李 亞, 單 斌, 徐軍輝, 甄占昌

(火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025)

隨著慣性技術(shù)的快速發(fā)展，以及慣性導(dǎo)航不依賴外部信息的獨特優(yōu)勢，捷聯(lián)式慣性測量組合在航空航天、戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈及民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。穩(wěn)定性是評價捷聯(lián)慣組性能狀態(tài)的重要作戰(zhàn)指標(biāo)，捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性是否合格決定了其能否被使用，但是受制造工藝、使用情況(通電時間、存儲時間、溫度、氣壓等)的影響，目前捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性較差。為了保證其使用性能，必須采用定期循環(huán)測試方案，且穩(wěn)定性評估的結(jié)果僅有“穩(wěn)定”和“不穩(wěn)定”兩項，存在太過單一、無法量化的缺點，不能給使用單位選用捷聯(lián)慣組提供足夠的信息支撐，極大地影響了捷聯(lián)慣組的使用效率。

陳效真等[2]提出了一種利用大數(shù)據(jù)理論對慣組全壽命周期內(nèi)的海量測試數(shù)據(jù)進(jìn)行充分挖掘、分析與應(yīng)用的數(shù)據(jù)分析平臺的基本框架，但該框架中僅是一個雛形，其中數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)分析等關(guān)鍵技術(shù)還有待進(jìn)一步展開深入的研究。當(dāng)前，以慣組為主體進(jìn)行狀態(tài)評估的研究還比較少。但在旋轉(zhuǎn)機械、機電設(shè)備等領(lǐng)域，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的狀態(tài)評估已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用。葛蒸蒸[3]等對彈上產(chǎn)品加速退化過程建模,然后利用方差-協(xié)方差矩陣研究了一種彈上產(chǎn)品的可靠性評估方法；陳建春等[4]利用時序主成分分析研究了捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性隨時間序列變化的狀況；鄧超等[5]等基于維納過程對某數(shù)控機床進(jìn)行性能退化建模，然后用逼近理想解法和馬氏距離實現(xiàn)了對該設(shè)備的健康狀態(tài)評估。

因子分析(factor analysis, FA)[6]是主成分分析(principal component analysis, PCA)[7]的拓展，它與主成分分析最大的不同在于降維得到的各因子具有可解釋性。利用同一批次，同一履歷的捷聯(lián)慣組在性能上相似的特點，改進(jìn)了傳統(tǒng)的因子分析方法，利用統(tǒng)計學(xué)習(xí)中的核化原理將其拓展為一種非線性特征提取方法——核因子分析(kernel factor analysis, KFA)，并基于核因子分析提取的特征進(jìn)行了因子綜合評價，實現(xiàn)了對捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性評估?；贙FA的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估方法流程見圖1。

圖1 基于核因子分析的綜合評估方法Fig.1 Comprehensive evaluation method based on KFA

為了檢驗該方法的正確性和實際效果，推導(dǎo)了KFA中因子得分和因子載荷矩陣的求解過程，證明了KFA的合理性；利用K最鄰近分類算法(K-nearest neighbor,KNN)[8]對基于KFA的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估結(jié)果與其他評價方法進(jìn)行了對比，分析了其有效性和不足。

1 因子分析模型

因子分析的基本思想是通過分析多變量間的相關(guān)矩陣，找到支配變量間相關(guān)關(guān)系的少數(shù)幾個相關(guān)獨立的潛在因子，達(dá)到簡化觀測數(shù)據(jù)，用少數(shù)變量解釋研究復(fù)雜問題的目的[9]。因子分析的一般模型為

X=AF+ε

(1)

式(1)中：X=[X1,X2,…,Xm]T為標(biāo)準(zhǔn)化的觀測變量；AF稱為公共分量，表示各個觀測變量的共性信息；ε=[ε1,ε2,…,εn]為特殊因子分量，表示各個觀測變量不能被公共因子解釋的部分；F=[f1,f2,…,fr]T為公共因子向量；A=[aij]m×r為因子載荷矩陣，aij為變量Xi在公共因子fi上的載荷，它反映了公共因子fi對變量Xi的重要程度。

與主成分分析不需要假設(shè)條件不同，因子分析的一般模型基于以下假設(shè)[6]。

(1)E(F)=0,即各因子的均值為零，其中E表示均值。

(2)Cov(F)=E(FF′)=I，即各公共因子互不相關(guān)，其中Cov表示協(xié)方差。

(3)Cov(F,ε)=0，即各公共因子與特殊因子互不相關(guān)。

(4)E(ε)=0，即各特殊因子的均值為零。

2 核因子分析及穩(wěn)定性評估

通過核函數(shù)使線性數(shù)據(jù)處理拓展到非線性數(shù)據(jù)處理的方法已得到廣泛應(yīng)用，典型的運用有核主成分分析、核獨立成分分析、Fisher核判別分析等[10]。

傳統(tǒng)因子模型的求解方法主要有極大似然估計法、主因子法和主成分法等，前兩者都是基于相關(guān)矩陣求解的，但核空間中的相關(guān)矩陣不易求解；而主成分法既可以通過相關(guān)矩陣求解，也可以通過協(xié)方差矩陣求解。因此先用核主成分分析求解出原始觀測變量在核空間中的主元，標(biāo)準(zhǔn)化后作為因子得分，再利用多元線性回歸求出近似因子載荷矩陣用于解釋各因子的意義，然后采用最大方差化方法進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，求解旋轉(zhuǎn)后的因子得分再進(jìn)行綜合評價。

2.1 基于KPCA的因子得分求解

假設(shè)Xm×n為一個經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理后的有m個變量、n個樣本的“相關(guān)變量集”。將原輸入空間映射到一個高維的特征空間F中進(jìn)行因子分析。假設(shè)映射數(shù)據(jù)為零均值，則Xm×n經(jīng)過非線性映射在F空間數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(2)

式(2)中：Φ(·)為進(jìn)行非線性變換時使用的非線性映射函數(shù)。

假設(shè)協(xié)方差矩陣CF的特征值為λ，對應(yīng)的特征向量為V，可得:

λV=CFV

(3)

將式(3)兩邊乘以Φ(xk)，式(3)可等價為

λ〈Φ(xk),V〉=〈Φ(xk),CFV〉,k=1,2,…,n

(4)

根據(jù)核再生理論，存在系數(shù)αi,使得CF的特征向量V可由Φ(xi)線性表示：

(5)

由式(3)、式(4)可得：

(6)

定義核陣K，令Kij=〈Φ(xi),Φ(xj)〉，則式(6)可以等價為

λnα=Kα,α=[α1,…，αn]T

(7)

令〈Vk,Vk〉=1，則

〈αk,λknαk〉=1

(8)

則樣本的第k個主元為

(9)

由于在實際應(yīng)用中映射數(shù)據(jù)為零均值的條件不是永遠(yuǎn)成立的，所以需要做如下式的中心化處理：

(10)

式(10)中：(1n)ij=1/n,(i,j=1,2,…,n)。

(11)

(12)

2.2 基于多元線性回歸的因子載荷求解

所求fk為因子得分，由于映射數(shù)據(jù)的維數(shù)與大小是未知的，故F空間中的因子載荷矩陣A不可解。對這一非線性關(guān)系線性化，基于多元線性回歸求解近似因子載荷矩陣。其關(guān)系式表達(dá)為

Xi=ui+(ai1,ai2,…,air)(f1,f2,…,fr)T+Δ

(13)

式(13)中:Xi為標(biāo)準(zhǔn)化的第i個觀測變量；ui為截距；(ai1,ai2,…,air)為線性近似因子載荷矩陣的第i行；(f1,f2,…,fr)T表示樣本在一定貢獻(xiàn)率下各因子對應(yīng)的因子得分；Δ表示殘差。

主成分法確定的因子載荷不完全符合因子模型的假設(shè)前提，但當(dāng)共同度較大時，特殊因子所起的較小，特殊因子之間的相關(guān)性所帶來的影響幾乎可以忽略[6]。當(dāng)ui和ε很小時，忽略其對整體的影響，可以認(rèn)為所提出的核因子分析滿足因子分析模型的假設(shè)(3)～假設(shè)(5)。

多元線性回歸本質(zhì)上是利用最小二乘法使得殘差最小，殘差越小，擬合效果越好。所提出的近似因子載荷矩陣的擬合效果可以用模型的貢獻(xiàn)率G表示，如式(14)所示：

(14)

式(14)中：p為觀測變量的維數(shù)；r為因子數(shù)目;aij為近似因子載荷矩陣的元素。貢獻(xiàn)率G越大時，殘差越小，說明近似因子載荷矩陣解釋的信息越多。

2.3 因子綜合評價

因子綜合評價是指以各因子的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)，由各因子的線性組合得到綜合評價函數(shù)對樣本進(jìn)行評價的方法，表達(dá)式為

W=w1|f1|+w2|f2|+…+wr|fr|

(15)

式(15)中：wi為第i個因子的貢獻(xiàn)率，fi為第i個因子的因子得分；W為綜合評價結(jié)果。

fi實際上是各觀測變量降維后的結(jié)果，它的絕對值大小反映了穩(wěn)定性的大小，同時考慮到各個因子的貢獻(xiàn)率之和不為1，不利于比較，取穩(wěn)定性評價函數(shù)W為

(16)

3 實例分析

實驗數(shù)據(jù)來自同一批次，同一履歷的16套捷聯(lián)慣組，剔除嚴(yán)重超差的測試數(shù)據(jù)之后，共有116組用于穩(wěn)定性判斷的數(shù)據(jù)，其中穩(wěn)定的有84組，不穩(wěn)定的有32組?？紤]到不同誤差系數(shù)的穩(wěn)定性會隨儲存時間的變化而變化，故每組用于穩(wěn)定性評估的數(shù)據(jù)為兩次測試間的時間差和各誤差系數(shù)(共33個)之差。使用的核函數(shù)為高斯徑向基(RBF)核函數(shù)[11]:

K(x,y)=exp(-‖x-y‖2/σ2)

(17)

3.1 核參數(shù)的選擇

高斯核函數(shù)只有一個可調(diào)參數(shù)σ，圖2為提取核空間內(nèi)原始數(shù)據(jù)最低貢獻(xiàn)率85%時因子數(shù)目隨σ的變化情況，它表明核因子分析的降維效果在特定樣本總體下是有限的。

圖2 最低貢獻(xiàn)率為85%時的因子數(shù)目Fig.2 Number of factors with a minimum contribution rate of 85%

構(gòu)建函數(shù)F(σ)=(sσ1+sσ2)/sb，sσ1、sσ2分別為穩(wěn)定數(shù)據(jù)、不穩(wěn)定數(shù)據(jù)核映射后的類內(nèi)離散度，sb為兩類數(shù)據(jù)核映射后的類間距離平方和，F(xiàn)(σ)可以用來表示一定核參數(shù)兩類數(shù)據(jù)非線性可分程度。大量實驗研究表明，在解決完全非線性可分的問題時存在著極小值點[12]。圖3為F(σ)隨著σ的變化，當(dāng)σ取9.45時，F(xiàn)(σ)取得最小值，穩(wěn)定數(shù)據(jù)與不穩(wěn)定數(shù)據(jù)在核空間里最大程度非線性可分，但由于σ取較小值時降維后的因子數(shù)目較多，不利于解釋各個因子的意義。選擇因子數(shù)目為16，此時F(σ)最小時對應(yīng)的σ為38.87。

圖3 F(σ)變化曲線Fig.3 Change curve of F(σ)

3.2 因子解釋

表1為部分的旋轉(zhuǎn)成分矩陣。由表1可知，所提出的KFA方法降維后的各因子在方差最大化旋轉(zhuǎn)后，具有較好的可解釋性。

表1 旋轉(zhuǎn)成分矩陣Table 1 Rotation component matrix

3.3 穩(wěn)定性評價及結(jié)果分析

圖4為所有樣本的穩(wěn)定性評價結(jié)果，其中前84個為穩(wěn)定樣本，后32個為不穩(wěn)定樣本。從圖4可以看出，評分較低的主要是不穩(wěn)定樣本，但也存在一些不穩(wěn)定樣本的評分較高。

圖4 KFA綜合評價結(jié)果Fig.4 Result of KFA comprehensive evaluation

3.4 穩(wěn)定性評估效果評價

為了對比提出的基于核因子分析的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估方法，將核因子分析與因子分析、熵值法兩種方法進(jìn)行了比較。采用KNN[13]這一經(jīng)典分類算法分析不同的評估方法對于穩(wěn)定樣本和非穩(wěn)定樣本的的區(qū)分能力。為了取得相對穩(wěn)定的結(jié)果，取100次十折交叉驗證的平均正確率為指標(biāo)；針對兩類樣本數(shù)目嚴(yán)重不均衡的問題，對算法中的投票原則[14]進(jìn)行了調(diào)整使得其與兩類樣本的數(shù)目之比一致；KNN使用的距離量度為歐氏距離。

3.4.1 熵值法

熵值法[15]是一種絕對客觀的賦權(quán)方法，它的評價過程完全依賴于客觀的數(shù)據(jù)規(guī)律，從而很大程度上避免了人為因素的影響。

在熵值法中進(jìn)行異質(zhì)指標(biāo)同質(zhì)化時，采用負(fù)向指標(biāo)進(jìn)行歸一化，即各誤差系數(shù)的變化值越小，穩(wěn)定性越好。

在熵值法中，第i個指標(biāo)的權(quán)重為

(19)

式(19)中：di、Hi分別為第i個指標(biāo)的偏離度和熵值。

3.4.2 結(jié)果分析

圖5為原始數(shù)據(jù)-熵值法評估方法、因子分析評估方法(16個因子、貢獻(xiàn)率為86.92%)、KFA評估方法(σ取38.87，16個因子，貢獻(xiàn)率G為86.08%)的分類正確率比較圖。在圖5中，K大于30時3種方法的平均正確率都趨于穩(wěn)定，并且在K大于60時平均正確率幾乎一致；當(dāng)K為30～60時，熵值法的評估效果要較好于KFA法和因子分析法，這是由于熵值法使用了原始數(shù)據(jù)，而其他兩種方法在降維后失去了部分原始信息；KFA法和因子分析法的評估效果近乎一致，且都與熵值法的評估效果差別較小，這說明提出的基于KFA的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估方法是合理的。

圖5 KNN分類結(jié)果Fig.5 Result of KNN classification

當(dāng)K接近于交叉驗證的訓(xùn)練樣本數(shù)時，3種方法的分類正確率都逐漸穩(wěn)定在77%左右。這是由于這3種方法都是只利用數(shù)據(jù)客觀規(guī)律的方法，即穩(wěn)定性評估效果最好的樣本是樣本總體里各觀測變量變化最小的一個，但這并不能嚴(yán)格地與穩(wěn)定性指標(biāo)各個閾值的評價結(jié)果完全一致。

相對于熵值法不能用于降維的缺點和因子分析只能提取線性特征的不足，提出的KFA法具有能較好地提取原始變量的非線性特征并解釋其含義的優(yōu)點，比較適用于非線性關(guān)系較強的數(shù)據(jù)集。

4 結(jié)論

對捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定性進(jìn)行評估能更好地幫助使用單位了解捷聯(lián)慣組的穩(wěn)定狀態(tài)，從而提高使用的效率。提出的基于核因子分析(KFA)的捷聯(lián)慣組穩(wěn)定性評估方法，從理論上證明了該方法能夠滿足因子分析的5個假設(shè)條件，并將其與熵值法和傳統(tǒng)的因子綜合評價方法進(jìn)行了比較，證明了其有效性。

KFA方法的不足在于不能較好地與穩(wěn)定性指標(biāo)結(jié)合起來，將穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩種狀態(tài)的捷聯(lián)慣組完全區(qū)分開，實際上這也是熵值法等客觀評價方法的共同存在的不足。下一步，可以將KFA法與其他主觀評價方法結(jié)合起來，以取得更好的穩(wěn)定性評估結(jié)果。