徐國(guó)愚

摘 ? 要：數(shù)理邏輯是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)相關(guān)理論，掌握數(shù)學(xué)證明方法以及邏輯思維能力具有重要的意義。本文針對(duì)數(shù)理邏輯內(nèi)容抽象以及公式難于記憶等問(wèn)題，結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，對(duì)數(shù)理邏輯的發(fā)展歷史及應(yīng)用進(jìn)行了梳理，對(duì)基本等值式及推理定律的記憶方法進(jìn)行了介紹，能夠幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)與理解相關(guān)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)理邏輯 ?離散數(shù)學(xué) ?基本等值式 ?推理定律

中圖分類號(hào)：G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1674-098X（2020）06（a）-0226-02

Abstract：Mathematical logic is an important part of discrete mathematics. Learning mathematical logic is of great significance for students to learn computer related theories， mathematical proof methods and logical thinking ability. Towards the problems of abstraction of mathematical logic and the equation hardly to remember， this paper analyzes the history and application of mathematical logic. It also introduces the memory method of the basic equivalent and the inference law， which can help students better Learning and understanding related knowledge.

Key Words：Mathematical logic; Discrete mathematics， basic equivalence; Law of reasoning

數(shù)理邏輯是許多《離散數(shù)學(xué)》課程的第一部分內(nèi)容[1-2]，而《離散數(shù)學(xué)》又是計(jì)算機(jī)科學(xué)的一門基礎(chǔ)必修課，因此教師講好數(shù)理邏輯內(nèi)容對(duì)于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)課程的興趣、掌握數(shù)學(xué)證明方法以及邏輯思維能力具有重要的意義。

但是，筆者在數(shù)理邏輯的教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）數(shù)理邏輯內(nèi)容偏抽象，與具體應(yīng)用聯(lián)系不夠緊密，導(dǎo)致部分學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高;（2）在推理過(guò)程中需要記憶并應(yīng)用大量等值式及推理定律，但是有些學(xué)生對(duì)于公式的記憶較吃力。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文試圖通過(guò)以下兩個(gè)方面解決：（1）講述數(shù)理邏輯的發(fā)展歷史及其應(yīng)用，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及理解深度;（2）通過(guò)類比法、舉例法、故事法等手段幫助學(xué)生理解并記憶相關(guān)公式。下文將對(duì)這兩方面內(nèi)容分別進(jìn)行闡述。

1 ?數(shù)理邏輯的發(fā)展歷史及其應(yīng)用

為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)理邏輯的作用，教師可以向?qū)W生講解它的來(lái)龍去脈以及典型的應(yīng)用，具體可以從以下三個(gè)角度進(jìn)行講述。

（1）講述邏輯推理對(duì)很多科學(xué)領(lǐng)域發(fā)展的重要作用。人類獲取知識(shí)的方法主要包括：經(jīng)驗(yàn)積累、類比推理、歸納推理、邏輯推理等[3]，但是利用前三種方法得出的結(jié)論，并非一定是正確無(wú)誤的。而邏輯推理則能夠保證只要前提正確，其結(jié)論一定是正確的。很多科學(xué)領(lǐng)域通過(guò)應(yīng)用邏輯推理方法獲取了長(zhǎng)足發(fā)展，例如：在數(shù)學(xué)中，歐式幾何通過(guò)僅有的幾條公理推理出整個(gè)幾何學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并且邏輯推理也是數(shù)學(xué)證明的基本工具;在天文學(xué)中，利用邏輯推理獲得天體間的距離;在物理學(xué)中，牛頓的經(jīng)典力學(xué)、愛(ài)因斯坦的相對(duì)論的大部分內(nèi)容以及近代很多重大理論突破都是通過(guò)邏輯推理獲得的[4]。

（2）介紹一些對(duì)數(shù)理邏輯做出重要貢獻(xiàn)的人物。古希臘哲學(xué)家亞里士多德認(rèn)為邏輯是跟真理有關(guān)的東西，因?yàn)檎胬肀仨毷墙^對(duì)正確的，他的邏輯學(xué)基礎(chǔ)是三段論，例如“所有的人都會(huì)死，蘇格拉底是人，所以，蘇格拉底會(huì)死”。17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家萊布尼茨對(duì)邏輯學(xué)進(jìn)行了短暫的研究，他的一個(gè)設(shè)想是：“當(dāng)遇到一個(gè)難題時(shí)，人們無(wú)需辯論，說(shuō)聲‘讓我們算一下，拿出筆來(lái)通過(guò)推理即可得出結(jié)論，其對(duì)錯(cuò)被所有人接受”[5]。19世紀(jì)，喬治·布爾發(fā)明了布爾代數(shù)，布爾代數(shù)是數(shù)理邏輯的雛形，在布爾代數(shù)中算子只有0（假）和1（真），基本運(yùn)算是“與”、“或”、“非”，能夠利用數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)描述邏輯推理。但是布爾代數(shù)在隨后的100多年里一直沒(méi)有得到太大的實(shí)際應(yīng)用，直到20世紀(jì)30年代，計(jì)算機(jī)科學(xué)家香農(nóng)在他的碩士論文里指出可以用布爾代數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)開(kāi)關(guān)電路，才使得布爾代數(shù)稱為數(shù)字電路的基礎(chǔ)[6]。簡(jiǎn)單的開(kāi)關(guān)電路通過(guò)布爾運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)加、減、乘、除運(yùn)算，進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn)所有復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，就這樣人們通過(guò)使用數(shù)量眾多的簡(jiǎn)單開(kāi)關(guān)電路最終造出了復(fù)雜的通用電子計(jì)算機(jī)[4]。

（3）介紹數(shù)理邏輯在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的典型應(yīng)用。教師可以講述數(shù)理邏輯在數(shù)字電路設(shè)計(jì)、信息查詢以及人工智能等方面的典型應(yīng)用。

2 ?基本等值式及推理定律的記憶方法

在數(shù)理邏輯中要求學(xué)生記憶眾多基本等值式以及推理定律，如果學(xué)生只是死記硬背將很容易遺忘。教師可以通過(guò)類比法、舉例法、故事法等手段幫助學(xué)生理解并記憶相關(guān)公式。下面對(duì)一些常用公式進(jìn)行舉例說(shuō)明，其中符號(hào)p、q、r、s均表示命題。