(shù)知識(shí)與方程知識(shí)之間。把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，也可把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，可把這兩部分知識(shí)之間建立起聯(lián)系，這樣函數(shù)知識(shí)與方程知識(shí)之間就形成了一個(gè)更大的網(wǎng)絡(luò)知識(shí)?？欤欣趯W(xué)生在模式識(shí)別時(shí)，區(qū)分開兩類知識(shí)，利于模式識(shí)別。

四、寬深性

寬深性是指寬度與深度。寬度一是指數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中知識(shí)點(diǎn)總數(shù)，二是指學(xué)生在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題中的知識(shí)點(diǎn)總數(shù)，三是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的總數(shù)。深度是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中程序性知識(shí)的產(chǎn)生式序列的長度。通過復(fù)習(xí)，寬度與深度都要得到增加。

首先，提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的寬度。數(shù)學(xué)知識(shí)由三類知識(shí)構(gòu)成：陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)、過程性知識(shí)。其中程序性知識(shí)分為認(rèn)知策略與智慧技能。智慧技能又分簡單操作技能與復(fù)雜操作技能。對簡單操作技能知識(shí)，學(xué)生通過認(rèn)知、分解聯(lián)系階段，要在復(fù)習(xí)階段達(dá)到一定的自動(dòng)化程度。對復(fù)雜操作性技能，沒有固定的方法，因此達(dá)不到自動(dòng)化的程度。但這部分知識(shí)，在復(fù)習(xí)課時(shí)，教師可依據(jù)問題思維方法的共性加以抽象總結(jié)，形成一類問題的解題策略與思維方法。如在初三對拋物線中的相似三角形問題進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，通過復(fù)習(xí)學(xué)生可掌握此類問題的解題策略，并且在問題的分析過程中，學(xué)生會(huì)獲得一些分析問題的體驗(yàn)，感悟解題的全過程，教師可在復(fù)習(xí)過程中抽象總結(jié)出解決問題的程序。這樣，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的寬度會(huì)有明顯增加。

其次，提高學(xué)生解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題的寬度。解答一個(gè)數(shù)學(xué)問題所需要的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量是不同的，有的數(shù)學(xué)問題解答需要的知識(shí)點(diǎn)單一，有的數(shù)學(xué)問題解答需要的知識(shí)點(diǎn)較多，通過復(fù)習(xí)，要提高學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的寬度。學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，雖然在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有所需要的知識(shí)點(diǎn)，但不能把這些知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來組成程序性知識(shí)，因而解決不了數(shù)學(xué)問題。通過復(fù)習(xí)，要使學(xué)生能夠把這些知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來解決問題，從而提高解決數(shù)學(xué)問題的寬度。

再次，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的寬度。復(fù)習(xí)課中要設(shè)計(jì)一些需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)一定的問題才能解答的題目，這樣可激活學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生獲得創(chuàng)新成功體驗(yàn)。例如：在初二直角三角形性質(zhì)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、兩點(diǎn)間距離公式學(xué)完后的復(fù)習(xí)課中，給出如下例題：

如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A（■，1）在反例函數(shù)y=■的圖像上。

圖3

（1）求反比例函數(shù)y=■的表達(dá)式;

（2）求△AOB的面積;

（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以O(shè)、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，簡述你的理由。

學(xué)生要順利解答此題，在解題的過程中要發(fā)現(xiàn)∠AOC=30°才可以。還可給一些探究性題目，讓學(xué)生探究，提高學(xué)生分析問題解決問題的寬度。

最后，提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的深度。學(xué)生在沒有復(fù)習(xí)之前，學(xué)習(xí)的知識(shí)比較單一，并沒有把所學(xué)的知識(shí)串聯(lián)在一起解決問題，因此其程序性知識(shí)的產(chǎn)生式序列較短。但是當(dāng)進(jìn)行復(fù)習(xí)課時(shí)，會(huì)把所學(xué)知識(shí)綜合在一起解決數(shù)學(xué)問題，因而程序性知識(shí)的產(chǎn)生式序列長度會(huì)明顯增加。

總之，復(fù)習(xí)課教學(xué)是優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的好時(shí)機(jī)，教師要抓住這個(gè)寶貴時(shí)機(jī)，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加科學(xué)合理，從而提高學(xué)生的認(rèn)知能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 何善亮.復(fù)習(xí)課教學(xué)存在的問題及其改進(jìn)建議[J].當(dāng)代教育科學(xué)，2012（02）.

[2] 吳建新.基于有效教學(xué)的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課策略研究[D].長春：東北師范大學(xué)，2009.

[3] 劉海濤.芻議初中生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)[J].教學(xué)導(dǎo)刊：上半月，2015（06）.

[4] 李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001.

【責(zé)任編輯? 郭振玲】