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      感受坐標(biāo)思想 把握坐標(biāo)內(nèi)涵

      2020-08-10 09:24:30孔凡哲
      關(guān)鍵詞:縱坐標(biāo)對稱點(diǎn)坐標(biāo)軸

      孔凡哲

      數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的典范.平面直角坐標(biāo)系由兩條原點(diǎn)重合且互相垂直的數(shù)軸組成,它的發(fā)明,使得代數(shù)式與圖形有機(jī)結(jié)合在一起,不僅可以使代數(shù)問題幾何化.而且可以使幾何問題代數(shù)化.

      一維圖形就是一條直線.在直線上確定點(diǎn)的位置,必須確定一個基準(zhǔn)點(diǎn)和一個基準(zhǔn)方向,這個點(diǎn)就是原點(diǎn),這個方向就是正方向,同時,還要確定度量單位,即單位長度,在確定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線上,任何一個點(diǎn)都對應(yīng)著唯一的一個實(shí)數(shù),而且僅僅需要一個實(shí)數(shù)就可以確定點(diǎn)的位置,故數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)的,而這個實(shí)數(shù)就是點(diǎn)的坐標(biāo).

      如圖1所示,數(shù)軸上點(diǎn)A的坐標(biāo)為-2.若已知某點(diǎn)的坐標(biāo)是4,則這個點(diǎn)在點(diǎn)B處,

      思考1:如圖2所示,如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為-3,點(diǎn)A的正上方一個單位長度處有一個點(diǎn)A1,那么該如何表示點(diǎn)A.的位置?

      點(diǎn)A1和點(diǎn)A的橫向上的位置都是-3,但是縱向上的位置是不同的,相差一個單位長度.利用定位一維圖形上的點(diǎn)的方法,無法定位點(diǎn)A1,必須增加新的量才能解決問題.

      引入縱向軸線,在平面內(nèi)再畫一條與已知數(shù)軸垂直,且原點(diǎn)重合的數(shù)軸,組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸,習(xí)慣上取向右為正方向;豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸,習(xí)慣上取向上為正方向;兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)(如圖3所示).

      點(diǎn)A,的橫向上的位置會在x軸上體現(xiàn),縱向上的位置會在y軸上體現(xiàn),過點(diǎn)Ai分別向x軸、y軸作垂線,得到了與x軸、y軸相交的兩個點(diǎn)(垂足)以及兩個點(diǎn)分別對應(yīng)的實(shí)數(shù),我們可以用這個實(shí)數(shù)對來表示點(diǎn)A,的位置.

      因此,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(-3,1).

      在平面內(nèi)確定一個點(diǎn)的位置,只需要一個數(shù)對就可以了,這個數(shù)對叫作有序數(shù)對.之所以稱之為有序數(shù)對,是由于數(shù)對是一個整體,數(shù)對中的兩個數(shù)有順序之分,當(dāng)a≠b時,(a,b)所表示的點(diǎn)與(b,a)所表示的點(diǎn)的位置是不同的,

      思考2:若再畫一條與已知數(shù)軸原點(diǎn)重合、但不垂直的數(shù)軸,能否表示點(diǎn)A1的位置?

      答案是肯定的,這樣的坐標(biāo)系我們稱之為斜坐標(biāo)系.

      當(dāng)把兩條數(shù)軸垂直放置時,更方便標(biāo)記點(diǎn)的位置,因此在實(shí)際問題中,我們常常建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,根據(jù)點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo),

      如圖4,建立平面直角坐標(biāo)系后,平面上的點(diǎn)可分成兩條坐標(biāo)軸上的點(diǎn)以及四個區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),這四個區(qū)域稱為象限,右上方的區(qū)域稱為第一象限,按照逆時針的方向,其他區(qū)域依次稱為第二、第三和第四象限,兩條坐標(biāo)軸上的點(diǎn)是不屬于任何一個象限的.就好比兩間房子之間的隔墻是不屬于任何一方的,

      在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)軸x軸為對稱軸,對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”;以坐標(biāo)軸y軸為對稱軸,對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”.

      思考3:若平面內(nèi)有一點(diǎn)P(a,b),則點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)是________.

      關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱可以分解為先關(guān)于x軸對稱,再關(guān)于y軸對稱(或先關(guān)于y軸對稱,再關(guān)于x軸對稱).進(jìn)行兩次軸對稱變換后的點(diǎn),與原來的點(diǎn)成中心對稱,對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)”,相當(dāng)于橫、縱坐標(biāo)均乘一1.即點(diǎn)P,的坐標(biāo)為(-a,-b).

      在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)向左(或向右)平移n個單位長度(n是正數(shù)),平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)減少(或增加)n個單位長度”;將點(diǎn)向上(或向下)平移n個單位長度(n是正數(shù)),平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)為“橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)增加(或減少)n個單位長度”.

      思考4:若平面內(nèi)的一點(diǎn)沿著某一方向(非坐標(biāo)軸方向)平移,則平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該如何表示?

      沿著某一方向(非坐標(biāo)軸方向)平移,可以分解為先沿著x軸方向平移,再沿著y軸方向平移(或先沿著y軸方向平移,再沿著x軸方向平移),平移后的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都會發(fā)生相應(yīng)的變化.

      練一練

      1.(2019年杭州)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)A(m,2)與點(diǎn)B(3,n)關(guān)于y軸對稱,則(

      ).

      A.m=3,n=2

      B.m=-3,n=2

      C.m=2,n=3

      D.m=-2,n=-3

      2.(2019年安順)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-3,m2+1)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)在(

      ).

      A.第一象限

      B.第二象限

      C.第三象限

      D.第四象限

      3.(2019年廣安)若點(diǎn)M(x-l,-3)在第四象限,則x的取值范圍是____,

      參考答案:

      1.B

      2.D

      3.x>1

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