于明星，楊 麗，舒丹丹，許 鐘

(1.朝陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校 信息工程系，遼寧 朝陽(yáng) 122000；2.沈陽(yáng)理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110159；3.中國(guó)三峽新能源(集團(tuán))股份有限公司 三峽新能源朝陽(yáng)發(fā)電有限公司，遼寧 朝陽(yáng) 122000)

PID(Proportional Integral Derivative)控制是發(fā)展較早的工業(yè)控制策略，在工程上得到廣泛應(yīng)用[1-2]。傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)主要通過(guò)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)整定，顯然該方法具有較高的主觀性，難以取得最優(yōu)控制。近些年，智能算法在PID控制上的應(yīng)用引起諸多學(xué)者關(guān)注，如模糊控制[3-4]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[5]、遺傳控制[6]等。智能算法發(fā)展取得了理想的控制效果[7]，但算法存在著復(fù)雜編碼及計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的不足。

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)是一種快速、有效、簡(jiǎn)潔的智能優(yōu)化算法[8]。Reynolds于1987年提出一種模擬鳥(niǎo)類(lèi)飛行運(yùn)動(dòng)的粒子群模型[9]，該模型個(gè)體行為與相鄰個(gè)體行為具有相關(guān)性，每只鳥(niǎo)向各個(gè)方向飛行，個(gè)體自發(fā)形成小群落，小群落再組成大群落，最終所有鳥(niǎo)具有相同的飛行狀態(tài)。Kennedy在鳥(niǎo)群模型基礎(chǔ)上，提出粒子群優(yōu)化智能算法[10]，給出加速因子的最優(yōu)設(shè)置參數(shù)。Ozcan等 發(fā)現(xiàn)PSO能實(shí)現(xiàn)參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整[11]，獲得運(yùn)動(dòng)粒子軌跡的多維空間運(yùn)動(dòng)方程。Clerc等在 Ozcan的基礎(chǔ)上，對(duì)原有PSO算法進(jìn)行改進(jìn)，增加了粒子的尋優(yōu)能力[12]。Solis等人對(duì)隨機(jī)優(yōu)化算法的滿(mǎn)足條件進(jìn)行說(shuō)明[13]。Van den Bergh對(duì)PSO算法參數(shù)值與收斂性[14]的關(guān)系進(jìn)行了研究。

通過(guò)以上分析，發(fā)現(xiàn)PSO算法在PID控制理論研究主要集中在收斂速度、收斂程度、收斂條件上，對(duì)于相關(guān)因素對(duì)整定后的參數(shù)影響分析較少涉及。本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，給出PSO算法的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)Simulink實(shí)現(xiàn)交互計(jì)算，分析了權(quán)重系數(shù)、加速因子、速度限幅對(duì)參數(shù)整定的影響，通過(guò)三元平衡圖分析了各參數(shù)整定與系統(tǒng)性能的關(guān)系。

1 粒子群算法數(shù)學(xué)模型

1.1 基本原理

設(shè)f(X)為目標(biāo)函數(shù)，搜索空間維度為n，粒子數(shù)i的最優(yōu)位置運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中：t為粒子的進(jìn)化代數(shù)；Xi為粒子在n維搜索空間中的瞬時(shí)位置向量矩陣；pbesti為粒子經(jīng)歷過(guò)的個(gè)體最優(yōu)位置。

設(shè)總粒子數(shù)為N，則粒子全局最優(yōu)位置

gbest(t)=min{f(pbest1(t)),f(pbest2(t)),…,f(pbestN(t))}

(2)

速度瞬態(tài)變化方程

vij(t+1)=vij(t)+c1r1(pbestij(t)-xiji(t))+c2r2(pbestij(t)-xiji(t))=vij(t)+Partcog+Partsoc

(3)

式中：j為粒子所在維度；vij(t)為粒子運(yùn)行速度分量，也稱(chēng)粒子先進(jìn)速度；xij(t)為粒子位置分量；c1、c2為加速因子，c1調(diào)節(jié)粒子個(gè)體最優(yōu)的飛行步長(zhǎng)，c2調(diào)節(jié)粒子全局最優(yōu)的飛行步長(zhǎng)；r1、r2為隨機(jī)數(shù)，數(shù)值范圍取[0,1]；Partcog表示粒子認(rèn)知能力部分；Partsoc表示粒子社會(huì)信息共享及相互作用部分。

位置瞬態(tài)變化方程為

xij(t+1)=vij(t)+vij(t+1)

(4)

全局最優(yōu)位置點(diǎn)吸引全部粒子個(gè)體向全局最優(yōu)位置運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，群體個(gè)體最優(yōu)保持多區(qū)域探索，擺脫算法陷入局部最優(yōu)。

1.2 模型分析

若式(3)中的c2=0時(shí)，速度瞬態(tài)變化方程就簡(jiǎn)化為

vij(t+1)=vij(t)+Partsoc

(5)

式(4)和式(5)構(gòu)成粒子群認(rèn)知模型，在該模型中粒子依據(jù)個(gè)體飛行能力及認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行最優(yōu)位置的搜尋，缺乏粒子間的相互信息交流而導(dǎo)致搜索能力較低。

若式(3)中的c1=0時(shí)，速度瞬態(tài)變化方程就簡(jiǎn)化為

vij(t+1)=vij(t)+Partcog

(6)

式(4)和式(6)構(gòu)成粒子群社會(huì)模型，在該模型中粒子利用粒子群間相互作用搜索，收斂速度快，但缺乏粒子個(gè)體的認(rèn)識(shí)能力而導(dǎo)致進(jìn)入局部最優(yōu)。

若式(3)中的c1≠0和c2≠0，式(3)、式(4)就構(gòu)成了完全模型，則PSO中的粒子既有自身認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)及群體的社會(huì)交流經(jīng)驗(yàn)，具有更好的尋優(yōu)能力。尋優(yōu)過(guò)程要求粒子本身具有記憶功能，考慮以前速度的影響，否則粒子會(huì)做效率較低的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。

1.3 參數(shù)分析

為適應(yīng)算法進(jìn)化要求，引入慣性權(quán)重系數(shù)ω，ω的引入可以自適應(yīng)權(quán)衡全局搜索及局部搜索，式(3)為

vij(t+1)=ωvij(t)+Partcog+Partsoc

(7)

權(quán)重系數(shù)對(duì)照功能[15]如表1所示。

表1 權(quán)重系數(shù)功能表

加速因子調(diào)節(jié)式(7)中Partcog和Partsoc在粒子飛行速度的比重。合理選擇加速因子能夠快速、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解。加速因子和迭代次數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)最優(yōu)解具有較大的影響，也是本文著重分析的影響因素。

2 參數(shù)整定理論基礎(chǔ)

2.1 模型分析

PID控制器[16]具有比例、積分、微分基本控制規(guī)律的特點(diǎn)，其輸入—輸出方程為

(8)

式中：u(t)為輸出信號(hào)；e(t)為誤差信號(hào)；KP為比例調(diào)整系數(shù)；KI為積分調(diào)整系數(shù)；KD為微分調(diào)整系數(shù)。

若將粒子群算法應(yīng)用于PID控制器，需將粒子和適應(yīng)值分別與控制器參數(shù)(KP、KI、KD)和性能指標(biāo)相對(duì)應(yīng)。

2.2 優(yōu)化準(zhǔn)則

常用的誤差準(zhǔn)則有ISE、IAE、ITAE、ISTE。本文選用目前最優(yōu)控制理論中應(yīng)用較廣的一種誤差準(zhǔn)則時(shí)間與絕對(duì)誤差積分乘積準(zhǔn)則(integrated time and absolute error,ITAE),其定義形式為

(9)

2.3 被控對(duì)象

選定相角裕度為負(fù)的不穩(wěn)定待整定控制系統(tǒng)[16]，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

(10)

式中：s為復(fù)域內(nèi)的復(fù)變因子。

2.4 算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程

Simulink模型如圖1所示，選用的結(jié)構(gòu)器件如表2所示

圖1 PID控制系統(tǒng)模型

表2 Simulink器件使用

PSO優(yōu)化PID參數(shù)過(guò)程如圖2所示，該過(guò)程通過(guò)編寫(xiě)m文件程序?qū)?shí)時(shí)仿真工具Simulink與PSO進(jìn)行交互尋優(yōu)。PSO產(chǎn)生的粒子依次賦值給控制器參數(shù)，實(shí)時(shí)運(yùn)行的Simulink計(jì)算出對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)[17]，該性能指標(biāo)傳遞給PSO與粒子適應(yīng)值比對(duì)，判斷算法是否滿(mǎn)足終止條件，從而得出最優(yōu)解。

圖2 PSO優(yōu)化過(guò)程

3 仿真結(jié)果分析

由于算法的計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，本文在收斂速度較快的范圍內(nèi)均勻取值，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同權(quán)重系數(shù)下的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)

由圖3可以看出，權(quán)重系數(shù)ω影響全局搜索能力，隨著系數(shù)的變大，終止的性能指標(biāo)要求變高，超調(diào)量降低，響應(yīng)時(shí)間變快。性能參數(shù)對(duì)比如表3所示。

表3 不同ω的性能計(jì)算參數(shù)

文獻(xiàn)[14]提到，當(dāng)c1=c2=2時(shí)，加速因子協(xié)調(diào)一致設(shè)置，能準(zhǔn)確尋找到最優(yōu)解。文獻(xiàn)[18]通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：加速因子c1從2.5線(xiàn)性減少至0.5，加速因子c2從0.5線(xiàn)性增加2.5，能獲得最優(yōu)解。本文綜合以上學(xué)者成果，采用如下六種方案對(duì)加速因子進(jìn)行分析，計(jì)算結(jié)果如表4所示，響應(yīng)曲線(xiàn)如圖4所示。

表4 不同加速因子的PID計(jì)算結(jié)果

圖4 加速因子三維水流響應(yīng)特征

從圖4可以看出，方案6的加速因子較大，粒子群錯(cuò)過(guò)最優(yōu)解，致使系統(tǒng)發(fā)散，算法不收斂。方案5的超調(diào)量最小，性能最佳，方案1和方案4的調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，方案2和方案3性能參數(shù)適中。

文獻(xiàn)[19]提出通過(guò)限制粒子最大飛行速度的方式調(diào)整搜索步幅。在此基礎(chǔ)上，本文以表5的5種限定策略進(jìn)行分析。

表5 最大限幅整定方案設(shè)計(jì)

圖5為不同限幅值下的三維水流響應(yīng)特征。

從圖5中可知，策略1的粒子速度太小，陷入局部最優(yōu)，響應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)；策略2的粒子飛行步幅限制適當(dāng)，性能較好；策略3的飛行步幅稍大，超調(diào)量高。策略4的粒子速度更大，調(diào)節(jié)時(shí)間稍長(zhǎng)；策略5的粒子速度過(guò)大，粒子飛出最優(yōu)區(qū)域，使得系統(tǒng)發(fā)散。

圖5 限幅三維水流響應(yīng)特征

圖6為所有計(jì)算值的三元參數(shù)平衡。

圖6 三元參數(shù)整定平衡

從圖6中發(fā)現(xiàn)，越靠近三元圖的右下角，系統(tǒng)的控制精度越高，KP對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差影響較大。越靠近頂角，系統(tǒng)越不穩(wěn)定，響應(yīng)曲線(xiàn)呈發(fā)散狀，KI對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較大。然而，沒(méi)有離左下角近的點(diǎn)，這是因?yàn)镵D越大，系統(tǒng)的魯棒性越差的原因。也能說(shuō)明KD在適當(dāng)范圍內(nèi)變化，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)過(guò)程沒(méi)有影響。對(duì)圖6的右下角最優(yōu)點(diǎn)的整定值與文獻(xiàn)[16]串聯(lián)滯后校正法(Series Lag Correction，SLC)及文獻(xiàn)[20]臨界比例度法(Critical Proportion Method，CPM)進(jìn)行對(duì)比。

圖7為三種方法的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。

從圖7中可以看出PSO算法具有更低的響應(yīng)時(shí)間，更小的超調(diào)量，在0.7s處已經(jīng)趨于穩(wěn)定，表現(xiàn)出優(yōu)異的控制精度。

圖7 不同算法的階躍響應(yīng)曲線(xiàn)

4 結(jié)論

(1)權(quán)重系數(shù)影響PSO算法的收斂速度及全局搜索能力，隨著權(quán)重系數(shù)的變大，終止的性能指標(biāo)要求變高，超調(diào)量降低，響應(yīng)時(shí)間變快。

(2)加速因子c1=c2時(shí)，系統(tǒng)能取得最優(yōu)方案，加速因子過(guò)大，粒子群錯(cuò)過(guò)最優(yōu)解，致使系統(tǒng)發(fā)散。加速因子過(guò)小，會(huì)陷入局部最優(yōu)，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，超調(diào)量大。

(3)限定幅值過(guò)小，粒子飛行步幅小，粒子將陷入局部最優(yōu)，響應(yīng)時(shí)間長(zhǎng)；限定幅值過(guò)大，粒子飛出最優(yōu)區(qū)域，系統(tǒng)發(fā)散。

(4) 對(duì)整定后的參數(shù)值進(jìn)行三元圖的繪制，越靠近右下底角，控制精度越高；越靠近頂角，系統(tǒng)越不穩(wěn)定。

PSO算法優(yōu)于傳統(tǒng)算法，具有超調(diào)量低、響應(yīng)速度快、方法簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，降低了設(shè)計(jì)難度，為工程參數(shù)尋優(yōu)提供方法借鑒。