李曉波

【摘 要】 基于目前高中數(shù)學概念教學的情況，本文先分析實際課堂教學情況，提出一種新的教學設(shè)想——“問題串”設(shè)計教學.教師先設(shè)計一系列“問題串”，引導數(shù)學概念的生成，揭示數(shù)學概念的本質(zhì)，有助于闡述“問題串的”概念及其應(yīng)用.結(jié)合自己的教學實踐，設(shè)計了一些“問題串”的教學案例.最后根據(jù)自己的案例體會做了小結(jié)與展望.

【關(guān)鍵詞】 問題串;數(shù)學概念;案例

1 問題的提出

數(shù)學概念是數(shù)學的起點，是構(gòu)成定理、法則、公式的基礎(chǔ)，是學好數(shù)學的前提.當前課堂上教學概念有些教師直接給學生講解，不管概念產(chǎn)生的起源和為什么需要這個新的知識概念，在這之后就大量地做題鞏固知識.在應(yīng)試教育的刷題模式下，學生只知道這個題目的解法，至于概念的本質(zhì)模棱兩可，使得學生機械的記住數(shù)學概念表面公式，對于數(shù)學概念的內(nèi)涵知之甚少.那么，教師應(yīng)該如何轉(zhuǎn)變這種方式，讓學生既記住數(shù)學概念表面知識，也能運用概念去解決其他數(shù)學問題？筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，教師可以設(shè)計“問題串”來引導數(shù)學概念的生成，用問題串的模式承上啟下，全方位地展示一個類似問題，能揭露數(shù)學概念的本質(zhì).問題串的教學方式能很好地讓學生了解、掌握概念的起源和形成過程.問題串的設(shè)計目的就是加強學生的數(shù)學邏輯思維，讓學生自主地學習，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生積極參與到教師的教學當中.

2 問題串的概念

“問題串”是指在一定的框架內(nèi)，教師引入的一個中心目標，按照一定的邏輯思維，精心設(shè)計的一連串問題.通過這些問題的承上啟下和解決這些問題的通法，達到一種高層次的邏輯思維，以便了解問題的本質(zhì)，掌握通法規(guī)律，鞏固知識技能和思維遷移.

3 問題串在數(shù)學概念教學中的應(yīng)用

數(shù)學基礎(chǔ)知識是以數(shù)學概念為主，反映數(shù)學的本質(zhì)，很多問題都是概念轉(zhuǎn)變而來.每一個數(shù)學概念都有它自己的作用，了解概念的同時也要對其性質(zhì)作一定的推導歸類.對于任意一個數(shù)學概念，引導學生利用概念解決問題，將復雜的問題逐步簡單化，深化概念的理解.

對于數(shù)學概念的教學，教師需要掌握概念產(chǎn)生的起源和它的外延，前后因果關(guān)系透徹便于學生理解概念.概念中隱含的規(guī)定、條件逐一認識，不遺漏，使之全方位理解牢固掌握.

下面，筆者通過教學案例來說明如何設(shè)計“問題串”促進數(shù)學概念的有效生成.

案例 課題：§2.3.1 雙曲線及其標準方程

一、教學構(gòu)思

圓錐曲線是高中數(shù)學必學的知識，是直線和圓的知識的繼續(xù)，數(shù)形結(jié)合思想的進一步運用.通過數(shù)形結(jié)合的方式，學生體驗了代數(shù)方程解決幾何問題的方法，會對解析幾何有進一步地了解.對于已經(jīng)學過的直線與圓學生比較熟悉，概念也簡單，而對于一般二次曲線，學生從沒接觸過，因此本章的學習會繼續(xù)研究二次曲線，利用代數(shù)方法來研究曲線，強化解析幾何的思維.

本節(jié)課是在學生學習了橢圓知識后，再來研究的新曲線，橢圓的研究內(nèi)容和研究方法可以為雙曲線提供一定的參照，用類似的方法進一步地研究圓錐曲線.對于研究的對象——雙曲線仍然采用解析法，將幾何問題變?yōu)榇鷶?shù)方程問題，在平面直角坐標系中利用數(shù)形結(jié)合的方式探索雙曲線的代數(shù)表達式，用代數(shù)方程的思維研究其幾何性質(zhì).

二、教學目標設(shè)置

1.學生能正確理解雙曲線的定義并在歸納總結(jié)定義的過程中培養(yǎng)其數(shù)學抽象素養(yǎng).

2.學生了解雙曲線的標準方程及其推導過程，并能根據(jù)相關(guān)條件求出雙曲線的標準方程.

3. 在雙曲線標準方程的推導過程中使學生進一步體會解析幾何中數(shù)形結(jié)合的基本思想，并培養(yǎng)其數(shù)學運算和推理的核心素養(yǎng).

三、學生學情分析

本節(jié)課，學生在之前學過了橢圓定義及其標準方程，掌握了一動點到兩定點距離之和的推導并化簡方程，通過類似的方式來推導雙曲線及其標準方程.對于和與差的區(qū)別學生可能犯迷糊，雙曲線的定義是到兩個定點距離差的絕對值為定值的動點軌跡，學生對絕對值的計算化簡可能會認知錯誤.

從雙曲線內(nèi)容上看，雙曲線是兩支曲線，不是封閉圖形，學生理解起來可能有一定的障礙，在教學中要注意與橢圓的相似之處也要考慮不同點，區(qū)分不同的知識點.利用多媒體數(shù)學軟件協(xié)作解決問題，需要學生親自動手操作，這方面還有待提高.

四、教學重難點

1.重點：雙曲線的定義及其標準方程的推導.

2.難點：雙曲線定義（兩支曲線）的生成過程以及標準方程的推導過程.

五、教學方法及其理論依據(jù)

1.最近發(fā)展區(qū)理論：學生在有指導幫助的情況下能達到解決問題的水平和學生自己獨立解決問題的水平之間的差異，也就是兩個臨近發(fā)展階段的中間過渡階段.教師如果能很好地把握“最近發(fā)展區(qū)”，可以提高學生解決問題的能力.

2.支架式教學：來源于“最近發(fā)展區(qū)”理論，構(gòu)建了一種框架，為學生理解知識搭建橋梁，教師為了讓學生進一步理解問題，預先把復雜的學習任務(wù)分解若干，從易到難，讓學生逐步理解，保證學生的學習任務(wù)一直處于學生的最近發(fā)展區(qū).

3.教師從學生實際學情出發(fā)，根據(jù)其最近發(fā)展區(qū)將本節(jié)知識內(nèi)容進行難度梯度劃分，適當建立支架，設(shè)計合理的教學任務(wù).

六、教學過程設(shè)計

1.復習回顧

設(shè)計意圖 進一步基于雙曲線的定義內(nèi)涵來激發(fā)學生的思維發(fā)散，使其更全面認識橢圓與雙曲線的方程，使知識內(nèi)在聯(lián)系更為凸顯，使思維不斷深化.讓學生多角度審視問題，在思考過程中概念越來越清晰，思維能力不斷提升.

教學設(shè)計評析 雙曲線這一節(jié)運用問題串來展開教學，以探究橢圓的幾何概念性質(zhì)為基礎(chǔ)，用一系列的動點軌跡“問題串”作為載體，本著“從特殊到一般”的認識規(guī)律，逐步引導學生探索并導出雙曲線方程的一般形式.現(xiàn)在可以使用數(shù)學軟件動態(tài)演示圖形的變化規(guī)律，學生能直接根據(jù)圖形認識雙曲線的定義.高中生經(jīng)過了函數(shù)的學習，抽象思維基本達到了運用數(shù)學符號表示數(shù)學概念的要求，通過一系列的問題認識到“到兩點距離之差為常數(shù)的點的軌跡是雙曲線”，再用兩個問題作為補充，完善學生對雙曲線定義的理解，把握好重難點.學生通過這一系列的問題串的探究過程，培養(yǎng)抽象思維.

“問題串”在數(shù)學課堂中的教學應(yīng)用，對學生而言提高了學習效率和能力，對教師而言激發(fā)了學生的主動學習，提高自己的備課能力，讓自己得到了專業(yè)方向的發(fā)展，對于目前教學中的高效課堂有一定的作用，也是一種高效的教學方式，減輕了學生的學習負擔，也讓學生的自主學習能力得到了加強，符合目前新課程改革的要求.正如數(shù)學家弗賴登塔爾的數(shù)學名言：數(shù)學知識不是教出來的，也不是學出來的，而是研究出來的.在教學中熟練運用問題串，為數(shù)學教學提供一種新的方式.