朱健峰，戴 寧，劉樂樂

(南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016)

自然界充滿了各種天然多孔結(jié)構(gòu)，如骨骼、蜂窩、竹子纖維等[1-2]，這些功能性多孔結(jié)構(gòu)能夠讓自然界的生物具有適應(yīng)不同生活環(huán)境的能力。研究人員從這些生物多孔結(jié)構(gòu)中獲得靈感，將點陣結(jié)構(gòu)應(yīng)用到不同的實物中實現(xiàn)輕量化設(shè)計以及性能優(yōu)化，如網(wǎng)格狀的桁架橋、蜂巢狀建筑、仿生多孔骨組織以及采用多孔填充的金屬零部件等，促進了點陣結(jié)構(gòu)的發(fā)展。點陣結(jié)構(gòu)作為極具潛力的先進輕質(zhì)功能結(jié)構(gòu)，與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)相比具有很多特有的優(yōu)異性能[3]，在很多領(lǐng)域特別是航空航天領(lǐng)域具有巨大的應(yīng)用潛力[4]。近些年增材制造[5]的發(fā)展為點陣結(jié)構(gòu)的制造和應(yīng)用提供了極大的便利，設(shè)計者在產(chǎn)品開發(fā)設(shè)計階段不受刀具加工以及專用模具等加工條件方面的限制[6]，可以直接、快速地把設(shè)計想法變?yōu)閷嶓w零件，大大拓寬了設(shè)計者的設(shè)計思路。

通過對點陣結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計與選用，可以實現(xiàn)對目標模型的最佳輕量化，并在輕量化的同時維持或增強原始模型的特定力學特性，實現(xiàn)目標模型的特異性功能。本文將拓撲優(yōu)化與實體幾何構(gòu)造法相結(jié)合，進行點陣結(jié)構(gòu)的參數(shù)化設(shè)計和性能預測，針對性地實現(xiàn)零件的功能性輕量化設(shè)計[7]。

1 點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計

點陣結(jié)構(gòu)是一種模擬生物微觀分子構(gòu)型，通過連接桿件單元和節(jié)點，并按照一定的規(guī)律排列組成的一種具有周期性的拓撲結(jié)構(gòu)，不同的點陣結(jié)構(gòu)單元構(gòu)成的輕質(zhì)點陣結(jié)構(gòu)具有不同的力學性能[8]。現(xiàn)有的點陣結(jié)構(gòu)類型繁多，實際應(yīng)用過程中難以在相應(yīng)的載荷條件下確定對應(yīng)的點陣結(jié)構(gòu)，設(shè)計時選擇困難。本文提出了基于拓撲優(yōu)化原理的點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，在不同載荷、邊界條件下得到對應(yīng)的優(yōu)化點陣單元結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)功能性點陣力學性能匹配。

1)基于拓撲優(yōu)化的點陣結(jié)構(gòu)單元。

拓撲優(yōu)化是一種數(shù)學優(yōu)化方法，其本質(zhì)上是在不斷迭代分析的過程中尋找設(shè)計區(qū)域內(nèi)最優(yōu)的材料分布。本文采用基于變密度法的拓撲優(yōu)化算法[9]進行微結(jié)構(gòu)單元的拓撲優(yōu)化設(shè)計。變密度法[10]是最常用的拓撲優(yōu)化方法，其建立了材料彈性模量與材料密度之間確定的數(shù)學關(guān)系，每個設(shè)計區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格單元的密度為一個優(yōu)化變量，密度閾值為0～1，它借鑒了均勻化方法的經(jīng)驗和成果，直接建立起設(shè)計材料的彈性模量與網(wǎng)格單元密度之間的線性關(guān)系。以單元剛度最大為優(yōu)化目標，體積率20%作為約束條件，建立單元結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化模型：

find:x={x1,x2,…,xN}T∈RN

(1)

(2)

(3)

式中：x為整個優(yōu)化模型的設(shè)計變量;xi為單元密度閾值；xmax,xmin分別為設(shè)計區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格單元相對密度的最大值和最小值；C(x)為整體結(jié)構(gòu)(包含設(shè)計區(qū)域和非設(shè)計區(qū)域)的柔度矩陣；F為整體結(jié)構(gòu)所承受的載荷矩陣；U為整體結(jié)構(gòu)的位移矩陣；K為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；ui為設(shè)計區(qū)域網(wǎng)格單元的位移矩陣；ki為設(shè)計區(qū)域單元的剛度矩陣；V為設(shè)計區(qū)域結(jié)構(gòu)的有效體積；V0為設(shè)計區(qū)域的原始體積；vi為網(wǎng)格單元體積；f為設(shè)計區(qū)域內(nèi)拓撲優(yōu)化后結(jié)構(gòu)相對于設(shè)計區(qū)域內(nèi)原始結(jié)構(gòu)的體積率；N為離散網(wǎng)格單元總數(shù)；P為懲罰因子。

設(shè)置如圖1所示的4種載荷邊界條件，分別代表立方單元承受拉壓、扭轉(zhuǎn)和剪切載荷時的4種情況。第一種為8個頂點受拉(壓)載荷，6個面中心點固定約束，每個頂點均受到X,Y,Z軸3個方向的分力各5 N；第二種為8個頂點固定約束，6個面的中心點受拉(壓)載荷，每個點均受到垂直于該面的拉(壓)力20 N；第三種為頂面4個頂點各受5 N的集中力載荷，力的方向為逆時針方向，模擬扭轉(zhuǎn)情況下的載荷條件，底面4個頂點固定約束；第四種為在原始立方體的右側(cè)面上半部分與左側(cè)面的下半部分分別施加5 MPa的面壓力，模擬受剪切的載荷條件。

圖1 4種載荷邊界條件

前兩種情況目標區(qū)域的載荷邊界條件及模型具有三軸對稱性，優(yōu)化結(jié)果也具有對稱特性；第三種情況模擬扭轉(zhuǎn)載荷條件時各側(cè)面受力方向一致，優(yōu)化結(jié)果同樣具有對稱性；而在模擬剪切載荷條件時載荷邊界只有一個方向，因此第四種拓撲優(yōu)化模型不具有完全對稱性。4種載荷邊界條件下拓撲優(yōu)化后的點陣結(jié)構(gòu)單元如圖2所示。結(jié)果充分體現(xiàn)了材料對于不同載荷工況的適應(yīng)性。

圖2 4種載荷邊界條件下的拓撲優(yōu)化后點陣結(jié)構(gòu)單元

2)拓撲點陣結(jié)構(gòu)單元設(shè)計。

常見的三維點陣結(jié)構(gòu)有面心立方、體心立方、八面體結(jié)構(gòu)、金剛石結(jié)構(gòu)、三維Kagome結(jié)構(gòu)等[11]。拓撲優(yōu)化直接獲得的單元具有不規(guī)則形狀，曲面復雜，不能直接用于對結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計，需要將拓撲優(yōu)化獲得的點陣結(jié)構(gòu)單元規(guī)則化，形成具有規(guī)則形狀的、具有一致特征的點陣結(jié)構(gòu)規(guī)則單元，這一步本文稱之為拓撲點陣結(jié)構(gòu)單元的點陣化。

考慮到剪切載荷邊界條件的不對稱性，結(jié)合拓撲優(yōu)化的結(jié)果，將4種載荷邊界條件的拓撲優(yōu)化單元分別設(shè)計為具有一致拓撲結(jié)構(gòu)的規(guī)則點陣結(jié)構(gòu)單元，如圖3所示，并將這4種常見點陣結(jié)構(gòu)單元作為拓撲優(yōu)化的點陣化結(jié)果。

圖3 拓撲模型的點陣結(jié)構(gòu)

2 點陣結(jié)構(gòu)單元力學性能模擬與實驗

1)點陣結(jié)構(gòu)單元力學數(shù)值分析。

采用均勻化理論對點陣結(jié)構(gòu)單元進行分析，建立復合材料四階剛度矩陣C[12]，共包含36個參數(shù)，由于四階剛度矩陣的對稱性以及所分析單元具有正交各向異性屬性，因此36個未知參數(shù)可以減為9個獨立未知參數(shù)。首先在點陣單元上分別施加6種載荷條件[13]，求出四階剛度矩陣C中的未知參數(shù)，然后根據(jù)四階剛度矩陣C求得其逆矩陣S:

(4)

式中：E1,E2,E3分別為點陣結(jié)構(gòu)單元X,Y,Z3個方向的彈性模量；G12,G13,G23分別為點陣結(jié)構(gòu)單元的剪切模量；ν12,ν21,ν13,ν31,ν23,ν32分別為點陣結(jié)構(gòu)單元的泊松比。再計算出不同點陣結(jié)構(gòu)軸方向的彈性模量、剪切模量和泊松比，并作出其與體積率的關(guān)系曲線圖，如圖4所示。

圖4 4種點陣結(jié)構(gòu)性能與體積率的關(guān)系曲線

2)點陣結(jié)構(gòu)的準靜態(tài)壓縮性能實驗。

采用準靜態(tài)單向壓縮實驗來獲得點陣結(jié)構(gòu)的靜力學性能。通過壓縮實驗(圖5)獲得點陣結(jié)構(gòu)的力-位移曲線，再換算成名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線，從而測得材料名義彈性模量E*。

圖5 點陣結(jié)構(gòu)壓縮實驗

點陣結(jié)構(gòu)及標準拉伸試件采用選擇性激光熔融技術(shù)(selective laser melting, SLM)制備。SLM技術(shù)能夠制造復雜的點陣結(jié)構(gòu)，可使用的金屬粉末材料有鈦合金、純鈦、不銹鋼、鈷鉻鋁合金、馬氏體鋼、鋁合金、鎳合金以及其他定制材料。實驗選用316L不銹鋼作為3D打印材料，其材料屬性見表1。制作的實驗試件外形尺寸為20 mm×20 mm×20 mm，每個試件在X,Y,Z方向均排列5層基本點陣單元，基本單元的尺寸為4 mm×4 mm×4 mm。改變點陣單元中桿件的半徑，獲得4種類型點陣單元5種不同體積率模型。在萬能材料試驗機(型號為cmt5305)上對試件分別施加初始接觸力30 N，下壓速度為1 mm/min，直至試件發(fā)生塑性變形，記錄過程中試件的力-位移曲線。對曲線進行處理，換算成名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線，并與數(shù)值模擬曲線進行對比，如圖6所示。

表1 316L不銹鋼材料屬性

圖6 316L不銹鋼點陣結(jié)構(gòu)彈性模量壓縮實驗與數(shù)值分析結(jié)果對比

由圖可以看出，壓縮實驗得到的彈性模量與均勻化方法數(shù)值分析獲得的結(jié)果的誤差在35%以內(nèi)，實驗獲得的彈性模量總是小于均勻化方法數(shù)值分析得到的結(jié)果。經(jīng)過分析，誤差主要是由于數(shù)值分析計算時采用的是理想模型，而實際的打印試驗件存在缺陷。同時從圖中也可以觀察到，隨著點陣結(jié)構(gòu)體積率的增加，實驗結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果之間的誤差百分比越來越小，呈下降趨勢，這說明隨著桿徑的增加，SLM工藝對點陣結(jié)構(gòu)性能的影響逐漸減小。

3 點陣結(jié)構(gòu)在連桿輕量化優(yōu)化中的應(yīng)用

以典型連桿結(jié)構(gòu)為例對其進行受載情況下的有限元分析，點陣結(jié)構(gòu)單元設(shè)為1 mm×1 mm×1 mm的正方體單元，材料選用鈦合金Ti6Al4V，其彈性模量E為110 GPa，泊松比ν為 0. 33。將連桿模型導入到ABAQUS中，并進行有限元網(wǎng)格劃分。

在頂部封閉的圓環(huán)中心設(shè)置一個參考點RP，將圓環(huán)內(nèi)部表面與參考點設(shè)置耦合約束，如圖7(a)所示。邊界條件設(shè)置為底部開孔兩端的螺栓孔固定約束，載荷條件為在參考點上施加垂直向上和向右的集中力各100 N，因為設(shè)置了耦合約束，集中力會均勻地分散在頂部圓孔的內(nèi)表面，如圖7(b)所示。

圖7 連桿結(jié)構(gòu)載荷邊界條件

由圖8(a) 所示的連桿Mises應(yīng)力云圖可以發(fā)現(xiàn)，最大應(yīng)力集中在連桿與底部半圓環(huán)連接處的兩側(cè)，連桿中間部分應(yīng)力偏低，可采用點陣結(jié)構(gòu)填充，實現(xiàn)連桿結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計。由圖8(b)所示的應(yīng)變云圖可以看出，整個連桿的變形主要是拉壓應(yīng)變，結(jié)合拓撲優(yōu)化結(jié)果，選用與立方體中心拉壓載荷下拓撲結(jié)果相似的Vertex Octa點陣單元對連桿結(jié)構(gòu)進行填充，如圖9所示。

圖8 連桿優(yōu)化前應(yīng)力應(yīng)變圖

圖9 Vertex Octa點陣單元填充結(jié)果

根據(jù)第2節(jié)中點陣結(jié)構(gòu)性能分析的結(jié)果，當Vertex Octa點陣結(jié)構(gòu)單元的體積率為0.295 776時，其彈性模量為9 762 MPa，泊松比為0.28。結(jié)合均勻化理論，在實驗中以此均質(zhì)材料替代填充的點陣結(jié)構(gòu)，并映射到連桿中部實體中進行分析，結(jié)果如圖10 所示。對比分析圖8和圖10所示的連桿優(yōu)化前后的Mises應(yīng)力云圖及應(yīng)變云圖，發(fā)現(xiàn)填充后最大應(yīng)力值并未增大，最大應(yīng)變雖略有增大，但仍滿足實際使用要求。

圖10 連桿優(yōu)化后應(yīng)力應(yīng)變圖

連桿優(yōu)化前后的位移云圖如圖11所示。通過對比分析可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化前后云圖分布基本一樣，最大位移量由填充前的0.011 56 mm增大到0.014 82 mm，體積由80 108 mm3減小到54 750 mm3，減小了1/3，連桿剛度略有降低，但比剛度約是優(yōu)化前的1.9倍。結(jié)果表明，在滿足使用要求的前提下，合理應(yīng)用點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化連桿的低應(yīng)力區(qū)，可以有效提高連桿結(jié)構(gòu)整體的比剛度。

圖11 連桿優(yōu)化前后位移云圖

4 結(jié)束語

隨著增材制造技術(shù)的不斷發(fā)展以及點陣結(jié)構(gòu)各方面優(yōu)異性能的顯現(xiàn)，點陣結(jié)構(gòu)的應(yīng)用將更加廣泛和普遍。雖然點陣結(jié)構(gòu)極具魅力和吸引力，但目前仍然有一些困難使得點陣結(jié)構(gòu)很難用在實際的零件生產(chǎn)中，主要包括點陣結(jié)構(gòu)專用建模軟件的開發(fā)、點陣結(jié)構(gòu)的力學性能研究、點陣結(jié)構(gòu)其他性能的研究、點陣結(jié)構(gòu)填充分析軟件的開發(fā)等。航空航天、汽車等領(lǐng)域零件輕量化設(shè)計的需求以及醫(yī)用假體填充結(jié)構(gòu)的設(shè)計、新型功能材料的發(fā)展需求，使得點陣結(jié)構(gòu)的發(fā)展?jié)摿薮?，因此對其進行深入研究意義重大。