王寶超，張培培，孫浩溈，尚鵬飛

（1.中機生產力促進中心，北京 100044；2.電子科技大學，成都 611731）

0 引言

輪系傳動比分配方法一般是設計者根據已知的各種裝置工況，在機械設計手冊所推薦的范圍內選擇一組合適的傳動比，這樣往往主觀性太強，使得設計隨意性和誤差較大。設計者所選擇的傳動比是否為最優(yōu)，并沒有嚴格的數學驗證和實際的工程驗證。與傳統(tǒng)的盲目選擇傳動比相比，已有很多關于傳動比和傳動級數選擇優(yōu)化的研究工作。比較早的研究是余茂芃[1]和齊人光[2]，他們進行了詳細的模型推導。羅登峰[3]和范舟[4]在輪系設計方法提出了優(yōu)化思想。廖仁文等[5]和朱文峰[6]在輪系傳動比分配中提出了多目標優(yōu)化的方法。李阿楠[7]和關維娟[8]等將輪系優(yōu)化設計在MATLAB中實現，實現了模型和優(yōu)化算法結合。

另外Thompson等人[9]是以變速器體積最小為優(yōu)化目標，以滿足表面接觸強度的基本要求出發(fā)建立數學模型，通過模型求得最優(yōu)的傳動級數和各級傳動比。Chong等[10]從輪系的傳動誤差的最大值出發(fā)建立數學模型，在分析齒輪固有誤差，安裝誤差以及回轉誤差對運動精度的影響下，以輪系在嚙合傳動過程中產生的轉角誤差與傳動比的關系來求得最優(yōu)的傳動比分配方案。

這些文獻很多都是運用輪系的總體積，總轉動慣量，總轉動誤差進行優(yōu)化。但是在關于輪系傳動比分配方案，一般遵循的原則是，使得輪系外輪廓尺寸較小，結構較緊湊，重量輕，有足夠的承載能力且轉動慣量較小，傳動誤差小，傳動精度高，傳動平穩(wěn)等。

因此文本未直接運用輪系的總體積，總轉動慣量，總轉動誤差，而是從設計原則出發(fā)，設置了三個無因次變量，即體積比V，轉動慣量比J，以及轉角誤差比β，建立其傳動級數和傳動比之間的數學模型，并進行優(yōu)化，從而得到設計輪系需要最優(yōu)級數和傳動比。

論文安排如下：第1部分為輪系傳動比分配數學模型的構建；第2部分為傳動比分配的優(yōu)化和結果分析；第3部分為總結。

1 輪系傳動比分配數學模型的構建

1.1 多級圓柱直齒輪輪系分析

多級圓柱直齒輪輪系傳動裝置（如圖1所示），總傳動比為I，傳動的總級數為N，且任意一級的小齒輪齒數相差不大。要求設計出一個轉動慣量J較小，結構較緊湊，且傳動誤差較小，傳動精度高的多級圓柱直齒輪輪系。

圖1 n級定軸輪系示意圖

首先設立數學模型中的變量：已知該多級圓柱直齒輪輪系的傳動總級數為N，所以自變量為每一級的傳動比，將每一級的傳動比假設為：Xj（j=1，2，3，…，n），其為第j級的傳動比。

根據多級圓柱直齒輪定軸輪系的傳動特點得到如下約束：

其中，1-Xj·＜ 0，j=1，2，…，n。

從模型構建的出發(fā)點來看，為了實現多級輪系的轉動慣量比J小，結構緊湊也就意味著體積比V最小，還有就是傳動誤差比β小即傳動的精度高。

為了統(tǒng)一目標，運用線性加權將三者合起來，即：轉動慣量比J，體積比V，傳動誤差比β，得到多級圓柱直齒輪輪系最優(yōu)的傳動級數以及最優(yōu)的各級的傳動比。

1.2 傳動級數和各級傳動比與轉動慣量比的單一模型

前提假設為：各小齒輪轉動慣量相同；軸和軸承的轉動慣量忽略；各個齒輪均是實心圓柱體便于計算而且齒寬和材料相同。

設：Je為等效到輸入軸上的轉動慣量；J1為主動齒輪相對于自身的轉軸轉動的轉動慣量；J2為從動齒輪相對于自身的轉軸轉動的轉動慣量。

對于n級圓柱齒輪傳動，第k級的傳動比為：

式中用xk表示傳動比ik，所以輪系的轉動慣量比與輪系的傳動比建立的目標函數為：

1.3 傳動級數和各級傳動比與體積比的單一模型

前提假設為：每一級小齒輪體積相差不大，也就是說質量相近。每一個齒輪為實心圓柱體便于計算而且齒寬和材料都相同。由于第一個和第二個齒輪體積為v1和v2（式(1)和式(2)），根據其傳動比，換算得到第二個和第三個齒輪的體積（式(6)和式(7)）。

所以輪系的總體積為：

體積比即體積的無因次系數：

V為總體積與第一個齒輪體積的比值，為體積的無因次系數。所以輪系的體積比與輪系各級的傳動比建立的目標函數為：

1.4 傳動級數和各級傳動比與傳動誤差比的單一模型

對于表示圓柱直齒輪輪系的傳動精度，因為每一級都會存在轉角誤差，而總系統(tǒng)的誤差是由于各級輪系從動輪的轉角誤差疊加造成的，如果假設圓柱直齒輪傳動輪系中各級從動輪的轉角誤差均相等的話，可以根據之前的假設推出：

一級齒輪傳動的轉角誤差β1：

二級齒輪傳動的轉角誤差：β1+β1i1；

三級齒輪傳動的轉角誤差：β1+β1i1+β1i1i2；

n級齒輪傳動的轉角誤差：

式中的β為類似于之前提到的轉動慣量比J以及體積比V的轉角的無因次系數；βt為圓柱齒輪輪系的總的轉角誤差；β1為第一級傳動的轉角誤差。所以圓柱直齒輪輪系傳動比與輪系的轉動誤差比，轉動精度建立的目標函數為：

1.5 傳動級數和各級傳動比與三個無因次變量的耦合模型

基于所建立的三個目標函數，可以分別討論圓柱直齒輪輪系中轉動慣量比J與各級傳動比，體積比V與各級傳動比，以及傳動誤差比β與各級傳動比的關系，但為了使研究優(yōu)化的結果更為精確更符合實際情況且達到最優(yōu)的效果，本文采取綜合考慮轉動慣量比J，體積比V還有轉動誤差比β三者與輪系的傳動級數n各級的傳動比ik的關系。

設總的目標函數為F為F（x1，x2，…，xn）即變量為總級數n以及每一級的傳動比ik。

設a1為轉動慣量比的線性加權系數，a2為體積比的線性加權系數，a3為傳動誤差比的線性加權系數，其總和為1（a1+a2+a3=1），于是總的目標函數（要求最?。┛梢员硎緸椋?/p>

2 優(yōu)化結果和分析

2.1 優(yōu)化過程說明

若多級輪系的總的傳動比為I，傳動級數N，假設每一級的小齒輪的齒數z相同，求解并且設計的多級傳動裝置的轉動慣量比J最小、結構最緊湊而且傳動精度最高傳動誤差最小的多級定軸圓柱齒輪傳動的輪系。為了研究各個目標與級數n還有每一級傳動比ik的大小是否有關系，研究過程分為：單獨研究轉動慣量比即轉動慣量的無因次系數與傳動比的關系；單獨研究多級輪系的結構是否緊湊與傳動比的關系，用體積比V來表示，這里的體積比為多級圓柱直齒輪輪系的總體積與第一級中的小齒輪的體積的比值，為一個無因次無單位的系數；單獨研究多級輪系的傳動誤差即傳動精度與傳動比的關系，轉動誤差可以用傳動的轉角誤差β來表示；得到每一個分目標函數與傳動級數n以及各級傳動比ik的關系之后將三個分目標函數結合成一個總的目標函數，即每一個分目標函數前面乘上相關的系數，之后求和從而得到總的目標函數，然后再分析優(yōu)化總目標函數與傳動級數n和各級傳動比ik的關系，最終得出最優(yōu)的結果，即在多級圓柱直齒輪輪系總傳動比為一個定值時，得出最優(yōu)的傳動級數n，并且求得每一級的傳動比ik，最優(yōu)的級數以及每一級的傳動比確定后，應用于到實際的多級圓柱直齒輪輪系的設計中去，從而為實際生產實踐提供最優(yōu)的參考。

2.2 傳動級數和各級傳動比與轉動慣量比的單目標優(yōu)化

對于轉動慣量比J與傳動級數n以及各級傳動比ik，為了使多級圓柱直齒輪輪系的轉動慣量比J最小，可求解得除最優(yōu)的級數n和各級傳動比ik的大小。

假設多級圓柱直齒齒輪輪系總傳動比為I=100，運用序列規(guī)劃方法（SQP）求解目標函數（如式(3)所示），最后結果得出最優(yōu)級數為8級，每一級的傳動比如表1所示。

表1 基于轉動慣量比各級傳動比

傳動級數是影響轉動慣量的一個因素，圖2給出了多級圓柱直齒輪輪系傳動級數n與轉動慣量比J的關系。

圖2 傳動級數n與轉動慣量比J的關系

從圖2可以看出，目標函數多級圓柱直齒輪輪系的轉動慣量比J與傳動的級數n的關系，可以用一個類似于開口向上的的拋物線來表示，在多級輪系的傳動級數小于8級時，隨著傳動級數的增加，該多級圓柱直齒輪輪系的轉動慣量比是逐漸減小的，而且下降趨勢是十分明顯的，而當多級輪系的傳動比大于8級的時候，隨著輪系的傳動級數的增加，該多級圓柱直齒輪輪系的轉動慣量比又是逐漸增加的，而且增加的十分緩慢，并且最終由變?yōu)橐粭l定轉動慣量比的直線的趨勢。而在輪系的傳動級數為8的時候，輪系的轉動慣量比J處在圖中的極小值點，即為最小，再觀察這8級每一級的傳動比，每一級相比于前一級的傳動比略有增大，而通過計算出來的結果可以得知，傳動級數為8級時，此時系統(tǒng)的轉動慣量無因次系數J的值確實為最小，則此時輪系總傳動比為100時，單看轉動慣量可以得到最優(yōu)的級數為8級，因此便于設計者的實際規(guī)劃級數n。

2.3 傳動級數和各級傳動比與體積比的單目標優(yōu)化

對于分析多級圓柱直齒輪輪系的體積比V與傳動級數n以及各級傳動比ik的關系，目的就是通過構建的數學模型求得最優(yōu)的級數和各級傳動比的大小，從而使的多級輪系的結構最為緊湊。假設所設置的多級圓柱直齒輪輪系總傳動比為100，運用序列規(guī)劃方法（SQP）求解目標函數（如式(10)所示）。最后結果得出最優(yōu)級數為5級，每一級的傳動比如表2所示。

表2 基于體積比各級傳動比

傳動級數是影響體積比的一個因素，圖3給出了多級圓柱直齒輪輪系傳動級數n與體積比V的關系。

圖3 傳動級數n與體積比V的關系

由圖3可以看出，目標函數多級圓柱直齒輪輪系的體積比V與傳動的級數n的關系，可以用一個類似開口向上的拋物線來表示，類似于轉動慣量比J與傳動級數的趨勢，由圖可看出，當傳動級數n為5時，體積比V的值為最小，而在傳動級數小于5的情況下，多級輪系的體積比下降的十分明顯，而當傳動級數大于5時，由圖可看出，該多級圓柱直齒輪輪系的體積比近似為一條直線，即體積比近似于一個定值，由所繪制的求每一級的傳動比的公式，得到的每一級的傳動比，可以看出每一級相比于前一級的傳動比略有增大，每一級相比于前一級傳動比增大差不多0.2左右。當所設置的多級圓柱齒輪輪系總傳動比為100時，單看體積比V可以得到最優(yōu)的級數為5級，因此便于設計者的實際規(guī)劃級數。

2.4 傳動級數和各級傳動比與傳動誤差比的單目標優(yōu)化

對于傳動誤差，用傳動誤差β來表示，研究其與傳動級數以及各級傳動比關系，是為了求得多級輪系的最優(yōu)的傳動級數n和每一級的傳動比ik的大小使的多級圓柱直齒齒輪輪系的傳動精度最高，傳動誤差最小。

假設所設置的多級圓柱直齒輪輪系總傳動比為100，運用序列規(guī)劃方法（SQP）求解目標函數（如式(11)所示）。最后結果得出最優(yōu)級數為8級，每一級的傳動比如表3所示。

表3 基于轉動誤差比各級傳動比

傳動級數是影響傳動誤差的一個因素，圖4給出了多級圓柱直齒輪輪系傳動級數n與轉動誤差比β的關系。

圖4 傳動級數n與轉動誤差比β的關系

由圖4可以看出，其實傳動比的級數n與轉角誤差β的關系其實并不是很大，沒有明顯的關系，由圖可得當所設的傳動級數在3級到50級進行變化時，目標函數β的變化量在很小，而且觀察所求出來的傳動級數在4左右，而由計算出來的結果可以知道，當輪系的總傳動比為100，最優(yōu)的級數確實為4級，也就是說在多級圓柱直齒輪輪系的總傳動比為100的情況下，當傳動級數為4級的時候，該輪系的傳動誤差比β達到最小，即輪系的傳動精度最高。若想確定，其他大小的總的傳動比下，最優(yōu)的級數n，只需改變程序中的總的傳動比大小，即可以求得該總傳動比下最優(yōu)的級數，而且代入求各級傳動比的程序中，即可求出每一級的傳動比大小。

2.5 傳動級數和各級傳動比與三個無因次變量的多目標優(yōu)化

為了得到多級圓柱直齒輪輪系的傳動級數n與輪系的轉動慣量比J，體積比V，傳動精度（用轉動誤差比β表征）三者結合的關系，可以建立輪系傳動級數n與三者總目標函數F的關系，并且求得并分析二者的關系，進而求解出當多級輪系的傳動級數為n時，使得目標函數F能達到最小值，則在該級數的情況下，該多級輪系的轉動慣量比J最小，體積比V最小，傳動裝置的結構最為緊湊，而且多級輪系的傳動誤差β最小，輪系的傳動的精度最高。

假設所設置的多級圓柱直齒齒輪輪系總傳動比為I=100，運用序列規(guī)劃方法（SQP）求解目標函數（如式(12)所示）。加權系數設置為：a1=0.5954；a2=0.1282；a3=0.2764。最后結果得出最優(yōu)級數為5級，每一級的傳動比如表4所示。

表4 基于多目標的各級傳動比

傳動級數與轉動慣量比J，體積比V，傳動精度β三者之間彼此影響。圖5給出了傳動級數n與總目標函數F的關系。

圖5 傳動級數n與總目標函數F的關系

由求解出的結果以及圖5可以看出，在多級輪系的總傳動比為一個定值的情況下，傳動的級數n與目標函數F為一個類似于開口向上的拋物線，圖形類似于單獨分析轉動慣量比J與傳動級數n，單獨分析體積比V與傳動級數n的圖像，由圖5可以看出當傳動級數小于5級時，目標函數隨著級數的增加而減小，而當傳動的級數大于5級時，目標函數會隨著級數的增加而增加，當級數為5級時，目標函數達到最小值，所以最優(yōu)的傳動級數為5級，這與表4顯示的結果一致，但綜合考慮并對比與之前三個單獨目標函數的分析結果，此總目數優(yōu)化得到的最優(yōu)級數更符合實際的情況，設計的傳動的級數以及優(yōu)化的結果是充分考慮轉動慣量比小，結構較為緊湊，以及傳動誤差最小傳動的精度最高的要求。這為傳動裝置輪系的優(yōu)化提供了方便，在工程實踐中有重要意義。綜上可以得出，本文所構建的多級圓柱直齒輪傳動比優(yōu)化的數學模型準確性和有效性，優(yōu)化出來的結果可以使多級圓柱直齒輪的轉動慣量達到了最小，體積結構變得緊湊，傳動誤差變小，傳動的精度大大提高。

3 結語

對于構建的多級圓柱直齒輪輪系傳動比分配的數學模型進行分析，運用序列規(guī)劃方法進行優(yōu)化，當輪系的總傳動比為一個定值的情況下，可以得到輪系的體積比V，轉動慣量比J，相對于輪系的傳動級數的圖形為一條近似開口向上的拋物線，觀察其最低點所對應的傳動級數，即為最優(yōu)級數。并且還可得出體積比V，轉動慣量比J，以及轉動誤差比β三者共同構造的目標函數相對于傳動級數的圖像也近似為一條開口向上的拋物線，其最低點對應的級數即為最優(yōu)級數，在該級數下，多級輪系的轉動慣量最小，結構較為緊湊，并且傳動的誤差較小，傳動的精度較高。相比于之前從單個目標進行分析，多目標優(yōu)化結果更符合實際生產應用，故對生產實踐提供了理論支撐。