黃國富,張喬宇

(1.中船重工節(jié)能技術(shù)發(fā)展有限公司,上海 200001；2.中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫 214082)

采用近似模型對優(yōu)化問題進(jìn)行求解是解決CFD計(jì)算優(yōu)化時(shí)間長 、計(jì)算資源高的一種有效途徑[1-2]。國內(nèi)外學(xué)者已開展了該方法對于水動(dòng)力性能優(yōu)化的相關(guān)研究[3-5]，但大多是基于大量的船型樣本點(diǎn)對近似模型進(jìn)行構(gòu)建，雖然可以保證近似模型的預(yù)報(bào)精度，但樣本集的構(gòu)建時(shí)間較長，減弱了近似模型進(jìn)行船型優(yōu)化的優(yōu)越性[6]。因此，本文提出了一種基于敏感度分析的拉丁超立方的船型小樣本選取方式，與以往常用的拉丁超立方、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)選取的船型小樣本集分別構(gòu)建響應(yīng)面近似模型，對模型的預(yù)報(bào)精度和優(yōu)化效果進(jìn)行考察。本文船型樣本集的構(gòu)建以Wigley船型在設(shè)計(jì)航速下的興波阻力系數(shù)作為預(yù)報(bào)目標(biāo)，取自由變形法的船體線型變換參數(shù)為近似模型的設(shè)計(jì)變量。

1 基于敏感度分析的拉丁超立方設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科中研究如何在減少隨機(jī)誤差、保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)科學(xué)性的前提下，根據(jù)實(shí)際需要收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)從而可以有效降低計(jì)算資源、時(shí)間成本的方法。目前在船型優(yōu)化中應(yīng)用廣泛的樣本點(diǎn)選取方式主要為正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、拉丁超立方設(shè)計(jì)等。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本思想是根據(jù)試驗(yàn)變量對目標(biāo)的敏感重要性確定出變量水平，利用正交表挑選出均勻分散、整齊可比的試驗(yàn)點(diǎn)，但樣本點(diǎn)數(shù)量受設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)和水平數(shù)的限制，三者需滿足特定的數(shù)學(xué)關(guān)系[7]；拉丁超立方設(shè)計(jì)的本質(zhì)是根據(jù)設(shè)定的樣本數(shù)，對所有變量進(jìn)行等概率分層抽樣，從而確保所有變量在其任意分層區(qū)間內(nèi)都有一個(gè)值與之相對應(yīng)[8]，然而單純采用拉丁超立方選取小數(shù)量船型樣本時(shí)，樣本分布會(huì)較為分散，設(shè)計(jì)方案代表性較差，導(dǎo)致所建近似模型精確度較低。本文采用一種基于敏感度分析的拉丁超立方設(shè)計(jì)方法，結(jié)合具體問題進(jìn)行設(shè)計(jì)變量分析，根據(jù)變量的敏感度高低進(jìn)行不同水平的分層拉丁超立方抽樣，可在選取小數(shù)目船型樣本集的同時(shí)，一定程度上保證樣本點(diǎn)的均布性及代表性。

1.1 敏感度分析

設(shè)x1,x2,…,xn為設(shè)計(jì)變量，ximin與ximax(i=1,2,…,n)分別為對應(yīng)變量的上下限，則變量xi的敏感度系數(shù)計(jì)算公式為

(1)

1.2 拉丁超立方設(shè)計(jì)

在進(jìn)行變量敏感度分析后，根據(jù)具體實(shí)際問題，確定出高低敏感度變量(m維)的水平數(shù)(P)和樣本數(shù)目K(P≤K)。對于其余的n-m維變量，根據(jù)各自的變化范圍等分為K個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間進(jìn)行等概率抽樣，抽樣概率為1/K。為確定出各區(qū)間內(nèi)樣本點(diǎn)的具體位置，在[0,1]內(nèi)產(chǎn)生K個(gè)隨機(jī)數(shù)Ui(i=1,2,…,K)，與第k個(gè)區(qū)間對應(yīng)的隨機(jī)數(shù)Uk為

(2)

將所產(chǎn)生的P個(gè)m維變量、K個(gè)n-m維變量進(jìn)行不重復(fù)的隨機(jī)組合，可得最終的K個(gè)樣本點(diǎn)。

2 近似模型設(shè)計(jì)

2.1 母型船興波阻力數(shù)值計(jì)算

Wigley船型的定義公式為

(3)

(-L/2≤x≤L/2,-H≤z≤0)

式中：x正向表示船體前進(jìn)方向;z正向表示垂直向上;L為船長;B為船寬;H為吃水,B/L=0.1,H/L=0.062 5，船型方形系數(shù)為Cb=0.44，設(shè)計(jì)航速狀態(tài)下Fr=0.316。在基于Rankine源基礎(chǔ)上的SHIPFLOW軟件Xpan模塊下進(jìn)行設(shè)計(jì)航速下的興波阻力計(jì)算[9]，船體面元網(wǎng)格和自由面網(wǎng)格的劃分情況見圖1～2，不同航速下興波阻力系數(shù)的計(jì)算值和試驗(yàn)值的對比情況見圖3。在Fr為0.31～0.4之間，計(jì)算所得興波阻力系數(shù)與試驗(yàn)值的誤差較小，且變化趨勢基本一致，可為后續(xù)建立近似模型訓(xùn)練樣本，開展興波阻力優(yōu)化工作提供保證。

圖1 船體面元網(wǎng)格

圖2 自由面網(wǎng)格

圖3 興波阻力系數(shù)計(jì)算值與試驗(yàn)值對比

2.2 船型參數(shù)空間建立

采用自由變形法(free form deformation，F(xiàn)FD)對船體曲面參數(shù)化。FFD方法是一種靈活的三維幾何變形方法，該方法將變形區(qū)域線性嵌入到長方體格子中，通過控制格子頂點(diǎn)使船體部分發(fā)生形變[10]。選取8組設(shè)計(jì)變量對船體艏艉部分進(jìn)行線型變化，幾何重構(gòu)示意圖見圖4，設(shè)計(jì)變量變化范圍見表1。

圖4 船體幾何重構(gòu)示意

表1 設(shè)計(jì)變量變化范圍

2.3 響應(yīng)面模型精度對比

分別采用拉丁超立方設(shè)計(jì)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和基于敏感度分析的拉丁超立方設(shè)計(jì)方法選取船型小樣本集，采用舍去交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式響應(yīng)面進(jìn)行近似建模。為了驗(yàn)證響應(yīng)面模型的準(zhǔn)確性，分別計(jì)算樣本點(diǎn)擬合預(yù)測的平均絕對誤差(MAPE)和置信區(qū)間，其定義分別為

(4)

(5)

圖5 設(shè)計(jì)變量敏感度分布

表2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣

表3 拉丁超立方抽樣

表4 基于敏感度分析的拉丁超立方抽樣

根據(jù)訓(xùn)練樣本構(gòu)建多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，各分項(xiàng)系數(shù)見表5～7，擬合預(yù)測的平均絕對誤差和置信區(qū)間見表8～9。為了進(jìn)一步驗(yàn)證近似模型的精度，另外隨機(jī)選取100個(gè)測試樣本，分別采用CFD計(jì)算及響應(yīng)面模型對興波阻力系數(shù)進(jìn)行求解，結(jié)果見表10～11。

表5 拉丁超立方構(gòu)建的響應(yīng)面

表8 響應(yīng)面預(yù)測平均絕對誤差

表9 響應(yīng)面預(yù)測置信區(qū)間

表10 測試樣本預(yù)測平均絕對誤差

表11 測試樣本預(yù)測置信區(qū)間

上述結(jié)果表明，采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取的樣本雖然保證了均布性，但在樣本數(shù)量較少時(shí)設(shè)計(jì)變量選取水平有限，所構(gòu)建的近似模型精度較低；拉丁超立方設(shè)計(jì)方案的樣本均布性與變量水平相比正交設(shè)計(jì)均得到了明顯提升，但樣本點(diǎn)的選取隨機(jī)性較大，沒有對敏感度高的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行重點(diǎn)考察，所構(gòu)建的近似模型雖然對訓(xùn)練樣本預(yù)測精度較高，但對于測試樣本的預(yù)報(bào)誤差較大，隨著訓(xùn)練樣本數(shù)目的增多，其預(yù)報(bào)精度有所提升；而基于敏感度分析的拉丁超立方設(shè)計(jì)的小樣本，根據(jù)變量敏感度高低進(jìn)行分層采樣，既保證了樣本選取的均布性，又使得樣本方案具有代表性，所構(gòu)建的近似模型對于訓(xùn)練和測試樣本均表現(xiàn)出較好的預(yù)測效果。

3 設(shè)計(jì)航速下的船型優(yōu)化

在設(shè)計(jì)航速下分別采用CFD方法與響應(yīng)面模型對Wigley艏艉線型進(jìn)行優(yōu)化，響應(yīng)面模型采用基于敏感度分析的拉丁超立方抽取的18組樣本進(jìn)行構(gòu)建。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型為

Cw=minf(Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,Y7,Y8)

(6)

為滿足船舶浮態(tài)要求，除設(shè)計(jì)變量滿足表1要求外，排水量、濕表面積和浮心縱向位置均不超過原型的1%，優(yōu)化算法采用單目標(biāo)遺傳算法。在CFD方法的優(yōu)化過程中，種群數(shù)量設(shè)置為20，終止代數(shù)為50，交叉變異概率分別為0.8和0.06,在經(jīng)歷了20 h的優(yōu)化時(shí)間后，得到最優(yōu)解船型Ⅰ。同時(shí)采用響應(yīng)面方法，優(yōu)化設(shè)置不變，經(jīng)歷了0.25 h優(yōu)化時(shí)間后得到優(yōu)化船型Ⅱ，優(yōu)化迭代過程見圖6～7，優(yōu)化船Ⅰ、Ⅱ的結(jié)果對比見表12。由此可知，響應(yīng)面的優(yōu)化結(jié)果經(jīng)CFD計(jì)算驗(yàn)證，興波阻力系數(shù)誤差僅有1.3%，精度滿足工程要求。圖8～9展示了優(yōu)化船Ⅱ與母型船的波切面圖和興波波形圖，可以看出優(yōu)化后船體周圍波形數(shù)減少，波形切片幅值降低，近似模型方法僅需通過CFD計(jì)算18組訓(xùn)練樣本的興波阻力，減少了約96%的計(jì)算成本，較單純采用CFD技術(shù)直接優(yōu)化，優(yōu)化效率和質(zhì)量均得到明顯提高。

圖6 CFD方法優(yōu)化過程

圖7 響應(yīng)面模型優(yōu)化過程

表12 CFD技術(shù)與近似模型優(yōu)化結(jié)果對比

圖8 波切面對比

圖9 波形對比

4 結(jié)論

在選取船型小樣本時(shí)，根據(jù)實(shí)際問題對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行不同程度的分層均布抽樣，可以構(gòu)建出精確度較高的近似模型。除文獻(xiàn)中采用近似模型進(jìn)行船型優(yōu)化的類似工作外，本文還著重探究了如何在選取船型小樣本條件下構(gòu)造出高精度近似模型，并取得了較好的應(yīng)用效果，明顯提升了優(yōu)化效率和質(zhì)量，可為結(jié)合近似模型的船型優(yōu)化工作提供參考。采用近似模型進(jìn)行船型優(yōu)化還有許多問題值得進(jìn)一步研究，如響應(yīng)面近似模型對于不同船型變換方式的適應(yīng)性、高精度近似模型的形式選取等。