孫玉鑫，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

1 引言和預(yù)備知識

2002年，呂中學(xué)[1]在度量空間中引入反交換映射的概念，并證明了一些公共不動點定理. 隨后，胡新啟等[2]進一步研究了反交換映射條件下的公共不動點問題. 2012年，史曉棠等[3]在錐度量空間中證明了兩對反交換映射的公共不動點定理. 在Mustafa等[4]引入廣義度量空間(簡稱為G-度量空間)的概念后，許多學(xué)者在此空間內(nèi)研究了公共不動點問題[5-8]. 2014年，沈云娟等[9]在廣義度量空間中深入研究了反交換映射下的公共不動點定理.

2012年，Sedghi等[10]引入了S-度量空間的概念，并證明了一些不動點定理. 此后，S-度量空間中的不動點問題被廣泛研究，得到了許多重要的研究結(jié)果[11-16].本文繼續(xù)討論S-度量空間中的不動點問題，利用反交換映射對的概念，證明了兩個新的公共不動點定理，所得結(jié)果進一步發(fā)展了G-度量空間中的相應(yīng)成果.

定義1[10]設(shè)X是一個非空集合，S:X×X×X→[0，∞)是一個三元函數(shù)，且對任意的x,y,z,a∈X，滿足以下條件： (1)S(x,y,z)=0?x=y=z;(2)S(x,y,z)≤S(x,x,a)+S(y,y,a)+S(z,z,a). 則稱函數(shù)S是X上的一個S-度量，稱(X,S)是一個S-度量空間.

定義2[10]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間. 對于r>0和x∈X，我們定義球心為x，半徑為r的開球Bs(x,r)，表示為Bs(x,r)={y∈X:S(y,y,x)

定義3[10]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間.

(1)序列{xn}?X,x∈X，若limn→∞S(xn,xn,x)=0，稱序列{xn}是S-收斂到x的. 即對于?ε>0，?n0∈N，使得對所有的n≥n0，S(xn,xn,x)<ε.

(2)序列{xn}?X，若limn,m→∞S(xn,xn,xm)=0，稱序列{xn}是柯西列.即對于?ε>0,?n0∈N，使得對于所有的n,m≥n0,S(xn,xn,xm)<ε.

(3)如果X中每個柯西列都是S-收斂的，則稱S-度量空間(X,S)是S-完備的.

引理1[10]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間，對于所有的x,y∈X，有S(x,x,y)=S(y,y,x).

引理2[10]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間，如果xn→x，yn→y，則有S(xn,xn,yn)→S(x,x,y),n→∞.

定義4[1]設(shè)X是非空集合，f和g是X上的兩個自映射.

(1)映射對{f,g}稱為是反交換的，如果fgx=gfx?fx=gx,x∈X;

(2)稱t∈X是映射f和g的交換點，如果fgt=gft.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,S)是一個S-度量空間. 映射f,g是X上的一對反交換映射，并且存在交換點，對?x,y,z∈X，滿足下面的不等式:

S(gx,gy,gz) ≤ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)}).

(1)

其中ψ:R+→R+，且對?t>0,0<ψ(t)

證明令u是f和g的交換點，可得fgu=gfu，根據(jù)反交換映射的定義知fu=gu，則有ffu=fgu=gfu=ggu.下面證明gu是g的不動點，假設(shè)ggu≠gu，我們在式(1)中令x=u,y=z=gu，因為

max{S(fu,fgu,fgu),S(fu,ggu,ggu),S(fu,fgu,ggu),S(fgu,fgu,ggu)}=S(gu,ggu,ggu)>0，

由式(1)可得

S(gu,ggu,ggu) ≤ψ(S(gu,ggu,ggu))

這是一個矛盾，所以ggu=gu，即gu是g的不動點.

又因為fgu=ggu=gu，所以gu也是f的不動點，即gu是f和g的公共不動點.

下證唯一性，令gu=t，設(shè)f,g有另外一個公共不動點t′，且t≠t′，則有S(t,t′,t′)>0. 在式(1)中令x=t,y=z=t′，因為

max{S(ft,ft′,ft′),S(ft,gt′,gt′),S(ft,ft′,gt′),S(ft′,ft′,gt′)}=S(t,t′,t′)>0，

通過式(1)可得S(t,t′,t′)=ψ(S(t,t′,t′))

則映射f和g的全體交換點構(gòu)成的集合是[1/2,1]，對?x∈[1/2,1]，都有fgx=gfx，且fx=gx=1，所以映射f和g是反交換的.

下面分8種情形討論.

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})≥0.

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(0,1,1),S(0,1,1),S(0,1,1),S(1,1,1)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})=

ψ(max{S(fx,fy,fz),S(fx,gy,gz),S(fx,fy,gz),S(fy,fy,gz)})≥0.

定理2設(shè)(X,S)是S-度量空間，X上的自映射f1,f2,g1,g2,h1,h2:X→X，并且映象對(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)都是存在交換點的反交換映射. 對于?x,y,z∈X，有

(2)

其中φ:R+→R+，滿足0<φ(t)0，那么映射f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一公共不動點.

證明設(shè)映射對(f1,f2),(g1,g2),(h1,h2)的交換點分別為x0，y0和z0，則有

f1f2x0=f2f1x0,g1g2y0=g2g1y0,h1h2z0=h2h1z0.

(3)

又因為映射對(f1,f2)，(g1,g2)和(h1,h2)都是反交換映射，所以

f1x0=f2x0,g1y0=g2y0,h1z0=h2z0.

(4)

由式(3)、(4)可得

(5)

下證f2x0=g2y0=h2z0.假設(shè)f2x0≠g2y0≠h2z0，根據(jù)式(2)及函數(shù)φ的性質(zhì)可得

(6)

其中，

(7)

由式(6)、(7)可得

S(f2x0,g2y0,h2z0)≤φ(S(f2x0,g2y0,h2z0))

與事實矛盾，故f2x0=g2y0=h2z0.

下證f2x0是f2的不動點，即f2f2x0=f2x0. 假設(shè)f2f2x0≠f2x0，在式(2)中令

x=f2x0,y=y0,z=z0.

此時，

由式(5)及函數(shù)φ的性質(zhì)可得

S(f2f2x0,f2x0,f2x0)=S(f2f2x0,g2y0,h2z0) ≤

φ(S(f2f2x0,f2x0,f2x0))

推出矛盾，故有f2f2x0=f2x0，即f2x0也是f2的不動點.

同理可證g2g2y0=g2y0，h2h2z0=h2z0.

由式(5)可得f1f2x0=f2f2x0=f2x0，即f2x0也是f1的不動點. 同理可得

即f2x0是f1,f2,g1,g2,h1,h2的公共不動點.

最后證明公共不動點的唯一性，設(shè)t=f2x0，t′≠t是f1,f2,g1,g2,h1,h2的另一個公共不動點. 根據(jù)式(2)和函數(shù)φ的性質(zhì)可得

S(t,t,t′)=S(f2t,g2t,h2t′)≤

與事實矛盾，于是t=t′，即f1,f2,g1,g2,h1,h2有唯一的公共不動點.

注在定理2中，若映射f1,f2,g1,g2,h1,h2中的任意兩個映射相等，或任意多個為恒等映射，都會得到不同的新結(jié)果.