類比學(xué)習(xí)與轉(zhuǎn)化思想

孔凡哲

方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是初中數(shù)學(xué)課程四大領(lǐng)域之一的“數(shù)與代數(shù)”的重點(diǎn)內(nèi)容.學(xué)習(xí)方程都要經(jīng)歷將“實(shí)際問題抽象成方程（組）”的數(shù)學(xué)化過程，方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一種有效模型，

在本章中，我們類比一元一次方程，學(xué)習(xí)二元一次方程組及相關(guān)概念，進(jìn)一步體會(huì)方程的核心思想——模型思想與化歸方法，并在學(xué)習(xí)中不斷提高運(yùn)用方程思想分析、解決現(xiàn)實(shí)問題的能力.

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象成方程組的過程，了解二元一次方程組及相關(guān)概念，基本掌握解二元一次方程組的方法，初步形成運(yùn)用方程組解決實(shí)際問題的意識(shí)，掌握方程組模型.

2.類比一元一次方程，能夠“找出實(shí)際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列出二元一次方程組表示其中的等量關(guān)系”，會(huì)解二元一次方程組，掌握化歸方法.

3.在運(yùn)用二元一次方程組解決問題的過程之中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提高發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、分析數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題的

二、類比一元一次方程，經(jīng)歷二元一次方程組的抽象過程

我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道名題：

今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何.

通過列二元一次方程組或一元一次方程，都可解決“雞兔同籠”問題，不難發(fā)現(xiàn)，無論列哪類方程，其關(guān)鍵都在于建立方程模型的抽象過程.二者的區(qū)別在于：列二元一次方程組的思維過程比較簡(jiǎn)單，解答方法相對(duì)復(fù)雜一些;列一元一次方程的思維過程相對(duì)復(fù)雜一些，解法相對(duì)簡(jiǎn)單.

三、轉(zhuǎn)化思想

解方程（組）的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化思想，即“化繁為簡(jiǎn)，化生為熟”.

“化繁為簡(jiǎn)”主要體現(xiàn)在一元一次方程的解法中，將含有未知數(shù)的項(xiàng)都放在方程的一邊，將不含未知數(shù)的項(xiàng)放在方程的另一邊，進(jìn)行化簡(jiǎn)并計(jì)算，將一元一次方程轉(zhuǎn)化為ax=b的形式，最終得到方程的解.

“化生為熟”主要體現(xiàn)在二元一次方程組的解法中.這里的“生”就是指“二元一次方程組”，這里的“熟”就是指“一元一次方程”.對(duì)于二元一次方程組，化歸的核心是消元，即減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，將“二元”最終轉(zhuǎn)化為“一元”，再根據(jù)一元一次方程的解法，即可求得結(jié)果.

消元法主要包括代人消元法和加減消元法.

需要強(qiáng)調(diào)的是，利用代入消元法要注意正負(fù)號(hào);而利用加減消元法，若需要用一個(gè)常數(shù)同時(shí)乘方程的左右兩邊，用這個(gè)數(shù)乘未知數(shù)系數(shù)的同時(shí)，也需要用這個(gè)數(shù)乘常數(shù)項(xiàng)，

思考1：用恰當(dāng)方法解二元一次方程組.

在感受建模思想、體會(huì)化歸方法的同時(shí)，也要明晰二元一次方程組的概念，即有兩個(gè)未知數(shù)，含每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.那么，二元一次方程組中的兩個(gè)方程一定都是二元一次方程嗎？答案是否定的，方程組中的未知數(shù)一共有兩個(gè)即可.

四、學(xué)習(xí)方法提升

在學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)，我們已經(jīng)掌握的學(xué)習(xí)方法大多可以使用，同時(shí)，也要注意本章的一些新特點(diǎn).

1.迅速適應(yīng)從“一元到多元”的轉(zhuǎn)變，并在類比中深化理解基本知識(shí).

2.通過解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)建模思想.

3.通過解方程組，進(jìn)一步感受化歸方法.

練一練

（2019年婁底）某商場(chǎng)用14 500元錢購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價(jià)與銷售價(jià)如表l所示.

（1）購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種礦泉水各多少箱？

（2）該商場(chǎng)售完這500箱礦泉水，可獲利多少元？

參考答案：

（1）購(gòu)進(jìn)甲種礦泉水300箱，乙種礦泉水200箱.（2）可獲利5 600元.