基于未確知數(shù)學(xué)理論的基坑抗隆起穩(wěn)定分析

楊 帆

(巴中市勘察設(shè)計咨詢服務(wù)部，四川巴中 636600)

自然界中存在著眾多的不確定性因素，由于認(rèn)識水平的局限性，對這些不確定性因素往往不能全面認(rèn)識或了解。例如，巖土體的性質(zhì)非常復(fù)雜，其性質(zhì)需要眾多物理力學(xué)參數(shù)來描述，而且這些計算參數(shù)往往不是定值。這就給地基基礎(chǔ)的設(shè)計帶來了很大的難度和不確定性。在常規(guī)設(shè)計中大多是按照經(jīng)驗，對計算參數(shù)的未確知性加以忽略，將不確定性問題作為確定性問題考慮。

不確定性信息包括了隨機(jī)信息、模糊信息、灰信息等。隨機(jī)性由概率統(tǒng)計來表達(dá)和處理，模糊性由模糊數(shù)學(xué)處理，灰性由灰色數(shù)學(xué)方法處理。但是，由于實際條件的限制和地質(zhì)情況的復(fù)雜性而使得很難對巖土體進(jìn)行大量、準(zhǔn)確的試驗，從而難以得到參數(shù)的準(zhǔn)確值或概率分布。因此，在使用模糊數(shù)學(xué)等方法的過程中，難以確定參數(shù)值合理的隸屬函數(shù)，給求解帶來了不便。灰色理論中多采用區(qū)間型灰數(shù)來表達(dá)部分已知、部分未知的灰信息，但區(qū)間型灰數(shù)多是定義在一個區(qū)間內(nèi)，且在補(bǔ)充信息較少的情況下灰數(shù)的白化相當(dāng)困難。同理在使用可靠性分析方法時，也需要大量的資料來確定參數(shù)的變異性和不確定性[1]。

考慮到以上問題，以及土體參數(shù)在客觀上是確定性的，但決策者由于主觀原因而認(rèn)識不清，即屬于一種不完整信息。這類信息是部分已知部分未知的未確知信息，而且已知部分多于未確知部分。設(shè)計者在使用這類信息或參數(shù)進(jìn)行設(shè)計、計算時，應(yīng)該充分考慮它的未確知性，而不能簡單的將其作為確定性信息處理。

用于處理未確知信息的數(shù)學(xué)工具是未確知數(shù)學(xué)，它是實數(shù)的推廣，能精細(xì)地刻劃和表達(dá)客觀存在的“未確知量”，從而避免使用定值表示帶來的信息遺漏和失真[2]。

1 未確知數(shù)學(xué)基本理論

簡單來說，如果已知一個數(shù)落在區(qū)間[a,b]上，那么這是一個灰數(shù)；如果既知道這個數(shù)落在區(qū)間[a,b]上，同時還知道它在區(qū)間上取值的可能，就是一個未確知數(shù)。

1.1 未確知有理數(shù)[3]

對任意閉區(qū)間[a,b]，a=x1

(1)

1.2 未確知有理數(shù)運算法則

設(shè)*表示g(I)中的一種運算，可以是+、-、×、÷中的任何一種。設(shè)未確知有理數(shù)A、B為：

A=[[x1,xk],f(x)]，其中：

(2)

B=[[y1,ym],g(y)]，其中：

(3)

表1為盲數(shù)A關(guān)于B的可能值帶邊*矩陣；x1,x2,L,xk和y1,y2,L,ym分別為A與B的可能值序列?；ハ啻怪钡膬蓷l直線叫縱軸和橫軸。第一象限元素構(gòu)成的k×m階矩陣叫做A關(guān)于B在*運算下的可能值*矩陣，簡稱可能值*矩陣。

表2為A關(guān)于B的可信度帶邊積矩陣；α1,α2,L,αm，和β1,β2,L,βn，分別是A和B的可信度序列?；ハ啻怪钡膬蓷l直線叫縱軸和橫軸。第一象限元素構(gòu)成的m×n階矩陣叫做A關(guān)于B的可信度積矩陣，簡稱可信度積矩陣。

表1 A關(guān)于B的可能值*矩陣

表2 A關(guān)于B的可信度帶邊積矩陣

A關(guān)于B的可能值*矩陣與可信度積矩陣中元素aij,bij(i=1,2,L,n)叫做相應(yīng)元素，其所在的位置稱為相應(yīng)位置。

(4)

當(dāng)*分別代表+、-、×、÷時，則分別代表A+B、A-B、A×B、A÷B。

2 基坑抗隆起穩(wěn)定分析

基坑穩(wěn)定驗算是基坑支護(hù)設(shè)計重要內(nèi)容之一，其中包括整體穩(wěn)定、抗隆起穩(wěn)定、抗?jié)B流穩(wěn)定驗算等?；拥目孤∑鸱€(wěn)定分析對保證基坑穩(wěn)定和控制基坑變形具有重要意義，現(xiàn)行的規(guī)范中也給出了具體的驗算方法[4]。但規(guī)范給出的公式僅適用于純黏性土(φ=0)，很難同時考慮土體的抗剪強(qiáng)度c、φ對抗隆起的影響。因此參照Prandtl的地基承載力公式進(jìn)行抗隆起安全系數(shù)的驗算[5]：

(5)

式中：d為墻體入土深度；h為基坑開挖深度；γ1,γ2為墻體外側(cè)及坑底土體重度；q為地面超載；Nc、Nq為地基承載力系數(shù)。

采用Prandtl公式計算時，Nc、Nq分別為：

Nq=tan2(45°+φ/2)eπtanφ

(6)

Nc=(Nq-1)/tanφ

(7)

使用該方法驗算抗隆起安全系數(shù)時，要求Ks≥1.6。

從以上的分析可以看出，抗隆起安全系數(shù)同土的物理性質(zhì)指標(biāo)和抗剪強(qiáng)度密切相關(guān)。由于土的重度一般離散性較小，也便于測量，所以抗剪強(qiáng)度c、φ對計算結(jié)果影響較大。常規(guī)方法將c、φ當(dāng)作定值處理，雖然簡便，但難免與實際不符，計算結(jié)果有時也不全面。下面通過一個算例來說明使用未確知有理數(shù)和一般實數(shù)對抗隆起穩(wěn)定分析帶來的影響。

3 算例研究

某基坑開挖深度為8m，采用鋼筋混凝土支護(hù)樁，嵌固深度為2m，基坑表面作用的均布荷載q=40kPa?；滓陨贤翆訛榉圪|(zhì)黏土，γ=19.8kN/m3、c=27kPa、φ=38°，基坑底至支護(hù)樁底端(圖1中的CB段)土層為黏性土混砂，γ=18kN/m3，三組試驗測得的黏聚力分別為：12kPa、13kPa、17kPa；測得的內(nèi)摩擦角為：18°、17°、23°。現(xiàn)對該基坑進(jìn)行抗隆起穩(wěn)定分析。

圖1 基坑抗隆起計算示意

用常規(guī)確定性分析方法，坑底土的平均黏聚力為14kPa，平均內(nèi)摩擦角為19°，代入式(5)～式(7)可得，抗隆起安全系數(shù)Ks=1.72>1.6，滿足規(guī)范要求。

下面使用未確知有理數(shù)來描述黏聚力和內(nèi)摩擦角的試驗結(jié)果。

根據(jù)資料，黏聚力有三個測值，其中12kPa、13kPa兩個值比較接近，可以都取較小的12kPa。因此可以得到其未確知有理數(shù)表達(dá)式為:

(8)

同理可得φ的未確知有理數(shù)表達(dá)式為:

(9)

將c、φ的表達(dá)式代入式(6)、式(7)，可以得到地基承載力系數(shù)的未確知有理數(shù)表達(dá)式為：

(10)

根據(jù)式(8)和式(10)可以看出抗隆起安全系數(shù)的分子的兩項cNc,γ2dNq都是未確知有理數(shù)，根據(jù)未確知有理數(shù)的運算法則可以得到：

(11)

(12)

由式(11)、式(12)可以根據(jù)未確知有理數(shù)的運算法則進(jìn)行安全系數(shù)Ks的分子的計算，具體過程見表3和表4。

表3 cNc關(guān)于r2dNq的可能值帶邊和矩陣

表4 cNc關(guān)于r2dNq的可信度帶邊積矩陣

安全系數(shù)Ks的分母為一定值，因此表3和表4和已知數(shù)據(jù)，可以計算得到Ks的表達(dá)式，經(jīng)整理后如下：

(13)

由式(13)可以看出，抗隆起安全系數(shù)Ks小于1.6的可能性為8/27，，即抗隆起驗算不滿足要求的概率為將近1/3。

對比不考慮參數(shù)未確知性的計算結(jié)果和將參數(shù)作為未確知有理數(shù)進(jìn)行處理后得到的計算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論不盡相同。常規(guī)的設(shè)計方法分析得到的結(jié)論是基坑抗隆起安全系數(shù)滿足要求，即支護(hù)樁的嵌固深度足夠。但如果考慮了參數(shù)取值的不確定性，將這些難以用定值描述的參數(shù)用未確知有理數(shù)表達(dá)及運算，可以發(fā)現(xiàn)地基承載力不能滿足要求的概率近1/3，這說明該基礎(chǔ)的地面尺寸并不是在任何情況下都滿足承載力的要求。設(shè)計人員對基礎(chǔ)的安全性應(yīng)有更充分的認(rèn)識，如果出于安全的考慮，建議增加支護(hù)樁嵌入基坑底部的深度。

4 結(jié) 論

(1)設(shè)計中不可避免的會涉及到難以確定或離散性較強(qiáng)的計算參數(shù)，常規(guī)的處理方法一般是給參數(shù)取一個定值(如平均值或者經(jīng)驗值)，然后采用相應(yīng)的方法進(jìn)行分析計算。這類常規(guī)設(shè)計方法在一定程度上忽略了隱含于參數(shù)中的未確知性，分析結(jié)果不夠全面，有時甚至?xí)贸鲥e誤的結(jié)論。

(2)與以往的確定性分析方法相比，未確知有理數(shù)可以將難以用定值描述的參數(shù)用可信度表示，對影響因素考慮周全，從而得到更詳實全面的結(jié)果。

(3)在未確知有理數(shù)的計算過程中，取值區(qū)間越多，進(jìn)行運算所得的可能值區(qū)間就越多，計算量就越大。而過多、過密的取值區(qū)間對計算結(jié)果是毫無意義的。因此，在計算中應(yīng)盡可能地根據(jù)現(xiàn)場的實際情況來確定參數(shù)的未確知性，并在運算中注意區(qū)間的合并，以使計算結(jié)果的表達(dá)清晰明了。