李文略

（嶺南師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037）

陳燊年等系統(tǒng)研究了介質(zhì)為各向異性（限于有且只有3個正交主軸方向的電介質(zhì)）的電磁場，由各向異性電介質(zhì)靜電場的基本方程出發(fā)，導(dǎo)出靜電勢所滿足的泊松方程，寫出泊松方程的δ函數(shù)形式，并引進分離變量法研究各向異性電介質(zhì)中有限域拉普拉斯方程的定解問題[1-2]。文獻[3-8]由泊松方程出發(fā)，應(yīng)用分離變量法、傅里葉變換法、格林函數(shù)法求解各向異性電介質(zhì)有界域或無界域的定解問題。本研究擬由泊松方程的δ函數(shù)形式出發(fā)，應(yīng)用聯(lián)合積分變換法求解點電荷在無限大導(dǎo)體平面上方的各向異性電介質(zhì)中激發(fā)的電勢分布，以期為數(shù)學(xué)方法在各向異性電介質(zhì)中無界域泊松方程定解問題研究中的應(yīng)用提供補充。

1 各向異性電介質(zhì)無界域泊松方程定解問題的確定

2 應(yīng)用聯(lián)合積分變換法求解無界域泊松方程的定解問題

泛定方程的等號右邊計算為

第二類邊界條件為

于是，式（2）寫為

由求得的電勢分布式（23）和（24）可知，電勢分布是以分段的形式寫出的，點電荷激發(fā)的電場線一部分會終止于導(dǎo)體的平面，另一部分會終止在x3→+∞的地方，電勢分布結(jié)果符合判斷預(yù)期。

3 結(jié)語

陳燊年等從各向異性電介質(zhì)中靜電場的3個基本方程出發(fā)，在引入靜電勢的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出各向異性電介質(zhì)泊松方程的δ函數(shù)形式，但未對δ函數(shù)形式表示的泊松方程的應(yīng)用作深入研究[1]。由本研究可知，各向異性電介質(zhì)泊松方程的δ函數(shù)形式在研究各向異性電介質(zhì)無界域泊松方程的定解問題時有很好的應(yīng)用。將各向異性電介質(zhì)主軸坐標系下泊松方程的定解問題式（1）通過變量代換轉(zhuǎn)化為電各向異性坐標系下泊松方程的定解問題式（2）是研究中常用的技巧方法[1]；當無界域范圍為( - ∞,+ ∞)和(0,+ ∞)或( - ∞,0)同時出現(xiàn)時，應(yīng)用聯(lián)合積分變換法能較好地求解該類無界域泊松方程的定解問題，由求得的結(jié)果式（23）、（24）亦可知，應(yīng)用聯(lián)合積分變化法求得的解往往是積分形式解，該解表示為傅里葉卷積或拉普拉斯卷積。