王華民 丁 潔

一、問題提出

英國教育家馬莎·斯通·威斯克認(rèn)為，理解是指能夠在給定的資訊以外有所超越，并且能夠創(chuàng)造性地運用自己的知識。如果某人能夠證明自己可以把知識正確、恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用到新的情境中，而他又是在未得到任何特別指導(dǎo)的情況下自發(fā)地完成這項行動，那么我們就可以認(rèn)為這個人已經(jīng)達(dá)到了真正的理解。[1]可見“理解”的含義不僅是“明白、懂”的意思，也包含應(yīng)用知識的能力，是創(chuàng)新的基礎(chǔ)和前提，所以理解是教學(xué)的核心目標(biāo)。本文的“理解性教學(xué)”強調(diào)通過教師的合理設(shè)計，讓學(xué)生不是停留在知識的記憶與技能的操作層面，而是從聯(lián)系、發(fā)展的觀點，明晰知識的形成過程，并能把所學(xué)知識運用于新知并解決問題。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，知識的獲得與應(yīng)用都是以理解為基礎(chǔ)的，學(xué)習(xí)是在理解基礎(chǔ)上不斷深化的過程。因此，有必要從初一甚至從小學(xué)開始，加強“理解性教學(xué)”，不僅在新授課讓學(xué)生理解知識形成和發(fā)展的過程，而且習(xí)題課、復(fù)習(xí)課也要讓“理解”貫穿于教學(xué)的每一環(huán)節(jié)。下面以蘇教版七年級下“二元一次方程組”和“一元一次不等式”兩章的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，談?wù)劰P者的實踐。

二、教學(xué)內(nèi)容摘錄

1.介紹兩章概況。

（1）弄清知識來源。上課伊始，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧“二元一次方程組”和“一元一次不等式”兩章教材的開頭，讓學(xué)生明晰生活中存在大量的等量和不等量關(guān)系，學(xué)習(xí)方程、不等式模型都是研究問題的需要。補充說明，我國航天技術(shù)的飛速發(fā)展，高鐵的精密計算，其基礎(chǔ)是方程和不等式，基礎(chǔ)運算離不開等式、不等式。

（2）明晰兩章知識對應(yīng)著兩個重要模型。引導(dǎo)學(xué)生回顧方程的概念：它是表達(dá)數(shù)量關(guān)系的“天平”，是解決實際問題的有效模型，它包括一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程、三元一次方程（組）等。不等式則是刻畫客觀世界不等關(guān)系的一個重要工具，它包括一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）等。從前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生也能體會到這兩個模型是思維訓(xùn)練的有效載體，所以需要認(rèn)真復(fù)習(xí)，加強理解，掌握相關(guān)知識。

2.構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧兩章的知識框圖，可先由學(xué)生回憶，教師再逐步投影，并簡要說明，具體內(nèi)容如下圖1、2。

（圖1）

（圖2）

3.方法回顧與問題解決。

期末復(fù)習(xí)課一般要在回顧舊知、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上強化重點，運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，并注重知識、方法的前后聯(lián)系，實施有效遷移。

（1）類比、對比復(fù)習(xí)。首先是類比方程（組）與不等式（組）的定義，在其中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會抓住關(guān)鍵詞——“元”“次”。

其次是類比解題步驟，參見表1。

最后，類比解題方法（依據(jù)）。在教學(xué)時提供兩組練習(xí)題讓學(xué)生解答，引導(dǎo)學(xué)生歸納方程組與不等式組在解法上的異同點。

表1 解題步驟類比

相同點是從結(jié)果上看，方程組的解是兩個方程的公共解，不等式組的解集也是兩個（或幾個）不等式的公共部分。

不同點是解方程組是從兩式的關(guān)系，從一個式子代入另一個式子消元，或?qū)蓚€式子進(jìn)行加減消元；而解不等式組則需要各自解一個不等式，再求解的公共部分。

（2）注重聯(lián)系、緊扣概念解決問題。

例1：已知關(guān)于x，y 的方程4x3m+2n-7+5x2m+3n-11=3 是二元一次方程，求m+n 的值。

此題的解法有兩種，一是加減消元法，二是整體法。兩種解法還可對應(yīng)下面兩個變式。

變式1：條件不變，求m-n 的值。

變式2：條件不變，求4m+n 的值。

之后引導(dǎo)學(xué)生反思回顧：一道看似二元一次方程的問題，利用一次方程的概念列式，構(gòu)成了一道二元一次方程組的問題?？梢姺匠?、方程組之間，方程與不等式之間，還有解方程（組）、不等式應(yīng)用題一般步驟之間，解決問題的方法之間都是有聯(lián)系的。

解二元一次方程組和一元一次不等式組小結(jié)：①緊扣概念、把握基本方法有益于解題；②注重聯(lián)系，利用方程、不等式的相近聯(lián)系分析解決問題，有益于我們提升對知識內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識，解決問題時要注意觀察，學(xué)習(xí)方法的選擇與取舍。

（3）適度變式，注意運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。

提供如下例題和變式供學(xué)生思考、解決。

變式：條件不變，若2＜x-y＜4，求k 的取值范圍。

變式1：把“無解”改為“有解”，則a 的取值范圍是____________。

（4）強化知識的應(yīng)用。

例5：小明用100 元錢去購買筆記本和鋼筆共25 件，已知每本筆記本3 元，每支鋼筆5元，那么小明最多能買多少支鋼筆？

拓展題：制作某產(chǎn)品有兩種方案，方案1 用4 塊A 型鋼板，8 塊B 型鋼板；方案2 用3 塊A型鋼板，9 塊B 型鋼板.若A 型鋼板的面積比B型鋼板大。從省料角度看，應(yīng)選哪種方案？

本環(huán)節(jié)的設(shè)置，一方面是引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)，解決實際應(yīng)用題；另一方面，讓學(xué)生解決不等式與其他內(nèi)容結(jié)合的一些問題，從而提升解決綜合問題的能力。拓展題是為學(xué)優(yōu)生設(shè)計的，學(xué)生列式后能發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵是要比較4x+8y 與3x+9y 大小，可運用作差比較大小的方法解決。

三、教學(xué)反思

復(fù)習(xí)課內(nèi)容確定后，如何有序呈現(xiàn)呢？因為數(shù)學(xué)是一門邏輯性強的學(xué)科，呈現(xiàn)要按一定的邏輯順序。由此，本堂復(fù)習(xí)課以“注重理解”為主線，讓學(xué)生理解“為何學(xué)”“學(xué)什么”“怎樣學(xué)”。

1.“為何學(xué)”：促學(xué)生理解知識的來龍去脈。

第一部分“介紹兩章概況”，旨在讓學(xué)生理解“為何學(xué)”，教師帶學(xué)生回顧知識是從生活、科技發(fā)展中來，明晰兩個模型的重要性，在于讓學(xué)生理解知識的形成過程。

因方程與不等式、方程組與不等式組都是相近概念。教師設(shè)計了從舊知到新知概念的類比學(xué)習(xí)。類比是根據(jù)兩類對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推出它們的其他相同或相似屬性的思維形式，類比是由此及彼的活動。類比學(xué)習(xí)可以在體系中構(gòu)建更多的新知，事半而功倍，是一種創(chuàng)造性活動，也更有利于學(xué)生對相關(guān)知識的進(jìn)一步理解與認(rèn)識。

2.“學(xué)什么”：幫學(xué)生理清知識脈絡(luò)和方法要點。

第二部分“構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)”是讓學(xué)生理解“學(xué)什么”，教師按著知識發(fā)生、形成的順序，讓學(xué)生依次回憶所學(xué)內(nèi)容，教師投影知識結(jié)構(gòu)圖，一方面是在幫學(xué)生厘清知識的脈絡(luò)，留給學(xué)生清晰的印象，以加深對知識結(jié)構(gòu)整體的理解；另一方面則利于從整體結(jié)構(gòu)中認(rèn)識兩章，再一次讓學(xué)生理解知識的前因后果。在反思小結(jié)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生歸納解決問題的方法與步驟，都是從解決問題的過程中抽象而來，既促進(jìn)了學(xué)生的理解，也有益于提升復(fù)習(xí)的有效性。

3.“怎樣學(xué)”：讓學(xué)生進(jìn)行類比、遷移與運用。

第三部分“方法回顧與問題解決”是讓學(xué)生理解“怎樣學(xué)”，從以下幾個維度闡述。

（1）對解題方法與步驟進(jìn)行類比復(fù)習(xí)、對比呈現(xiàn)。本課教師不僅設(shè)計了方程、不等式相關(guān)概念的類比復(fù)習(xí)，對其解題方法和步驟也進(jìn)行了類比復(fù)習(xí)，對比呈現(xiàn)，還指出解方程組、不等式組的異同點，讓學(xué)生在知識系統(tǒng)中復(fù)習(xí)、體會，獲得一次再理解的過程，也帶動了相關(guān)知識的復(fù)習(xí)。教師不停留于表面，還注意追問解題方法背后的依據(jù)是什么，讓學(xué)生知其然，也知其所以然，給學(xué)生思考、練習(xí)與表達(dá)的機會。讓學(xué)生學(xué)會遷移運用，以真正理解相關(guān)知識。

（2）注重選編有聯(lián)系、適度變式的問題。精選問題是復(fù)習(xí)教學(xué)的重點之一，從理解性教學(xué)的角度，要重點關(guān)注如下兩點：

其一，注重聯(lián)系，由于世界的普遍聯(lián)系性，數(shù)學(xué)學(xué)科的各部分內(nèi)容、內(nèi)容的不同方面都存在著聯(lián)系，所以選編例題有所側(cè)重，例1 看似是一道二元一次方程的問題，但依據(jù)二元一次方程的概念列式，構(gòu)成了一道二元一次方程組的問題。通過兩種方法的對比，讓學(xué)生體會知識的前后聯(lián)系，體會整體求解的優(yōu)越性；例2 反映的是方程與不等式之間的聯(lián)系。解方程和解不等式的應(yīng)用題，一般步驟非常類似，關(guān)鍵點是找“等量關(guān)系”或“不等量關(guān)系”。在解應(yīng)用題時，要重視審題，緊扣概念?？梢?，從聯(lián)系發(fā)展的觀點審視知識本身，在體系中復(fù)習(xí)，不僅能鞏固舊知，更能深化對問題的理解，增強復(fù)習(xí)的效果。

其二，注意適度變式。變式教學(xué)于數(shù)學(xué)教學(xué)的重要性顯而易見，它是在初步理解知識后，通過變換問題的表現(xiàn)形式，獲得其本質(zhì)屬性，在“變”中求“定”，達(dá)到舉一反三、深化理解的目的。通過例1 的兩個變式，讓學(xué)生注意解題方法的選擇與取舍，例4 及兩個變式涉及不等式組含字母的無解、有解以及正向、逆向等問題，通過問題解決，強化借助數(shù)軸判斷的意識，給學(xué)生一個較全面的認(rèn)識。

（3）有意識地運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。由于數(shù)學(xué)思想方法蘊含在知識背后且在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用，所以在復(fù)習(xí)課中，要注意運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題，這不僅是進(jìn)一步理解問題的需要，也是提升教學(xué)有效性的需要。例如，例2 體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，不同解法的對比，體現(xiàn)了整體思想的優(yōu)越性；例3 是一道含字母的解不等式組的問題，由于是不確定問題，則運用了分類討論的思想；例4 及其變式的成功解決，是借助數(shù)軸、運用了數(shù)形結(jié)合思想，而且借助數(shù)軸、關(guān)注端點取值、判斷得解，既突出了重點，也突破了這類問題的難點。運用數(shù)學(xué)思想方法解題，也使學(xué)生對這類問題理解得更深刻、更全面。

為理解而教，是對某些缺乏理解與充滿誤解的教學(xué)的修正。復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計必須從注重鞏固性教學(xué)的模式向以理解為目標(biāo)的教學(xué)設(shè)計轉(zhuǎn)變。本課精心設(shè)計教學(xué)過程，把"理解"貫穿復(fù)習(xí)課導(dǎo)入、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)和問題解決等每一環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生明晰了要學(xué)什么、為什么要學(xué)、怎么學(xué)以及會運用所學(xué)解決新問題時，就是真正地理解數(shù)學(xué)（包含知識、方法等）。這樣有助于學(xué)生產(chǎn)生自覺學(xué)習(xí)的行動，并提升其自主學(xué)習(xí)、類比學(xué)習(xí)的能力。