宋 娟，劉琪才，陸顥瓚，楊佳慧，朱宇宬,王德波

(1.青島黃海學(xué)院智能制造學(xué)院，山東青島 266427；2.南京郵電大學(xué)電子與光學(xué)工程學(xué)院，江蘇南京 210023)

0 引言

在振動(dòng)能量收集領(lǐng)域中，壓電式振動(dòng)能量收集器作為一種較好的解決方案，有著結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、輸出功率大、電能直接輸出、發(fā)熱較小、不受電磁干擾以及易于通過MEMS技術(shù)集成等諸多優(yōu)點(diǎn)，目前成為振動(dòng)能量收集領(lǐng)域應(yīng)用較多、研究較多的一種能量收集方式[1-3]?，F(xiàn)有的大多數(shù)能量收集器件均為基于線性幾何構(gòu)型設(shè)計(jì)的懸臂梁結(jié)構(gòu)，但是單一懸臂梁能量收集器工作頻帶窄，輸出電壓低且受到激勵(lì)方向的限制，針對(duì)上述存在的缺點(diǎn)，人們開發(fā)出了多種不同的懸臂梁結(jié)構(gòu)以提高能量收集器的性能[4-6]。

Kasyap等設(shè)計(jì)了具有多種諧振頻率的能量收集器結(jié)構(gòu)，通過改變自由端質(zhì)量塊的大小實(shí)現(xiàn)多種諧振頻率的線性懸臂梁組合構(gòu)型[7]，或通過線性幾何構(gòu)型的尺寸變化來改變多階諧振頻率的間距[8]，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同頻率寬帶的壓電振動(dòng)能量收集器[9]；陳仁文等提出了褶皺型懸臂梁結(jié)構(gòu)，利用曲面懸臂梁實(shí)現(xiàn)輸出性能的提升；侯志偉提出了蒲公英狀懸臂梁結(jié)構(gòu)[10]，利用不同指向的線性懸臂梁構(gòu)型實(shí)現(xiàn)不同方向的能量收集，當(dāng)能量收集器的方向偏離最佳方向時(shí)，收集器的效率明顯下降。上述新型結(jié)構(gòu)雖然為提高壓電式振動(dòng)能量收集器性能提出了較為可行的解決方案，但實(shí)際應(yīng)用中可能會(huì)面臨諸多問題，尤其是線性幾何構(gòu)型的設(shè)計(jì)理念無法實(shí)現(xiàn)單一構(gòu)型下多方向同頻率振動(dòng)能量的吸收，其效率方面也沒有突破性的提高。

針對(duì)現(xiàn)有方案的不足，本文綜合考慮工作頻帶、多方向效率和負(fù)載特性3個(gè)因素，提出了一種基于平面工藝集成的“圓弧樹杈型壓電式能量收集器”，并且建立了相應(yīng)的器件陣子模型用于分析圓弧懸臂梁的受力情況。在非線性圓弧構(gòu)型理論的基礎(chǔ)上，建立多自由度系統(tǒng)理論，并通過測(cè)試分析器件的工作狀態(tài)，檢驗(yàn)該模型的穩(wěn)定性，得到理論輸出電壓、輸出功率、方向性效率以及耦合度大小，為下一代壓電式振動(dòng)能量收集器的設(shè)計(jì)提供新思路。

1 圓弧樹杈型能量收集器的理論分析

1.1 圓弧樹杈型懸壓電能量收集器結(jié)構(gòu)

圓弧樹杈型壓電式能量收集器結(jié)構(gòu)如圖1所示，整個(gè)結(jié)構(gòu)通過固定梁、直形主梁，圓弧形副梁以及副梁上的質(zhì)量塊組成，其中每個(gè)副梁上的質(zhì)量塊的厚度不同，因此質(zhì)量塊的質(zhì)量不同，以及每個(gè)副梁上的質(zhì)量塊距固定端的有效距離也不同，由此可以達(dá)到不同諧振頻率的目的，本文所述的結(jié)構(gòu)為一種演示結(jié)構(gòu)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際需求擴(kuò)展副梁的數(shù)量。

圖1 圓弧樹杈型壓電式能量收集器結(jié)構(gòu)

該結(jié)構(gòu)通過4個(gè)質(zhì)量塊不同的圓弧懸臂梁實(shí)現(xiàn)4個(gè)相鄰的諧振頻率，從而提高器件的整體工作帶寬，同時(shí)通過樹杈的方式組合降低了器件占用面積，提高了面積使用率。在懸臂梁的設(shè)計(jì)上，基于非線性幾何構(gòu)型的設(shè)計(jì)理念，使用了新穎的圓弧梁設(shè)計(jì)，不同于常見的線性直型梁構(gòu)型，只能利用彎矩產(chǎn)生的應(yīng)力變化，圓弧梁在受到外部激勵(lì)的作用下能同時(shí)產(chǎn)生彎矩和扭矩兩種應(yīng)力源，其中扭矩產(chǎn)生的應(yīng)力變化遠(yuǎn)大于彎矩產(chǎn)生的應(yīng)力變化，而壓電式能量收集器的輸出電能是與壓電材料表面所受應(yīng)力成正比的，因此基于圓弧梁的壓電能量收集器能夠產(chǎn)生更大的輸出電壓和輸出功率。因此，圓弧梁能夠有效吸收各個(gè)方向的激勵(lì)，而常見的直形懸臂梁的最佳接收方向?yàn)榱浩矫娴姆ǚ较?，一旦激?lì)偏離這一方向就無法有效產(chǎn)生彎矩，懸臂梁的形變、表面應(yīng)力以及壓電材料的電能輸出將大幅度下降。

1.2 樹杈型懸臂梁多階頻率

根據(jù)能量守恒理論，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能在任意時(shí)間之和為常數(shù)，即

(1)

式中：Ed為系統(tǒng)動(dòng)能；Es為系統(tǒng)勢(shì)能。

推廣至樹杈振動(dòng)系統(tǒng)，樹杈圓弧壓電式能量收集器的動(dòng)能和勢(shì)能分別表示為[11]

(2)

式中：kz為直形主梁的等效彈性系數(shù)；kf為圓弧副梁的等效彈性系數(shù)；mz為直形主梁的等效質(zhì)量；mf為圓弧副梁以及副梁上質(zhì)量塊的等效質(zhì)量；rf為各圓弧副梁的振動(dòng)偏移；rz為直形主梁的振動(dòng)偏移。

由于直形主梁的幾何構(gòu)型呈線性，當(dāng)發(fā)生自由振動(dòng)時(shí)，固定端向載重端一方的截面應(yīng)力分布均勻，所以線性構(gòu)型下的振動(dòng)偏移方程rz可近似等效為

rz=Acos(vt+φ)

(3)

式中：A為直形主梁的振幅；v為振動(dòng)速度；φ為直形主梁與固定梁之間的相對(duì)轉(zhuǎn)角。

將式(3)代入式(2)，可得樹杈振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程[12]：

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)一步求解可得：

(5)

該行列式中線性主梁構(gòu)型的彈性系數(shù)經(jīng)化簡(jiǎn)得：

(6)

式中：d為直形主梁的長(zhǎng)度；Tt為直形主梁彈性模量；Jl為直形主梁的慣性矩。

假定直形主梁的彈性系數(shù)kz理想狀態(tài)下對(duì)各圓弧形副梁的振動(dòng)影響相同，但實(shí)際中由于圓弧形副梁固定于直形主梁的位置存在差異，所以對(duì)各圓弧形副梁的振動(dòng)影響不同。假定各圓弧形副梁間振動(dòng)無耦合，各圓弧形副梁的彈性系數(shù)kf均可等效為單圓弧形壓電能量收集器的彈性系數(shù)k0：

(7)

式中：b為質(zhì)量塊邊長(zhǎng)；l為圓弧副梁的弧中點(diǎn)半徑；Ec為圓弧副梁彈性模量；Ic為圓弧副梁的慣性矩。

基于此，聯(lián)立式(5)-式(7)可得到樹杈系統(tǒng)在理想情況下前四階諧振頻率的值分別為

(8)

1.3 樹杈型懸臂梁開路電壓分析

由于圓弧梁的幾何構(gòu)型呈非線性，當(dāng)發(fā)生自由振動(dòng)時(shí)，固定端向載重端一方的截面應(yīng)力分布不均勻，根據(jù)文獻(xiàn)[13]的微分方程組和模態(tài)分析理論用于處理非線性圓弧副梁構(gòu)型，可解得各圓弧形副梁的振動(dòng)偏移為

(9)

式中：ρc1(x)為圓弧梁模態(tài)；υm為圓弧形樹杈振動(dòng)模型的多階諧振頻率；Cc各圓弧副梁的壓電層間電容;Rl為層間電阻；Fo為外部激勵(lì)；υn為系統(tǒng)的一階固有頻率；υo為外部激勵(lì)頻率；ζm為阻尼比。

由式(9)可得各圓弧形副梁的開路電壓方程為

(10)

式中：Rd為負(fù)載電阻；χ為等效耦合系數(shù)。

1.4 建模與仿真

建立樹杈圓弧形懸臂梁壓電式能量收集器的模型，其器件結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，材料參數(shù)如表2所示。

表1 圓弧樹杈型壓電能量收集器結(jié)構(gòu)參數(shù) mm

表2 能量收集器材料參數(shù)

利用Comsoltm有限元仿真軟件，設(shè)定激勵(lì)加速度1.1g(g為重力加速度)，設(shè)定頻率取值在3～6 Hz，假設(shè)圓弧樹杈型及單自由度能量收集器的振動(dòng)方向?yàn)閆軸方向，通過改變作用在其上的振動(dòng)頻率，仿真結(jié)果如圖2所示。

(a)X軸激勵(lì)方向的理論頻率響應(yīng)

(b)Y軸激勵(lì)方向的理論頻率響應(yīng)

(c)Z軸激勵(lì)方向的理論頻率響應(yīng)

單自由度與樹杈型的諧振頻率都與式(8)的理論諧振頻率基本一致。根據(jù)仿真結(jié)果，樹杈及單自由度圓弧形器件的諧振頻率及對(duì)應(yīng)開路電壓如表3所示。

從表3可以看出：樹杈圓弧形壓電式能量收集器的四階諧振頻率分別為：4.08、4.38、4.50、4.74 Hz，對(duì)應(yīng)的開路電壓分別為：19.45、26.93、25.93、21.1 V。單自由度圓弧形器件的一階諧振頻率及開路電壓為4.74 Hz和31.38 V。由于樹杈型結(jié)構(gòu)具有四階諧振頻率且在各方向上相差不大，較之于只有一階諧振頻率的單自由度結(jié)構(gòu)顯著提高了其工作頻率，具有高寬帶的優(yōu)勢(shì)。

表3 圓弧樹杈形壓電能量收集器頻率響應(yīng)理論值

2 圓弧樹杈型能量收集器實(shí)驗(yàn)測(cè)量

2.1 圓弧樹杈型能量收集器頻率響應(yīng)測(cè)試

為驗(yàn)證圓弧樹杈型壓電式能量收集器具有寬頻帶特性，首先以Z振動(dòng)方向?yàn)槔?，利用振?dòng)臺(tái)控制振動(dòng)頻率變化進(jìn)行掃頻實(shí)驗(yàn)測(cè)量開路電壓，獲取能量收集器的頻率響應(yīng)測(cè)試值，由該模型的電壓理論式(10)可得Z軸振動(dòng)方向下兩系統(tǒng)開路電壓與頻率的關(guān)系如圖3所示。

圖3 Z軸方向下開路電壓與頻率關(guān)系圖

由圖2(a)可知單自由度圓弧型能量收集器的理論寬帶為0.24 Hz，圓弧樹杈型能量收集器的理論寬帶為0.98 Hz，有效帶寬擴(kuò)展了0.74 Hz。根據(jù)圖3及測(cè)試得到的數(shù)據(jù)可知：?jiǎn)巫杂啥葓A弧型能量收集器的測(cè)量寬帶也是0.24 Hz，而圓弧樹杈型的測(cè)量寬帶為1.45 Hz，有效帶寬擴(kuò)大了1.21 Hz。對(duì)比實(shí)測(cè)與理論的頻帶寬度結(jié)果發(fā)現(xiàn)其存在一定的差異，造成這個(gè)差異的原因可能為理論模型采用的是無級(jí)間耦合時(shí)的理想情況，忽略了外力及阻尼的影響。而實(shí)際測(cè)試中圓弧懸臂梁在同一主梁上的振動(dòng)將相互傳遞，從而使得其阻尼比之差減小，阻尼比的差異將導(dǎo)致實(shí)測(cè)的系統(tǒng)具有較寬的頻帶。

2.2 樹杈及單自由度圓弧型能量收集器方向性對(duì)比

通過理論結(jié)果可知兩圓弧形系統(tǒng)在X軸及Y軸方向仍有有效輸出，為驗(yàn)證圓弧樹杈型壓電式能量收集器在不同方向激勵(lì)下的效率，按照上述測(cè)試方法分別施加X軸、Y軸方向的振動(dòng)激勵(lì)以獲得其頻率響應(yīng)，水平振動(dòng)方向下開路電壓與頻率的關(guān)系如圖4與圖5所示。振動(dòng)激勵(lì)方向的變化不會(huì)影響各圓弧懸臂梁諧振頻率的變化，即兩圓弧形結(jié)構(gòu)具備多方向同頻率吸收能量的特點(diǎn)。分析兩系統(tǒng)不同方向下的頻率響應(yīng)特性可知：同時(shí)激勵(lì)方向?yàn)閆軸和Y軸時(shí)電能輸出變化差異小，激勵(lì)方向?yàn)閄軸時(shí)電能輸出有明顯下降，但依舊有有效輸出。因此，對(duì)比樹杈型及單自由度圓弧型能量收集器的理論及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，由于樹杈型系統(tǒng)具有四階諧振頻率，提高了壓電式能量收集器的寬帶工作特性，但在Z軸和X軸激勵(lì)方向下較之于單自由度圓弧型系統(tǒng)具有較低的開路電壓輸出。

圖4 X軸方向下開路電壓與頻率關(guān)系圖

圖5 Y軸方向下開路電壓與頻率關(guān)系圖

3 結(jié)束語

本文通過對(duì)樹杈型圓弧壓電式能量收集器的設(shè)計(jì)，在單圓弧多方向壓電能量收集理論的基礎(chǔ)上建立了新的理論模型，并且分析了圓弧非線性構(gòu)型在不同方向激勵(lì)作用下的輸出。該系統(tǒng)成功縮減了多階頻率間距，通過對(duì)理論模型的分析以及實(shí)驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證了樹杈型圓弧壓電式能量收集器在工作頻帶、輸出電壓、輸出功率、方向效率上的諸多優(yōu)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該能量收集器的四階諧振頻率差異小，相比于單圓弧壓電能量收集器具有大寬帶接收能力，同時(shí)相比于傳統(tǒng)的直型懸臂梁可輸出更高的電能；由于非線性構(gòu)型較傳統(tǒng)線性構(gòu)型的優(yōu)勢(shì)，該模型各圓弧副梁均具備單一構(gòu)型多方向振動(dòng)能量吸收的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)際應(yīng)用中可以通過增加圓弧副梁的方式進(jìn)一步擴(kuò)寬器件的工作頻帶，也能通過改變圓弧副梁的指向進(jìn)一步改善器件整體的方向效率。