潘菲，朱宏玉

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100083）

隨著航天產(chǎn)業(yè)的蓬勃發(fā)展，對(duì)航天器功能需求不斷提高，航天器的飛行任務(wù)也愈加趨于復(fù)雜，編隊(duì)飛行、交會(huì)對(duì)接、不規(guī)則小行星繞飛等飛行任務(wù)，都對(duì)控制器的設(shè)計(jì)提出了挑戰(zhàn)。這些復(fù)雜的飛行任務(wù)中，通常都有著姿態(tài)和軌道運(yùn)動(dòng)的高度耦合，獨(dú)立地對(duì)兩者進(jìn)行控制較難獲得滿意的控制效果。面對(duì)復(fù)雜的控制任務(wù)，姿軌耦合的控制方式更全面地考慮了姿態(tài)與軌道之間的相互影響［1］，是一種更好的控制方法。

目前的姿軌耦合控制器通常是在姿軌耦合動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的。由于對(duì)偶四元數(shù)很好地繼承了四元數(shù)的特點(diǎn)，用對(duì)偶四元數(shù)描述的姿軌耦合動(dòng)力學(xué)形式十分簡(jiǎn)潔，且使用對(duì)偶四元數(shù)建模能很好地借鑒姿態(tài)控制的研究結(jié)果，故使用對(duì)偶四元數(shù)建立系統(tǒng)模型是目前主流的建模方法［2］。在姿軌耦合模型的基礎(chǔ)上可以應(yīng)用的控制方法多種多樣，如經(jīng)典的比例-微分（PD）控制器、滑?？刂破?、自動(dòng)調(diào)整系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的自適應(yīng)控制器、容錯(cuò)控制等。文獻(xiàn)［3］針對(duì)跟蹤問題設(shè)計(jì)了廣義PD控制律與線性滑?？刂坡?；文獻(xiàn)［4］基于浸入與不變流行理論設(shè)計(jì)了無速度反饋情況下的PD跟蹤控制；文獻(xiàn)［5］將PD控制器與自適應(yīng)算法相結(jié)合來開發(fā)控制器，提供對(duì)未知參數(shù)和干擾的估計(jì)等。上述文獻(xiàn)中設(shè)計(jì)的控制方法雖均能完成跟蹤控制任務(wù)，但都屬于漸進(jìn)收斂控制器，不能做到在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂。并且航天器在空間飛行過程中會(huì)受到外界干擾、模型不確定等諸多因素的影響，故要求其控制器具有較好的魯棒性，PD控制的魯棒性可能不能滿足要求。

滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)與控制對(duì)象的參數(shù)變化和系統(tǒng)外界干擾無關(guān)，其系統(tǒng)的魯棒性要比一般常規(guī)的連續(xù)系統(tǒng)強(qiáng)，因此滑?？刂破鞲m合于這種對(duì)魯棒性要求較高的系統(tǒng)。在滑?？刂品矫妫墨I(xiàn)［6-7］設(shè)計(jì)了一種新型終端滑模面，并將滑模控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合抑制了滑模抖振問題，但文中只對(duì)姿態(tài)進(jìn)行了控制，沒有考慮姿軌耦合的問題；文獻(xiàn)［8］針對(duì)姿軌耦合問題開發(fā)了終端滑?？刂破?、快速滑模控制器等；文獻(xiàn)［9-10］針對(duì)編隊(duì)飛行問題在終端滑?？刂坡傻幕A(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)容錯(cuò)控制方法，但均未考慮到終端滑?？刂破娈慄c(diǎn)的問題；文獻(xiàn)［11-12］針對(duì)航天器滑?？刂浦械亩墩駟栴}，設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)滑模控制器與高階滑?？刂破?，有效地抑制了抖振效果，但并未考慮有限時(shí)間控制方法，且該方法僅針對(duì)姿態(tài)進(jìn)行控制。

本文針對(duì)航天器的姿軌耦合控制問題，設(shè)計(jì)了一種新型的非奇異自適應(yīng)終端滑模控制器。首先，使用對(duì)偶四元數(shù)建立了具有質(zhì)量參數(shù)不確定性的姿軌耦合模型；其次，設(shè)計(jì)了一種非奇異的終端滑模面，并給出了滑?？刂坡桑摽刂坡赡軌虮苊饨K端滑模中奇異點(diǎn)的問題，并具有較高的控制精度和較快的收斂速度；再次，考慮系統(tǒng)中質(zhì)量參數(shù)的不確定性，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律來更新參數(shù)，進(jìn)一步改善了控制器的效果；最后，通過仿真驗(yàn)證了控制器的有效性。

1 問題描述

1.1 四元數(shù)與對(duì)偶四元數(shù)

定義四元數(shù)為q＝［q0qTv］T∈Q，其中q0∈R為標(biāo)量部分，qv＝［q1q2q3］T∈R3代表矢量部分。特別地，三維向量可以看作標(biāo)量部分為0的四元數(shù)。將四元數(shù)的共軛定義為 q*＝［q0-qTv］T；四元數(shù)q與p＝［p0pTv］T∈Q的乘法法則定義為

式中：a×定義為三維列向量a生成的叉乘矩陣。

定義對(duì)偶數(shù)為［13］

1.2 航天器姿軌耦合模型

航天器本體坐標(biāo)系FB（OBXBYBZB）與航天器固連，原點(diǎn)OB位于航天器質(zhì)心，XB、YB和ZB三軸與航天器的慣量主軸基本重合。航天器的目標(biāo)坐標(biāo)系FD（ODXDYDZD）為航天器期望到達(dá)的坐標(biāo)系。定義慣性坐標(biāo)系為FI（OIXIYIZI），當(dāng)航天器姿態(tài)為零時(shí)，慣性坐標(biāo)系的三軸方向與本體系重合。

采用對(duì)偶四元數(shù)描述的航天器六自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

2 終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

3 自適應(yīng)算法的設(shè)計(jì)

4 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

由于小行星體積小、質(zhì)量小且形狀不規(guī)則，其附近引力場(chǎng)微弱，引力場(chǎng)不均勻。在這樣的力學(xué)環(huán)境中，航天器姿態(tài)與軌道耦合程度高，進(jìn)行姿軌耦合控制很有必要。因此，本節(jié)以航天器繞飛小行星跟蹤控制為背景，對(duì)本文提出的控制器進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證。

假設(shè)小行星的引力常數(shù)為μA＝5.58×10-8km3／s2，其二階引力系數(shù)為C20＝-3.05×10-3km2，C22＝6.64×10-4km2。仿真的控制目標(biāo)為：航天器從極軸上空按照規(guī)劃的軌跡機(jī)動(dòng)到赤道上空，且在動(dòng)過程中-ZB一直指向小行星質(zhì)心，在航天器達(dá)到赤道上空后，航天器相對(duì)于慣性坐標(biāo)系保持不變。更具體的軌跡規(guī)劃方式參考文獻(xiàn)［16］。

4.1 終端滑?？刂扑惴ǖ姆抡?/h3>

首先不處理航天質(zhì)量特性的不確定性，對(duì)終端滑模控制算法進(jìn)行仿真。

控制器參數(shù)選為α1＝0.05，α2＝0.001，p＝3，q＝5，μ＝5×10-5，a＝0.001，b＝0.05，并假設(shè)控制器輸出的控制力能被執(zhí)行機(jī)構(gòu)精確地、連續(xù)地執(zhí)行。為了對(duì)比控制器的優(yōu)勢(shì)，設(shè)置了經(jīng)典終端滑模面作為對(duì)照組［17］。其滑模面與控制器表示為

其控 制 器 參 數(shù) 選 為 α ＝-0.000 8，β＝-0.95，k＝0.33。

對(duì)2種控制器進(jìn)行仿真可以得到如下結(jié)果。圖1與圖2為使用上述2種控制器進(jìn)行跟蹤控制所得到的位姿跟蹤誤差曲線。仿真結(jié)果表明，本文控制算法可以使姿態(tài)四元數(shù)在120 s內(nèi)收斂至10-3量級(jí)，位置誤差在90 s內(nèi)收斂到10-2m量級(jí)。對(duì)比圖1與圖2發(fā)現(xiàn)，雖然經(jīng)典終端滑模能使位置誤差更快地收斂，但總體來說時(shí)間相差無幾。

圖1 終端滑?？刂莆蛔烁櫿`差Fig.1 Orbit and attitude tracking error of terminal slidingmode control

圖2 對(duì)照組位姿跟蹤誤差Fig.2 Orbit and attitude tracking error in comparison group

圖3 終端滑?？刂扑俣扰c角速度跟蹤誤差Fig.3 Velocity and angular velocity tracking error of terminal slidingmode control

圖4 對(duì)照組速度與角速度跟蹤誤差Fig.4 Velocity and angular velocity tracking error in comparison group

圖3與圖4為上述2種控制器控制得到的角速度與線速度的跟蹤誤差模值。觀察圖3可以看出，仿真開始時(shí)有一定的跟蹤誤差，隨著仿真的進(jìn)行，姿態(tài)角速度誤差能夠在300 s內(nèi)收斂到10-5rad／s，線速度誤差也能收斂到10-3m／s量級(jí)。對(duì)比圖4可以發(fā)現(xiàn)，本文所設(shè)計(jì)的控制算法達(dá)到的控制精度更高，且發(fā)生大幅度抖振的區(qū)間較少。

圖5與圖6為使用上述2種控制器完成跟蹤任務(wù)產(chǎn)生的控制力與力矩的曲線，兩者都能做到快速收斂。對(duì)比兩者發(fā)現(xiàn)，本文中設(shè)計(jì)的控制器產(chǎn)生的控制力較小，超調(diào)量降低了50%左右，且對(duì)比控制力曲線可以發(fā)現(xiàn)，滑模的抖振從10-3量級(jí)降到10-5量級(jí)，說明本文設(shè)計(jì)的終端滑?？刂破饕种苹６墩衲芰?qiáng)。

4.2 自適應(yīng)終端滑?？刂扑惴ǖ姆抡?/h3>

通過4.1節(jié)對(duì)終端滑?？刂扑惴ǖ姆抡娼Y(jié)果進(jìn)行分析不難發(fā)現(xiàn)，控制器雖然能很快地將系統(tǒng)狀態(tài)收斂到期望狀態(tài)，且控制力數(shù)值較小，但是控制過程中，控制力與力矩會(huì)出現(xiàn)小幅抖動(dòng)。

圖5 終端滑?？刂瓶刂屏εc力矩Fig.5 Control force and torque of terminal slidingmode

圖6 對(duì)照組控制力與力矩Fig.6 Control force and control torque in comparison group

采用與4.1節(jié)相同的仿真條件，使用自適應(yīng)終端滑模控制器進(jìn)行跟蹤控制，自適應(yīng)算法的參數(shù)設(shè)定為γ＝215 0，其仿真結(jié)果如圖7～圖9所示。

與4.1節(jié)不添加自適應(yīng)控制律的終端滑?？刂扑惴ǖ姆抡娼Y(jié)果相比，二者的收斂速度并沒有明顯的差別，但對(duì)比圖3與圖8可以發(fā)現(xiàn)角速度與線速度的跟蹤誤差的抖動(dòng)有了很大的抑制，另外，對(duì)比圖5與圖9可以發(fā)現(xiàn)，添加了自適應(yīng)算法的控制器，消除了控制過程中的尖峰，使控制更加平滑。綜上，自適應(yīng)控制律的加入有效地提高了控制器的效果。

圖7 自適應(yīng)終端滑?？刂莆蛔烁櫿`差Fig.7 Orbit and attitude tracking error of adaptive terminal slidingmode control

圖8 自適應(yīng)終端滑?？刂扑俣扰c角速度跟蹤誤差Fig.8 Velocity and angular velocity tracking error of adaptive term inal sliding mode control

圖9 自適應(yīng)終端滑?？刂瓶刂屏εc力矩Fig.9 control force and torque of adaptive terminal sliding mode control

5 結(jié) 論

1）以對(duì)偶四元數(shù)為工具建立了航天器姿軌耦合模型，考慮到模型質(zhì)量特性的不確定性，設(shè)計(jì)了一種非奇異的自適應(yīng)終端滑?？刂扑惴▽?duì)航天器進(jìn)行姿軌聯(lián)合控制，并通過李雅普諾夫第二方法證明了該控制器的穩(wěn)定性。

2）以微小衛(wèi)星繞飛小行星的跟蹤控制作為仿真背景驗(yàn)證算法的有效性，相較于傳統(tǒng)形式的終端滑模算法，本文中設(shè)計(jì)的控制律有如下優(yōu)勢(shì)：能夠解決終端滑模奇異點(diǎn)的問題，削弱質(zhì)量參數(shù)的不確定性對(duì)系統(tǒng)控制的影響，產(chǎn)生的控制力較小，超調(diào)量較小，控制力平滑，能較好地抑制滑模控制的抖振特性。