淺析導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用

摘 要：本節(jié)探討一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)的語言精確地研究函數(shù)的相對變化率問題，進一步地分析導(dǎo)數(shù)在不同專業(yè)和背景問題下的實際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：變化率; 瞬時速度; 切線斜率

中圖分類號：0172 ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1006-3315（2020）8-125-001

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)新生普遍會開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，其對學(xué)生其他數(shù)學(xué)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)起著重要的基礎(chǔ)作用。然而，較強的邏輯推導(dǎo)和繁雜的公式讓許多學(xué)生望而生畏。如何在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中將理論知識與實際應(yīng)用緊密結(jié)合起來[1]，這在高等數(shù)學(xué)課程的教與學(xué)中是一個值得探討的問題。

在高等數(shù)學(xué)第一章中，我們介紹了函數(shù)連續(xù)的概念以及性質(zhì)[2]。函數(shù)的連續(xù)性體現(xiàn)在某一點處對函數(shù)絕對改變量的分析。但是在很多理論和實際問題中，例如如何求解變速運動的瞬時速度等問題中僅僅知道絕對改變量的分析是不夠的，如何研究相對改變量呢？這就是本節(jié)探討的問題。

一、變速直線運動中的瞬時速度

講解著名物理學(xué)家牛頓的故事。結(jié)合引例的分析引導(dǎo)學(xué)生思考如何從求平均速度到求質(zhì)點在某一點的瞬時速度。思考如何利用極限的思想，從計算平均速度的公式出發(fā)，通過求極限來推導(dǎo)出瞬時速度。

引例1：設(shè)某質(zhì)點沿直線作變速運動，在時刻t的位置s=f（t）。如何描述質(zhì)點在變速直線運動中的瞬時速度？

分析：引導(dǎo)學(xué)生思考在已知（t0，t0+△t）內(nèi)的平均速度后，如何求在t0的瞬時速度。即瞬時速度是平均速度的極限形式：

v=[lim△t→0][f（t+△t）-f（t）△t]=[limt→t0][f（t）-f（t0）t-t0]

二、切線的斜率

講解著名數(shù)學(xué)家萊布尼茲的故事，了解牛頓與萊布尼茲如何殊途同歸，分別從物理和幾何兩個方面給出了導(dǎo)數(shù)的基本定義。讓學(xué)生體會“以直代曲”這種將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成我們已知的簡單問題的一種基本方法。

引例2：設(shè)光滑曲線C：y=f（x），M（x0，y0）是曲線C上的一點，如何定義C在M的切線？

分析：

*割線MN的斜率

*切線MT的斜率

k=tai

三、導(dǎo)數(shù)的定義

在前面分別從物理中的瞬時速度和幾何中切線斜率兩個方面計算導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，給出導(dǎo)數(shù)的基本定義。

定義1：設(shè)函數(shù)y=f（x）在U（x0）內(nèi)有定義，若[lim△x→0][△y△x]=[limx→x0][f（x）-f（x0）x-x0]存在，則稱函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，此極限為y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)，記[dydx]x=x0或f（x0）。

在這一過程中要求引導(dǎo)同學(xué)們理解變速直線運動的瞬時速度以及切線的斜率這兩個導(dǎo)數(shù)的具體例子，將極限、“以直代曲”等基本思想貫穿始終[3]。

四、導(dǎo)數(shù)的計算

引入了導(dǎo)數(shù)的概念后，如何計算導(dǎo)數(shù)就成一個教學(xué)的難點問題。主要分為三個步驟：第一步是計算函數(shù)的增量，注意增量可正可負。函數(shù)值的增量為：△y=f（x+△x）-f（x）;接下來求解函數(shù)的增量比：[△y△x][=f（x+△x）-f（x）△x];最后通過極限的計算求解函數(shù)的瞬時變化率：f'（x）=[lim△x→0][△y△x]=[lim△x→0][f（x+△x）-f（x）△x]。

通過具體例子讓學(xué)生熟練掌握用導(dǎo)數(shù)的定義來計算導(dǎo)數(shù)的基本方法。

例1 求函數(shù)y=ex在x=0處的導(dǎo)數(shù)。

解：首先求解函數(shù)的增量△y=f（0+△x）-f（0）=e0+△x-e0，然后計算函數(shù)的增量比值：[△y△x]=[e△x-1△x]，最后求解增量比值的極限：

[y']x=0=[lim△x→0][△y△x]=[lim△x→0][e△x-1△x]=1。

本節(jié)段采用特殊到一般的方式展開對難點的分析，學(xué)會判斷函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)是否存在，接下來才能使用求導(dǎo)的一些公式來進行求解。特別強調(diào)如果直接用求導(dǎo)公式，實際上是已經(jīng)假定了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是存在的，這就會犯本末倒置的錯誤。

五、總結(jié)與拓展

本節(jié)探討了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生理解在理論和實際中有著廣泛應(yīng)用的導(dǎo)數(shù)的概念。結(jié)合實例啟發(fā)學(xué)生深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念：從變速直線運動的速度以及切線的斜率兩個方面歸納出導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合幾何知識讓學(xué)生體會微積分中經(jīng)常用到的“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想。通過科學(xué)家的人物介紹培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)中注入人文思想[4]。

參考文獻：

[1]左玲.淺談人工智能時代的工科數(shù)學(xué)教育，考試周刊，1673-8918，2018

[2]高等數(shù)學(xué)，第七版上冊，同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，2018

[3]Joel Hass，Christopher Heil，Calculus，Pearson，2003

[4]Richard Courant，F(xiàn)ritz Jo，Introduction to Calculus and Analysis，Springer，2008