2:1 內(nèi)共振條件下變轉(zhuǎn)速預(yù)變形葉片的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)1)

顧 偉 張 博 丁 虎 陳立群

(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064)

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200444)

(上海大學(xué)上海市能源工程力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444)

引言

在實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，葉片是最重要的傳動(dòng)部件之一，如在渦輪機(jī)葉片、船用螺旋槳、直升機(jī)葉片以及風(fēng)力發(fā)電裝置中都有廣泛應(yīng)用.近年來(lái)，隨著人們對(duì)機(jī)械性能要求的提高，葉片的工作環(huán)境更加嚴(yán)峻，常需在復(fù)雜工況下(如高溫、摩擦等)切換轉(zhuǎn)速，極易使葉片產(chǎn)生變形，導(dǎo)致發(fā)生破壞，因此研究預(yù)變形變轉(zhuǎn)速葉片的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)于合理設(shè)計(jì)葉片結(jié)構(gòu)具有重要意義.

由于機(jī)械工程上的大量應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)葉片的動(dòng)力學(xué)特性長(zhǎng)期以來(lái)都是國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的重點(diǎn)，許多學(xué)者采用理論分析，數(shù)值模擬以及實(shí)驗(yàn)方法針對(duì)不同葉片模型，在線性或非線性框架下，研究了常轉(zhuǎn)速下旋轉(zhuǎn)葉片的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)規(guī)律.前期，一些學(xué)者[1-2]研究了在常轉(zhuǎn)速下，考慮旋轉(zhuǎn)葉片模型的建立問(wèn)題，得出其動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)不同方法求解其自由振動(dòng)等問(wèn)題.Yoo 等[3-5]通過(guò)混合坐標(biāo)系建模研究了常轉(zhuǎn)速下預(yù)扭懸臂梁受不同外激勵(lì)下的振動(dòng)特性.蔡國(guó)平和洪嘉振[6]通過(guò)變結(jié)構(gòu)控制法對(duì)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)懸臂梁進(jìn)行主動(dòng)控制，并且比較零次近似模型和一次近似模型的巨大差異.Yang 等[7]利用廣義哈密頓原理推導(dǎo)了常轉(zhuǎn)速下Euler-Bernoulli 梁橫向振動(dòng)的非線性微分方程.姜靜和韓廣才[8]研究了常轉(zhuǎn)速葉片在彎扭耦合下由于質(zhì)量偏心的動(dòng)力學(xué)分析.Inoue 等[9]研究了實(shí)際問(wèn)題中定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的風(fēng)力發(fā)電機(jī)受重力和風(fēng)力影響的振動(dòng)特性.Ramakrishnan 和Feeny[10]進(jìn)一步在模型建立過(guò)程中加入非線性項(xiàng)來(lái)研究其動(dòng)力學(xué)特性，隨后Ramakrishnan 和Feeny[11]建立了強(qiáng)迫馬蒂厄方程來(lái)考慮風(fēng)力葉片的共振，李國(guó)強(qiáng)等[12]通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)研究翼型橫擺震蕩.趙國(guó)威和吳志剛[13]在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步用一次近似模型考慮將軸向和橫向變形產(chǎn)生的耦合項(xiàng)代入應(yīng)變能中，考慮其對(duì)動(dòng)力學(xué)特性的影響.楊鄂川等[14]研究了常轉(zhuǎn)速下，葉片受開(kāi)口裂紋作用下的振動(dòng)特性，觀察梁的一階、二階固有頻率隨不同裂紋深度和位置的變化.Oh 和Yoo[15]考慮了拉伸、彎曲和扭轉(zhuǎn)的耦合作用下，常轉(zhuǎn)速預(yù)扭轉(zhuǎn)葉片的振動(dòng)分析.Tian 等[16]提出一種改進(jìn)的變分方法，推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)梁的自由和瞬態(tài)振動(dòng)特性.李炳強(qiáng)等[17]研究了在常轉(zhuǎn)速下，轉(zhuǎn)子--葉片耦合系統(tǒng)在主共振條件下的振動(dòng)響應(yīng)和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性.吳吉等[18]基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法研究懸臂曲梁的純彎曲問(wèn)題和帶有剛?cè)狁詈系男D(zhuǎn)柔性非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題.

由于轉(zhuǎn)子圓盤(pán)葉片系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)受外部擾動(dòng)，考慮轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化更加普遍也更貼近實(shí)際.例如當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)、變速、停機(jī)等過(guò)程中，轉(zhuǎn)子的輸入與輸出功率(扭矩)失衡.轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中將伴隨扭振，從而產(chǎn)生了速度脈動(dòng)，使得葉片轉(zhuǎn)速不再是一個(gè)常數(shù).近年來(lái)，有越來(lái)越多的學(xué)者將目光轉(zhuǎn)移到變轉(zhuǎn)速葉片的動(dòng)力學(xué)行為的研究中.Kammer 和Schlack[19]首先將角速度表示為穩(wěn)態(tài)值和微小擾動(dòng)的疊加，探究變轉(zhuǎn)速對(duì)梁振動(dòng)的影響.Young[20]研究了變轉(zhuǎn)速下，預(yù)扭轉(zhuǎn)變截面梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，利用多尺度法處理方程，并研究阻尼系數(shù)對(duì)不穩(wěn)定區(qū)域的影響.Yang 和Tsao[21]研究了非定常轉(zhuǎn)速下，預(yù)扭轉(zhuǎn)葉片振動(dòng)與穩(wěn)定性分析.張偉等[22]針對(duì)1/2 亞諧共振和1:3 內(nèi)共振，通過(guò)數(shù)值模擬得到二維、三維相圖，分析了風(fēng)速變化對(duì)變轉(zhuǎn)速葉片振動(dòng)的影響.Yao 等[23]考慮了在高溫超聲波氣流變轉(zhuǎn)速葉片的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).隨后，Yao 等[24]研究了葉片在不同轉(zhuǎn)速下的非線性振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng).Georgiades[25]研究了在非定常轉(zhuǎn)速?gòu)椥赃B續(xù)體中傳動(dòng)軸動(dòng)力學(xué)行為.張偉等[26]建立了變截面葉片模型，分析在變轉(zhuǎn)速下葉片受氣動(dòng)力和離心力影響的非線性動(dòng)力學(xué)行為.Hu 等[27]提出一種新型的三維預(yù)扭梁?jiǎn)卧絹?lái)捕捉變轉(zhuǎn)速梁高度耦合的振動(dòng)特性.

近期，有學(xué)者報(bào)道了葉片結(jié)構(gòu)的預(yù)變形將嚴(yán)重影響葉片的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).Zhang 和Li[28]研究了在常轉(zhuǎn)速下，預(yù)扭轉(zhuǎn)葉片在2:1 內(nèi)共振下的受迫振動(dòng).Kang 等[29]基于載荷增量法，提出一種新的預(yù)變形方法來(lái)補(bǔ)償葉片變形，通過(guò)修正剛度矩陣考慮非線性葉片剛度的影響.Zhang 等[30]研究在2:1 內(nèi)共振下旋轉(zhuǎn)預(yù)扭轉(zhuǎn)梁的主共振情況，詳細(xì)研究了不同參數(shù)變化對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響.

通過(guò)文獻(xiàn)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，較多文獻(xiàn)考慮變轉(zhuǎn)速情況時(shí)往往不考慮預(yù)變形作用，而文獻(xiàn)[28]主要考慮常轉(zhuǎn)速下預(yù)變形葉片受外激勵(lì)作用.同時(shí)考慮變轉(zhuǎn)速和預(yù)變形兩種因素共同作用下的葉片動(dòng)力學(xué)行為相關(guān)的研究還尚未見(jiàn)報(bào)道.本文主要研究變轉(zhuǎn)速預(yù)變形葉片在2:1 內(nèi)共振下受參數(shù)激勵(lì)的響應(yīng)并考慮立方非線性項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的影響.

1 動(dòng)力學(xué)方程

如圖1 所示為一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的變轉(zhuǎn)速預(yù)變形細(xì)長(zhǎng)葉片.其一端固結(jié)在轉(zhuǎn)軸半徑為r的圓盤(pán)上，另一端自由，考慮葉片轉(zhuǎn)速由一定常轉(zhuǎn)速?1和一簡(jiǎn)諧變化的微小擾動(dòng)?2sin(!t)疊加而成，即?(t)=?1+?2sin(!t).葉片在安裝時(shí)與圓盤(pán)有一定的角度，稱(chēng)為安裝角Ψ.葉片的總預(yù)扭角為Θ.由于受溫度梯度影響，葉片產(chǎn)生預(yù)變形u20和u30，分別表示弦向和翼向，忽略軸向預(yù)變形(軸向預(yù)變形遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向)，利用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)可得到在熱梯度作用下預(yù)扭葉片沿截面兩主軸的曲率函數(shù)，見(jiàn)文獻(xiàn)[28].為了描述葉片振動(dòng)過(guò)程中的構(gòu)形，本文建立了兩套坐標(biāo)系，一套慣性坐標(biāo)系XYZ固定在圓盤(pán)中心，一套旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系xyz連接在旋轉(zhuǎn)葉片根部上，x沿著未變形葉片的軸線方向(左右)，y為弦向(前后)，z為翼向(上下).

圖1 變轉(zhuǎn)速預(yù)變形葉片示意圖Fig.1 Diagram of pre-deformed blade with varying speed

為了推導(dǎo)出葉片的解析模型，本文作出如文獻(xiàn)[5,28]中假設(shè)，根據(jù)Von-Karman 應(yīng)變--位移公式

上式中，u1，u2，u3表示為梁軸線上任一點(diǎn)處位移，通過(guò)上述假設(shè)，變形能可寫(xiě)成如下形式

由于離心力作用產(chǎn)生的軸向收縮勢(shì)能可表達(dá)為

可得總勢(shì)能為

旋轉(zhuǎn)葉片的動(dòng)能可表達(dá)如下

其中，頂標(biāo) 表示對(duì)時(shí)間求微分，在此文中對(duì)于外力做功，只考慮黏性阻尼力的作用，阻尼系數(shù)為cd.

利用假設(shè)模態(tài)法，將位移函數(shù)分解成關(guān)于時(shí)間和空間的函數(shù)，空間函數(shù)表達(dá)如下

上式中參數(shù)βj，可見(jiàn)文獻(xiàn)[31].

將式(4)和式(5)代入Lagrange 動(dòng)力學(xué)方程中，為了使方程更具普遍性，引入無(wú)量綱參數(shù)，如下

對(duì)方程進(jìn)行處理，為了書(shū)寫(xiě)的簡(jiǎn)潔性，將式(7)中無(wú)量綱參數(shù)中上劃線符號(hào)忽略不寫(xiě)，可得下列無(wú)量綱化動(dòng)力學(xué)方程

上式方程中下劃線代表與文獻(xiàn)[28]一文中受迫振動(dòng)不同項(xiàng)，方程(8)控制著軸向運(yùn)動(dòng)，方程(9)、方程(10)控制著弦向和翼向，從上式中可以發(fā)現(xiàn)加上預(yù)變形，方程中多了平方項(xiàng)和立方項(xiàng)，令預(yù)變形項(xiàng)為零、轉(zhuǎn)速變?yōu)槌＾D(zhuǎn)速并且不考慮外力項(xiàng)，方程就退化成文獻(xiàn)[5]的模型.

2 多尺度分析

正如文獻(xiàn)[5]中所說(shuō)，對(duì)于細(xì)長(zhǎng)歐拉梁，其軸向第一階固有頻率遠(yuǎn)高于彎曲振動(dòng)固有頻率，葉片系統(tǒng)前幾階模態(tài)主要表現(xiàn)為彎曲變形，因此忽略軸向收縮變形與彎曲變形耦合作用，上式只留下方程(9)和(10)，同時(shí)將方程中雙下劃線部分(跟q1j相關(guān)項(xiàng))略去，并通過(guò)模態(tài)矩陣[30]對(duì)線性部分進(jìn)行解耦，可得下式

上式方程中各系數(shù)可見(jiàn)附錄，ηijk,ξijk參數(shù)可見(jiàn)文獻(xiàn)[32]對(duì)方程(11)進(jìn)行重刻度

并將非線性方程穩(wěn)態(tài)解展開(kāi)成下式

其中，T0=t為快時(shí)間尺度，T1=為慢時(shí)間尺度，將方程(13)代入方程(11)中，分別取階可得

從方程(14)中可求得

其中，Ai是關(guān)于T1的復(fù)函數(shù)，cc表示前面各項(xiàng)的復(fù)共軛項(xiàng).Ai和Bi表達(dá)式如下

其中，ai和ζi分別為幅值和相角，均為慢時(shí)間尺度T1的函數(shù)，將式(16)代入式(15)中，可得

文獻(xiàn)[28]的圖3 和圖4 詳細(xì)研究了旋轉(zhuǎn)預(yù)變形葉片隨轉(zhuǎn)速、預(yù)變形程度變化過(guò)程中，系統(tǒng)前兩階固有頻率的變化規(guī)律.發(fā)現(xiàn)在特定的組合參數(shù)下，系統(tǒng)具有發(fā)生2:1 內(nèi)共振的可能性.為研究2:1 內(nèi)共振下，非線性振動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生一階次諧波共振的振動(dòng)特性，引入兩個(gè)解諧參數(shù)σ1和σ2，用σ1表示接近的程度，用σ2表示接近的程度

從方程(18)中消除久期項(xiàng)，分離實(shí)部和虛部可得如下的演化方程

其中，上標(biāo)I 表示虛部，R 表示實(shí)部

當(dāng)a1，a2，與時(shí)間T1無(wú)關(guān)時(shí)，可以求解得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).因此方程(20)可令等式左邊為零，并求解對(duì)應(yīng)的非線性代數(shù)方程組即得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，解分為兩種情況:(i)a1=0，a2≠0 稱(chēng)為單模態(tài)解;(ii)a1≠0，a2≠0 稱(chēng)為雙模態(tài)解，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過(guò)Lyapunov 準(zhǔn)則判斷，具體可見(jiàn)文獻(xiàn)[32-33].

4 參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)頻響曲線的影響

圖2～圖4 分別考慮了溫度梯度、阻尼系數(shù)以及轉(zhuǎn)速擾動(dòng)幅值對(duì)模態(tài)頻率響應(yīng)的影響，圖中實(shí)線表示穩(wěn)定區(qū)域，虛線表示不穩(wěn)定區(qū)域，由上述圖可以得知在2:1 內(nèi)共振中，模態(tài)頻率響應(yīng)曲線中會(huì)同時(shí)出現(xiàn)軟特性和硬特性.由圖2 可知，隨著溫度梯度的增大，一階、二階模態(tài)頻率響應(yīng)曲線有向外張開(kāi)的趨勢(shì)且峰值增大，其不穩(wěn)定區(qū)域變大；在圖3 中，隨著阻尼系數(shù)的增大，曲線仍有向外張開(kāi)的趨勢(shì)，但峰值降低，表明當(dāng)有阻尼約束時(shí)，對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)有較大的抑制作用，由圖3 可見(jiàn)，阻尼系數(shù)由0.1 變?yōu)?.3，響應(yīng)峰值降低近3 倍，同時(shí)不穩(wěn)定區(qū)域變??；在圖4 中，隨著擾動(dòng)轉(zhuǎn)速的增大，曲線呈現(xiàn)出向內(nèi)閉合的趨勢(shì)且峰值增大，并且不同于溫度梯度影響，在不同擾動(dòng)轉(zhuǎn)速在同一頻率下，其幅值不會(huì)相交.

圖2 溫度梯度變化對(duì)前兩階模態(tài)頻率響應(yīng)曲線的影響Fig.2 The effect of temperature gradient on the responses of the first two modal frequency

圖3 阻尼變化對(duì)前兩階模態(tài)頻率響應(yīng)曲線的影響Fig.3 The effect of damping on the responses of the first two modal frequency

圖4 轉(zhuǎn)速擾動(dòng)幅值變化對(duì)前兩階模態(tài)頻率響應(yīng)曲線的影響Fig.4 The effect of amplitude of revolution disturbance on the responses of the first two modal frequency

5 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文建模的正確性，忽略本文建立的動(dòng)力學(xué)模型中預(yù)變形和轉(zhuǎn)速的影響，將本文模型得到的前四階固有頻率與其他文獻(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比，如表1 表示.

表1 中與文獻(xiàn)[5,34]進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)前四階固有頻率最大誤差不超過(guò)0.1%.

為了驗(yàn)證多尺度法得到的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的正確性，本節(jié)采用Runge-Kutta 法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(11)進(jìn)行數(shù)值積分.在數(shù)值積分中，仿真時(shí)間設(shè)定足夠長(zhǎng)，以確保系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，同時(shí)，數(shù)值積分初值在單模態(tài)穩(wěn)定解附近選取.

表1 前四階固有頻率的比較(γ=0，κ=0:25，δ=2)Table 1 Comparison of the lowest four natural frequencies(γ=0，κ=0:25，δ=2)

通過(guò)正向、反向掃頻研究立方項(xiàng)在2:1 內(nèi)共振中對(duì)方程的影響程度，結(jié)果如下.

圖5 中圓圈代表對(duì)原系統(tǒng)數(shù)值積分中不考慮立方非線性項(xiàng)影響，加號(hào)代表考慮立方非線性項(xiàng)，實(shí)線代表解析解，紅色虛線代表不穩(wěn)定區(qū)域.可以發(fā)現(xiàn)在2:1 內(nèi)共振下，立方非線性對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響很小，僅在完全內(nèi)共振處有細(xì)微偏差.同時(shí)，在正向和反向掃頻中，發(fā)現(xiàn)有兩處跳躍點(diǎn)，在頻響曲線的多解頻帶中，系統(tǒng)有兩個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定解和一個(gè)不穩(wěn)定解，由于在實(shí)驗(yàn)中只能實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，因此在正反兩個(gè)方向掃頻激勵(lì)中會(huì)出現(xiàn)圖示路徑的跳躍現(xiàn)象，并且跳躍點(diǎn)附近雙模態(tài)解吸引域較小，穩(wěn)態(tài)解吸引到單模態(tài)解中，振幅發(fā)生突變.解析解和數(shù)值解吻合較好，從側(cè)面證明多尺度處理的正確性.

此外，利用控制變量的思想，探究了擾動(dòng)速度γ2和解諧參數(shù)σ2的改變對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響.

圖6 中，當(dāng)固定σ2=0:8 時(shí)(圖6(a),圖6(b),圖6(c))，隨著γ2的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了單周期擬周期單周期的變化歷程.類(lèi)似的，當(dāng)固定γ2=0:000 9 時(shí)(圖6(d),圖6(b),圖6(e),圖6(f))，系統(tǒng)經(jīng)歷了單周期擬周期單周期多周期的變化歷程.可以看出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為與σ2，γ2緊密相關(guān)，隨參數(shù)的細(xì)微變化，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)分岔等現(xiàn)象.

圖5 正反向掃頻激勵(lì)數(shù)值仿真與解析解的對(duì)比Fig.5 Comparison of numerical simulation and analytical solution with forward sweep and backward sweep

圖6 不同γ2 和σ2 時(shí)系統(tǒng)的相圖Fig.6 The phase diagrams of system for different γ2 and σ2

圖6 不同γ2 和σ2 時(shí)系統(tǒng)的相圖(續(xù))Fig.6 The phase diagrams of system for different γ2 and σ2 (continued)

圖6 不同γ2 和σ2 時(shí)系統(tǒng)的相圖(續(xù))Fig.6 The phase diagrams of system for different γ2 and σ2 (continued)

6 結(jié)論

本文主要研究了參數(shù)激勵(lì)下，預(yù)變形變轉(zhuǎn)速葉片的非線性動(dòng)力學(xué)特性，研究不同參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)模態(tài)頻率響應(yīng)的影響，并考慮立方項(xiàng)在2:1 內(nèi)共振時(shí)對(duì)方程的影響，最后利用數(shù)值積分與解析解進(jìn)行驗(yàn)證.結(jié)果發(fā)現(xiàn)：隨著溫度梯度增大時(shí)，模態(tài)頻率響應(yīng)曲線有向外張開(kāi)的趨勢(shì)，同時(shí)幅值增大，不穩(wěn)定區(qū)域增大；當(dāng)轉(zhuǎn)速擾動(dòng)幅值增大時(shí)，幅值同樣增大，不穩(wěn)定區(qū)域增大，不同于溫度梯度，其模態(tài)頻率響應(yīng)曲線向內(nèi)閉合，并且不同擾動(dòng)轉(zhuǎn)速在同一固有頻率下，其幅值不會(huì)相交；阻尼系數(shù)改變對(duì)系統(tǒng)的幅值影響最大，當(dāng)阻尼系數(shù)由0.1 變?yōu)?.3，其幅值降低近3 倍，同時(shí)，不穩(wěn)定區(qū)域減??；立方項(xiàng)在2:1 內(nèi)共振中對(duì)方程的影響可近似忽略，利用原系統(tǒng)數(shù)值積分對(duì)解析解進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)兩者吻合較好.

附錄A

式(11)中各矩陣及其表達(dá)式如下