HPM視角下的復(fù)數(shù)序言課教學(xué)*

向 榮 盧成嫻 沈中宇

(華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué) 200120)(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 200241)

1 引言

現(xiàn)行教科書中每一章開頭部分都有相應(yīng)的章頭語(yǔ)和章頭圖，簡(jiǎn)單介紹此章的主要內(nèi)容及相關(guān)背景．這些內(nèi)容與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容不同，由此產(chǎn)生了一種新的課型：章節(jié)序言課．作為每一章的起始，序言課的教學(xué)要向?qū)W生揭示為什么要學(xué)習(xí)這一知識(shí)、其主要知識(shí)脈絡(luò)和思想方法[1]，具有揭示知識(shí)起源、展現(xiàn)知識(shí)聯(lián)系、理解研究方法、滲透數(shù)學(xué)文化、培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣等價(jià)值[2-3]．但在教學(xué)中，教師對(duì)章節(jié)序言課的價(jià)值還認(rèn)識(shí)不夠，對(duì)如何進(jìn)行序言課的設(shè)計(jì)也缺乏方法論的指導(dǎo)[4]．因此，在培養(yǎng)核心素養(yǎng)的背景下，如何發(fā)揮章節(jié)序言課的價(jià)值成為了大家關(guān)注的焦點(diǎn)[5]．已有研究表明，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)具有“知識(shí)之諧”“方法之美”“探究之樂”“能力之助”“文化之魅”和“德育之效”等價(jià)值[6]，因此數(shù)學(xué)史融入序言課的教學(xué)有助于序言課價(jià)值的實(shí)現(xiàn)，為序言課的設(shè)計(jì)提供了獨(dú)特的視角和豐富的資源[7]．翻開數(shù)學(xué)史的畫卷，復(fù)數(shù)漫長(zhǎng)的發(fā)展史生動(dòng)地呈現(xiàn)了復(fù)數(shù)從發(fā)明到發(fā)展的全過程．將數(shù)學(xué)史料融入“復(fù)數(shù)”一章的教學(xué)之中可以還原復(fù)數(shù)的發(fā)生發(fā)展過程、展示復(fù)數(shù)不同知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系、提供復(fù)數(shù)的研究方法、滲透復(fù)數(shù)知識(shí)背后的人文元素并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的興趣．但從目前來看，將數(shù)學(xué)史融入復(fù)數(shù)序言課的嘗試還相對(duì)較少．

基于以上思考，我們擬定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：了解數(shù)系的發(fā)展全過程、了解復(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史原因，知道復(fù)數(shù)發(fā)生發(fā)展的過程；對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和幾何表示有所了解，逐步理解“虛數(shù)不虛”的含義；對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程的求解有完整的認(rèn)識(shí)；經(jīng)歷復(fù)數(shù)代數(shù)形式抽象概括的過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過數(shù)學(xué)史知識(shí)的滲透建立良好的數(shù)學(xué)觀，培養(yǎng)濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)問題探究意識(shí)．

2 歷史材料及其運(yùn)用

復(fù)數(shù)概念的歷史發(fā)展經(jīng)歷了虛數(shù)概念的起源、復(fù)數(shù)理論的發(fā)展、復(fù)數(shù)理論的成熟三個(gè)階段．本節(jié)課將以復(fù)數(shù)概念的形成為脈絡(luò)，利用重構(gòu)、復(fù)制、附加的方式將相關(guān)的歷史素材融入到教學(xué)之中．

2.1 虛數(shù)概念的起源

2.2 復(fù)數(shù)理論的發(fā)展

2.3 復(fù)數(shù)理論的成熟

復(fù)數(shù)在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用是從18世紀(jì)開始的．法國(guó)數(shù)學(xué)家德朗貝爾(d’ Alembert, 1717-1783)將復(fù)變函數(shù)理論應(yīng)用于流體動(dòng)力學(xué)，瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特(Lambert, 1728—1777)將復(fù)變函數(shù)應(yīng)用于地圖的制作．后來，復(fù)數(shù)又在電學(xué)和物理學(xué)的其他許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[10]．雖然魏塞爾、阿甘德和高斯完成了復(fù)數(shù)的幾何表示，但是哈密爾頓(Hamilton, 1805—1865)將復(fù)數(shù)建立在了更加完善和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論之上． 1837年，哈密爾頓發(fā)表文章指出把復(fù)數(shù)a+bi看作一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)，他把這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)定義為一種新數(shù)，并給出了加減乘除的運(yùn)算法則．哈密爾頓證明了這種二元數(shù)系是封閉的，且滿足交換律、結(jié)合律和分配律，由此把復(fù)數(shù)建立在嚴(yán)格的實(shí)數(shù)基礎(chǔ)之上．

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

本節(jié)課采取的是主體性教學(xué)模式，關(guān)注課前、課中、課后學(xué)生學(xué)習(xí)主體性的發(fā)揮，因此課前對(duì)學(xué)生有一定的學(xué)習(xí)要求．一方面，教師整理數(shù)系發(fā)展的資料，并將其作為閱讀材料下發(fā)給學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)；另一方面，學(xué)生自行上網(wǎng)搜集資料，課前以小組為單位進(jìn)行交流．這樣的課前準(zhǔn)備既為學(xué)生學(xué)習(xí)新知打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，又向?qū)W生說明需要用發(fā)展和聯(lián)系的眼光進(jìn)行學(xué)習(xí)．

3.1 情境創(chuàng)設(shè)，引出主題

師：今天這節(jié)課我們將開啟一段數(shù)學(xué)文化之旅.同學(xué)們，你們認(rèn)為數(shù)學(xué)美嗎？

生：美．

師：數(shù)學(xué)不論其外在形式還是內(nèi)容都有著豐富的美，讓我們掌聲有請(qǐng)一位同學(xué)為我們講述數(shù)的發(fā)展過程．

師：講得非常好！簡(jiǎn)單地介紹了數(shù)的發(fā)展．當(dāng)數(shù)集發(fā)展到實(shí)數(shù)集的時(shí)候，是否就停止了腳步？不是．所以本節(jié)課的主題是“認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)”.任何一本書都有序言，那我們?cè)陂_啟一章新的內(nèi)容之前也需要有序言.今天我們上的是一節(jié)序言課，本節(jié)課我們將實(shí)現(xiàn)如下的學(xué)習(xí)目標(biāo)：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)復(fù)數(shù)？這一章將講授哪些具體的內(nèi)容？在學(xué)習(xí)過程中我們將運(yùn)用哪些重要的數(shù)學(xué)思想方法？

通過梳理數(shù)的發(fā)展過程，樹立學(xué)生的問題意識(shí)，并為復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)作鋪墊．

3.2 走進(jìn)歷史，探究緣由

師：同學(xué)們?cè)谡n前觀看了視頻“虛數(shù)不虛”，應(yīng)該收獲了一些信息.這部視頻中談及了《大術(shù)》一書，談到了一些人物，如卡丹和邦貝利．下面我們走進(jìn)復(fù)數(shù)發(fā)展史，穿越時(shí)空，探究當(dāng)時(shí)遇到的問題．

故事1邦貝利的故事

教師首先講解卡丹的著名問題以及虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)，接著講解邦貝利與虛數(shù)的故事．

生：可能會(huì)放棄．

故事2歐拉的貢獻(xiàn)

生：不存在，虛數(shù)與實(shí)數(shù)相對(duì)，虛無(wú)縹緲．

師：同學(xué)們能不能根據(jù)我們所寫出的虛數(shù)歸納概括出其一般形式？

生：a+bi (b≠0)．

師：有了虛數(shù)的符號(hào)表示，是否就能夠解釋虛無(wú)縹緲的虛數(shù)到底是什么了呢？這個(gè)問題也困擾了數(shù)學(xué)家很長(zhǎng)時(shí)間．

故事3虛數(shù)的幾何表示

師：回顧數(shù)的發(fā)展，每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以與數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么虛數(shù)該如何表示呢？我們能否找到這些虛數(shù)的幾何表示？

生：感覺有困難．

師：一維的數(shù)軸不能解決問題，讓我們?cè)诙S的平面直角坐標(biāo)系中找答案．

教師介紹阿甘德對(duì)虛數(shù)的幾何表示，引導(dǎo)學(xué)生理解i的幾何意義．

圖1 阿甘德對(duì)虛數(shù)的幾何表示

師：以上的研究幫助我們認(rèn)識(shí)了數(shù)系發(fā)展的一個(gè)新的階段，我們接受并認(rèn)可了虛數(shù)的存在，理解了虛數(shù)不虛．

通過再現(xiàn)三個(gè)歷史片段，讓學(xué)生充分理解引入復(fù)數(shù)的必要性，理解虛數(shù)不虛的含義，解決本節(jié)課的難點(diǎn)問題．

3.3 層層推進(jìn)，獲取新知

圖2 表示數(shù)集發(fā)展的文化圖

教師引導(dǎo)學(xué)生用文氏圖表示數(shù)集的擴(kuò)充過程(圖2)，理解數(shù)集之間的包含關(guān)系，為引出復(fù)數(shù)集做好鋪墊．

師：實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集之間是什么關(guān)系？

生：兩個(gè)集合的交集應(yīng)該是空集．

師：按照數(shù)集的發(fā)展規(guī)律，新的數(shù)集的產(chǎn)生既包含原有的數(shù)又會(huì)補(bǔ)充新的數(shù)，所以我們把新的數(shù)集稱之為復(fù)數(shù)集，用C來表示．歷史上，復(fù)數(shù)這一術(shù)語(yǔ)是由數(shù)學(xué)家高斯引入的．請(qǐng)問你們認(rèn)為復(fù)數(shù)的一般表示形式是什么？

生：仍然是形如a+bi的形式．

師：很好，記作z=a+bi，特別強(qiáng)調(diào)a,b∈R．請(qǐng)同學(xué)們討論一下復(fù)數(shù)的類別劃分．

生：當(dāng)b=0時(shí)復(fù)數(shù)z成為實(shí)數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)復(fù)數(shù)z是一個(gè)虛數(shù)．

師：其中當(dāng)b≠0時(shí)，我們可以就a的取值進(jìn)行分類討論，得到b≠0,a=0時(shí)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；而b≠0且a≠0時(shí)復(fù)數(shù)為非純虛數(shù)．

教師通過圖示幫助學(xué)生強(qiáng)化理解復(fù)數(shù)的類別劃分．

師：在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么一個(gè)復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系中該如何表示？比如2+i，在平面直角坐標(biāo)系中會(huì)如何表示？

生L在黑板上進(jìn)行板演，她取了一個(gè)點(diǎn)(2,1)，在坐標(biāo)系中進(jìn)行標(biāo)記．

師：我們來分析一下生L的表示過程.根據(jù)復(fù)數(shù)z=2+i，確定了有序?qū)崝?shù)對(duì)(2,1)，再在坐標(biāo)系中把這個(gè)點(diǎn)表示出來，這樣就有了復(fù)數(shù)2+i的坐標(biāo)表示．大家認(rèn)可這樣的表示方式嗎？

生眾：可以．

師：生L做得非常好，我們把其中的過程提煉一下.一個(gè)復(fù)數(shù)與一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此可以用平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，也可以用復(fù)數(shù)來描述平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)．建立了直角坐標(biāo)系用來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面．歷史上，在阿甘德給出虛數(shù)的幾何解釋之后，高斯進(jìn)一步將復(fù)數(shù)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，完善了復(fù)數(shù)的幾何表示．

教師詳細(xì)介紹了復(fù)平面的概念，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)形的認(rèn)識(shí)．

師：引入復(fù)平面概念后，我們可以繼續(xù)研究復(fù)數(shù)的哪些問題呢？

生1：可以度量長(zhǎng)度．

生2：好像復(fù)數(shù)與向量有聯(lián)系．

教師給出了復(fù)數(shù)模的定義，并提出問題：如果已知|z|=1，你們會(huì)想到什么？

學(xué)生在教師的引導(dǎo)下知道了|z|=1對(duì)應(yīng)的曲線是單位圓．

師：有了復(fù)數(shù)模的定義之后，通過數(shù)形結(jié)合思想，我們就可以研究復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題.以后，我們也將研究復(fù)數(shù)運(yùn)算.這些(圖3)都將是我們接下來著重學(xué)習(xí)的內(nèi)容．

圖3 復(fù)數(shù)內(nèi)容的思維導(dǎo)圖

通過師生之間的對(duì)話交流將知識(shí)層層推進(jìn)，促使學(xué)生深入思考本章將學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容，讓學(xué)生對(duì)接下來要學(xué)習(xí)的知識(shí)有一個(gè)大致了解．

3.4 總結(jié)提升，知識(shí)升華

教師帶領(lǐng)學(xué)生針對(duì)本課的三個(gè)篇章、三個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行小結(jié)．首先將數(shù)學(xué)史料進(jìn)行系統(tǒng)展示(圖4)．

圖4 復(fù)數(shù)的歷史發(fā)展

師：實(shí)際上，在高斯完善了復(fù)數(shù)的幾何表示之后，復(fù)數(shù)在流體動(dòng)力學(xué)、地圖的制作以及電學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域都得到了應(yīng)用．到了19世紀(jì)，哈密爾頓進(jìn)一步將復(fù)數(shù)建立在更加完善和嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論之上．

接下來讓學(xué)生談?wù)剬W(xué)習(xí)體會(huì)．

生1：從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程可以了解對(duì)未知領(lǐng)域的探索是無(wú)窮的，要想到、找到解決問題的方法，不要止步于此．

生2：最近我們?cè)谡Z(yǔ)文課上學(xué)了一篇文章，是著名物理學(xué)家沈致遠(yuǎn)先生寫的《說數(shù)》，他在談及數(shù)學(xué)文化之旅時(shí)寫了這樣一首小詩(shī)《零贊》，我想分享給大家——“你自己一無(wú)所有/卻成十倍地賜予別人/難怪你這么美/像中秋夜的一輪明月．”虛數(shù)，在歷史上本來是不被承認(rèn)的，但后來數(shù)學(xué)家通過人類的理性將它證實(shí)了．?dāng)?shù)學(xué)不僅是一種美，背后還閃耀著理性的光輝．虛數(shù)作為一個(gè)里程碑，我覺得非常偉大，值得敬佩．

師：通過序言課的學(xué)習(xí)，我們知道了虛數(shù)產(chǎn)生的必要性，知道了數(shù)集由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集，因此求解方程的時(shí)候可能是實(shí)根也有可能存在虛根．我們需要著重認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，理解復(fù)平面引入的意義．在知識(shí)的引入過程中運(yùn)用到了常見的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合．課后請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考“復(fù)數(shù)”這一章還有哪些內(nèi)容需要研究、應(yīng)該如何研究．

4 學(xué)生反饋

課后，我們收集了全班32名學(xué)生對(duì)本節(jié)課的反饋信息．所有學(xué)生都表示聽懂了這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，其中68.8%的學(xué)生很喜歡這樣將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，31.2%的學(xué)生挺喜歡這樣的數(shù)學(xué)史融入方式．由此可見，學(xué)生對(duì)本節(jié)課的接受度較高．對(duì)于問題“為什么要學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)”，93.8%的學(xué)生認(rèn)為是考試要考，78.1%的學(xué)生認(rèn)為是因?yàn)榻馊畏匠虝r(shí)發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)可以寫成含有負(fù)數(shù)開根的形式，62.5%的學(xué)生認(rèn)為是要解決一元二次方程中無(wú)解的情況，59.4%的學(xué)生認(rèn)為是由于復(fù)數(shù)在生活中有很多應(yīng)用．說明本節(jié)課后，除了應(yīng)試的目的之外，學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的原因有了更深的理解．對(duì)于問題“通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)復(fù)數(shù)一章所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有哪些了解”，65.6%的學(xué)生能夠?qū)懗鰯?shù)集間的關(guān)系(典型答案如圖5(1))，25%的學(xué)生能夠?qū)懗鲚^全面的章節(jié)內(nèi)容(典型答案如圖5(2)),說明學(xué)生對(duì)于數(shù)集之間的關(guān)系以及復(fù)數(shù)這一章的學(xué)習(xí)有了一定的了解．

(1) (2)圖5 學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的了解

對(duì)于問題“在本節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想方法”，學(xué)生的回答有數(shù)形結(jié)合、分類討論、降次、抽象、理想建模等．說明學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的研究方法有了一定的了解．

對(duì)于問題“這節(jié)課你印象最深的是什么，為什么它會(huì)讓你印象深刻”，學(xué)生的回答主要有：

·數(shù)學(xué)史(24條).如以一種新奇的結(jié)合歷史的方法令人更明白這堂課的內(nèi)容，不枯燥、歷史情節(jié)復(fù)現(xiàn)，使數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)更加生動(dòng)、虛數(shù)是怎么被發(fā)現(xiàn)的，數(shù)學(xué)的進(jìn)步是人們不斷探索發(fā)現(xiàn)的．

·虛數(shù)(復(fù)數(shù))的幾何解釋(5條).如本來認(rèn)為虛數(shù)非常虛無(wú)縹緲，但當(dāng)它放入直角坐標(biāo)系中后，化無(wú)形為有形，對(duì)于虛數(shù)的理解有很大的幫助．

· 講課老師的個(gè)人魅力(2條).如老師美麗的雙眸以及犀利的解題思路．

· 數(shù)學(xué)方法(1條).降次的方法應(yīng)用廣泛．

另外，根據(jù)學(xué)生的課后作業(yè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在復(fù)數(shù)的代數(shù)形、數(shù)集的擴(kuò)充和各數(shù)集之間的關(guān)系、復(fù)數(shù)的類別判斷、復(fù)數(shù)相等概念、對(duì)i的認(rèn)識(shí)、復(fù)數(shù)的大小比較、復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部等知識(shí)點(diǎn)上的掌握較好，只是在一些符號(hào)和關(guān)系的表達(dá)上稍有錯(cuò)誤．

在課后感想中，學(xué)生分享了他們對(duì)于序言課的看法．典型回答如下：

· 作為復(fù)數(shù)的啟蒙課，它讓我更有邏輯地認(rèn)識(shí)了復(fù)數(shù)．復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史增強(qiáng)了我對(duì)復(fù)數(shù)的好奇心，提高了研究興趣，課堂氣氛活躍，消除了對(duì)數(shù)學(xué)中又一新知識(shí)學(xué)習(xí)的隱隱恐懼．同時(shí)，通過序言課循序漸進(jìn)地引入復(fù)數(shù)比直接從它的概念講起更加形象生動(dòng)，易于理解．

· 序言課理清了整個(gè)章節(jié)的框架，為接下來的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，讓我們的思路更清晰．

· 序言課讓我們先系統(tǒng)地了解整個(gè)單元的大致框架，包括整個(gè)復(fù)數(shù)單元所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，認(rèn)識(shí)了學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)中要用的數(shù)學(xué)思維方法，且序言課生動(dòng)有趣．由數(shù)學(xué)史引入，開拓了我的知識(shí)面，也使我對(duì)知識(shí)點(diǎn)的記憶更深刻．

· 從虛數(shù)的歷史開始學(xué)習(xí)，使我對(duì)復(fù)數(shù)的理解變得更容易，學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的歷史，增加了學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的趣味性和生動(dòng)性，增加了學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的興趣．

5 結(jié)語(yǔ)

序言課首先要解決的是“為何”的問題．對(duì)于復(fù)數(shù)的概念，教科書按照數(shù)系擴(kuò)充的邏輯順序，即無(wú)實(shí)根的一元二次方程的求根問題來引入.但早已接受“方程可以無(wú)解”這一事實(shí)的學(xué)生，面對(duì)“讓無(wú)實(shí)數(shù)根的方程有解”的新要求，內(nèi)心必然是缺乏動(dòng)機(jī)的．?dāng)?shù)學(xué)史告訴我們，復(fù)數(shù)產(chǎn)生的真正動(dòng)因不是解一元二次方程，而是解一元三次方程的需要．本節(jié)課再現(xiàn)了16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家邦貝利解三次方程所遇到的“矛盾”，由此揭示引入復(fù)數(shù)、擴(kuò)充數(shù)系的必要性，從而解決了“為何學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)”的問題．在教科書中，復(fù)數(shù)章節(jié)主要涉及復(fù)數(shù)的概念、幾何表征以及運(yùn)算等內(nèi)容．在課堂上，教師帶領(lǐng)學(xué)生重歷復(fù)數(shù)發(fā)展的過程，根據(jù)復(fù)數(shù)的歷史將復(fù)數(shù)的概念、表征、運(yùn)算、應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)一一串連起來，巧妙地解決了“何為復(fù)數(shù)”的問題．教師首先借助“邦貝利問題”引出虛數(shù)概念．其次，通過 “歐拉引入符號(hào)i”以及“阿甘德用幾何表示虛數(shù)”兩個(gè)歷史片段，呈現(xiàn)虛數(shù)的兩種表征方式，使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度認(rèn)識(shí)虛數(shù)i，解決“虛數(shù)不虛”．在此基礎(chǔ)上，教師利用歷史上“高斯對(duì)復(fù)平面的研究”，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建復(fù)數(shù)的幾何意義；利用“哈密爾頓對(duì)復(fù)數(shù)理論的完善”，介紹復(fù)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算以及廣泛應(yīng)用．

對(duì)于“如何”學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的問題，教師根據(jù)數(shù)學(xué)家研究復(fù)數(shù)的過程，總結(jié)出復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)包含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．從歷史上來看，雖然復(fù)數(shù)早已誕生，但直到復(fù)數(shù)幾何意義的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)家才真正理解復(fù)數(shù)，復(fù)平面的建立有助于復(fù)數(shù)理論的完善．另外，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算理論又豐富了其幾何意義的發(fā)展．由此可見，復(fù)數(shù)的代數(shù)表征與幾何表征相輔相成，數(shù)形結(jié)合對(duì)于研究復(fù)數(shù)是至關(guān)重要的．但在實(shí)際教學(xué)中，教師并未深入闡釋“數(shù)”與“形”對(duì)于復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的意義，這是本節(jié)課有待改進(jìn)的地方．