任曉雨，肖麗英，郝智秀

（清華大學機械工程系，設(shè)計工程研究所，北京 100084）

1 引言

多孔材料的優(yōu)點在于其輕量化，多功能性和可設(shè)計性。根據(jù)多孔材料的微觀結(jié)構(gòu)可將多孔材料分為無序和有序兩類[12]，前者主要包括開孔和閉孔的泡沫材料，后者主要包括蜂窩、類桁架點陣[11]以及一些其他由規(guī)則單元結(jié)構(gòu)有序排列組成的材料。多孔材料的孔隙尺寸可以在毫米、微米直至納米尺度變化。多孔材料有良好的能量吸收、傳熱和振動吸能特性[10]，在航空航天和汽車等領(lǐng)域有著很好的應用前景，例如利用其良好的傳熱性能，多孔金屬材料可以用來制造散熱裝置，利用其輕量化的特點制造的零件可以減輕各類航天器的重量，利用其良好的吸能特性可以制造吸能部件等。多孔材料中的類桁架點陣材料可控變量很多，可設(shè)計性很強，所以類桁架點陣材料的類型、力學分析模型以及優(yōu)化算法是多孔材料應用的關(guān)鍵，將不同類桁架點陣類型、力學分析模型和優(yōu)化算法做了比較，并對之后的研究方向給出了自己的觀點。

2 類桁架點陣材料單元結(jié)構(gòu)的主要類型

不同類型的類桁架點陣材料主要是由于所選用的單元結(jié)構(gòu)（unit cell）不同以及排布方向不同而產(chǎn)生的，組成多孔材料的不同單元結(jié)構(gòu)可以歸納為以下幾類。

2.1 Cross1，G6，G7 和 dobe-thin[13]單元結(jié)構(gòu)

Cross1，G6，G7 以及 dobe-thin 是四種基本單元結(jié)構(gòu)，從結(jié)構(gòu)復雜程度上來講，cross1 最簡單，其次是G6 和G7，而dobe-thin最復雜，它們都可以看成是由長方形或者圓形截面的多根桿交匯組合而成，具體形狀，如圖1 所示。其中G7 單元結(jié)構(gòu)在組成材料時繞內(nèi)部錐體軸線旋轉(zhuǎn)90°（G7r）后形成的材料整體會與G7 有很大不同。

圖1 Cross1，G6，G7，dobe-thin 單元結(jié)構(gòu)形狀[13]Fig.1 The Structure of Cross1，G6，G7 and dobe-thin Unit Cell

文獻[13]利用EBM 打印了利用上述五種單元結(jié)構(gòu)組成的材料并測定了材料的力學參數(shù)如。他們的實驗數(shù)據(jù)表明具有不同晶格類型的材料有著較大的性能差異，cross1 類型的孔隙率最大其次是G6、G7 和dobe thin 類型?？傮w來說孔隙率越大楊氏模量越小。同一種類單元類型在構(gòu)成材料時排布方向不同也會對材料屬性有較大影響，例如G7r 和G7 有著相同的孔隙率，但是G7r 的楊氏模量為G7 楊氏模量的一半。

2.2 八面體桁架（octet truss）單元結(jié)構(gòu)

八面體桁架結(jié)構(gòu)最早由文獻[14]于1961 年申請專利，主要特點在于利用了空間最簡單的幾何體正四面體和八面體的組合填滿整個空間，而不是利用單一的四面體填充空間，這樣做的優(yōu)勢在于八面體和四面體的組合使得結(jié)構(gòu)既簡單又穩(wěn)定而且可以完整填充整個空間。八面體桁架結(jié)構(gòu)，如圖2 所示。

圖2 八面體桁架結(jié)構(gòu)Fig.2 The Structure of Octet Truss

2.3 仿骨單元結(jié)構(gòu)（bone unit cell）

仿骨單元結(jié)構(gòu)主要是模仿了骨內(nèi)疏松的結(jié)構(gòu)使得以仿骨單元結(jié)構(gòu)組成的多孔材料更像真實的骨結(jié)構(gòu)，這種材料一般用來作骨科植入物，這類結(jié)構(gòu)的代表，如圖3 所示。采用這種結(jié)構(gòu)作為骨內(nèi)植入物的結(jié)構(gòu)單元主要是可以降低金屬材料的楊氏模量使得植入物的楊氏模量更加接近人體骨的楊氏模量，保證成骨過程中對人骨的應力刺激，促進成骨過程。

圖3 仿骨單元結(jié)構(gòu)Fig.3 The Structure of Bone Unit Cell

以上這些單元結(jié)構(gòu)除仿骨單元結(jié)構(gòu)外都是由方形或者圓形截面的桿組成，cross1 型的單元結(jié)構(gòu)最簡單，八面體桁架結(jié)構(gòu)比較穩(wěn)定，但是這些單元結(jié)構(gòu)都存在多根桿相交點，該點處會產(chǎn)生非線性變化的變形與力學特性，導致當采用簡單梁單元假設(shè)分析這些單元結(jié)構(gòu)或由此單元結(jié)構(gòu)填充的零件時，分析結(jié)果會產(chǎn)生較大誤差，因此需要針對類桁架單元結(jié)構(gòu)建立更為精確的力學分析方法和模型。

3 類桁架點陣結(jié)構(gòu)力學分析

當利用有限元方法對類桁架點陣多孔材料結(jié)構(gòu)進行分析時，由于多孔材料結(jié)構(gòu)本身尺度跨越范圍大的原因，劃分的網(wǎng)格數(shù)據(jù)量十分龐大，導致力學分析運算很慢甚至無法計算；如果利用有限元中梁單元分析方法，由于在類桁架點陣結(jié)構(gòu)中多桿相交處會出現(xiàn)不滿足梁單元假設(shè)的問題，導致分析結(jié)果精度不夠甚至錯誤?；谝陨蠁栴}研究工作者提出了一些具有針對性的力學分析方法，針對不同的類桁架點陣多孔材料單元結(jié)構(gòu)提出了較為通用且有效的分析方法。

3.1 八面體桁架力學分析

文獻[1]對八面體桁架（the octet-truss）類桁架點陣結(jié)構(gòu)的力學分析方法進行了深入研究，分析中假設(shè)八面體類桁架點陣結(jié)構(gòu)桿（strut）所交匯的節(jié)點處相當于鉸接，而且桿只承受軸向載荷。八面體桁架結(jié)構(gòu)由四面體和八面體兩種基本單元構(gòu)成，文獻[1]認為八面體結(jié)構(gòu)對于整體的力學性能影響更大，建立了基于八面體結(jié)構(gòu)的力學分析方法，如式（1）、式（2）所示。

式中：ε—某應變；σ—應力；l—桿長；a—桿直徑；Es—實心材料的楊氏模量；ρˉ—多孔材料的相對密度，對于八面體桁架結(jié)構(gòu)其近似值可以通過公式得到。利用上述應力應變公式可以求得單個八面體桁架結(jié)構(gòu)或者多個規(guī)律排列的八面體桁架結(jié)構(gòu)的應力應變關(guān)系，其中關(guān)系矩陣［C］只有兩個獨立變量 s1和 s2，s3=（s1＋s2）/2。

圖4 八面體桁架結(jié)構(gòu)和坐標系Fig.4 The Structure and Coordinate System of Octet Truss

3.2 四面體夾心板力學分析

文獻[4]研究了夾芯板的設(shè)計、計算和制造過程，夾芯板的基本結(jié)構(gòu)是上下兩層平面，中間以四面體類桁架點陣結(jié)構(gòu)連接和支撐。他們首先討論了以四面體類桁架點陣結(jié)構(gòu)作為夾芯板內(nèi)部支撐結(jié)構(gòu)的失效形式，包括橫向剪切失效、內(nèi)部核心（四面體單元結(jié)構(gòu)）的彎曲破壞失效、局部核心（四面體單元結(jié)構(gòu)）的破壞失效以及像傳統(tǒng)零件一樣的彎曲失效、剪切卷曲失效和上下表面褶皺失效（表面與中間支撐層連接斷開）[15]。然后分析了四面體類桁架點陣結(jié)構(gòu)填充的夾芯板的數(shù)學模型。四面體單元結(jié)構(gòu)的相對密度可以表示，如式（3）所示。ω 代表桿和底面投影的夾角，如圖5 所示。t 代表桿的厚度，l 代表桿的長度。

圖5 夾心板內(nèi)部的四面體支撐結(jié)構(gòu)Fig.5 The Tetrahedral Unit Cell Used to Support the Sandwich Panel

四面體類桁架點陣結(jié)構(gòu)外表面壓縮剛度，如式（4）所示。其中E_s 是母合金的楊氏模量，ρ 為上述計算的相對密度，四面體類桁架點陣結(jié)構(gòu)外表面剪切剛度，如式（5）所示。

夾芯板的四面體單元結(jié)構(gòu)只填充了一層，但是多層的由其他桁架結(jié)構(gòu)填充的零件或者形狀在與外功能面相接時與夾芯板的方式相類似，所以他們在實際受力時也會遇到與夾芯板類似的失效形式或者失效情況，可以借鑒夾芯板的失效分析方法。

3.3 桁架單元結(jié)構(gòu)有限元分析方法（unit truss approach FEA）

文獻[2]對桁架類桁架點陣結(jié)構(gòu)進行了研究并開發(fā)了一種力學分析方法—桁架單元結(jié)構(gòu)有限元分析方法，傳統(tǒng)的有限元分析方法首先將實體進行細密的網(wǎng)格劃分，然后進行分析計算。桁架單元結(jié)構(gòu)有限元方法是將類桁架點陣結(jié)構(gòu)中的一種基本組成結(jié)構(gòu)作為劃分的基本單元，如圖5 所示。將其作為類似于有限元分析中的網(wǎng)格一樣對整個結(jié)構(gòu)進行力學分析。這種方法可以實現(xiàn)對類桁架點陣結(jié)構(gòu)的線性和非線性分析，文獻[3]利用桁架單元結(jié)構(gòu)有限元分析方法分別計算了單個，2×2，3×3 的八面體類桁架點陣結(jié)構(gòu)的力學性能，也利用文獻[1]的方法進行了計算，而且實際測試了實物的力學性能，最終得出的結(jié)論為桁架單元結(jié)構(gòu)有限元分析方法與實際測量值的誤差在10%左右，而文獻[1]的方法誤差很大，在n 大于等于2 的時候誤差已經(jīng)達到了60%。認為文獻[1]的分析方法在n 大于等于2 時誤差很大的原因在于這種方法是以八面體桁架單元作為整體的分析單元，相鄰的八面體桁架單元有共用的節(jié)點，這種節(jié)點上有很多桿交匯處于非線性狀態(tài)，而文獻[1]的分析方法在分析多個單元結(jié)構(gòu)的時候?qū)⑾噜彽膯卧Y(jié)構(gòu)完全以線性關(guān)系處理了，所以導致誤差非常大。相對比而言，桁架單元結(jié)構(gòu)有限元分析方法中計算模型的相鄰單元之間是桿，而不是節(jié)點，在一定桿徑比下桿可以看成是線性關(guān)系，所以在分析由多個單元構(gòu)成的結(jié)構(gòu)時按照線性關(guān)系計算仍然很準確。

圖6 桁架單元結(jié)構(gòu)有限元分析方法的基本單元Fig.6 The Base Unit of Unit Truss Approach FEA

4 類桁架點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

類桁架點陣結(jié)構(gòu)的設(shè)計主要在于三個方面，尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化以及拓撲優(yōu)化[5]，尺寸優(yōu)化一般指類桁架點陣結(jié)構(gòu)的桿徑、單元長度和單元數(shù)量等參數(shù)的優(yōu)化。在一定的邊界條件下，對于類桁架多孔材料中的每一個單元結(jié)構(gòu)都應該存在最優(yōu)的桿徑，這樣尺寸優(yōu)化就會產(chǎn)生和單元結(jié)構(gòu)的數(shù)量相同量級的變量數(shù)目，如果單個單元結(jié)構(gòu)中的不同桿的桿徑也不相同，不同的單元結(jié)構(gòu)有著不同的單元長度，那么變量數(shù)目會再增加一個數(shù)量級；形狀優(yōu)化指的是零件整體或者局部形狀的優(yōu)化，形狀的優(yōu)化往往難以作為獨立的模塊實現(xiàn)[6]，主要由于形狀優(yōu)化時一旦改變了形狀，相應的有限元分析的模型或者網(wǎng)格劃分也要發(fā)生變化，所以往往形狀優(yōu)化模塊的開發(fā)需要將有限元分析融合在開發(fā)模塊中；拓撲優(yōu)化在類桁架點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計方面主要是指單元結(jié)構(gòu)的空間排布位置和方向，拓撲結(jié)構(gòu)對于整體結(jié)構(gòu)的性能有著較大的影響。目前大部分的類桁架點陣結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法側(cè)重于尺寸優(yōu)化，也就是在拓撲結(jié)構(gòu)和形狀基本確定的情況下優(yōu)化單元結(jié)構(gòu)桿直徑和單元結(jié)構(gòu)長度。這類優(yōu)化算法可以歸納的優(yōu)化框架[7]，如表1 所示。

表1 尺寸優(yōu)化算法框架Tab.1 The Frame of Size Optimization Method

文獻[7]對比了粒子群算法（PSO）和最小二乘法（LSM）兩種算法。粒子群算法（PSO）的主要原理是模仿了鳥類的種群行為，在鳥類的種群行為中鳥類會根據(jù)個體經(jīng)驗和種群經(jīng)驗調(diào)整飛行運動，這種方式結(jié)合了局部搜索（個體經(jīng)驗）和全局搜索（種群經(jīng)驗）。這種算法首先在設(shè)計空間中隨機創(chuàng)建很多粒子，之后根據(jù)式（6）更新速度，式（7）更新位置，其中速度公式中包含了個體飛行的慣性和個體飛行的經(jīng)驗以及種群飛行的經(jīng)驗。

最小二乘法（LSM）主要是利用了誤差函數(shù)的梯度為零時，誤差函數(shù)達到極小值，從而求得最優(yōu)解。最小二乘問題的誤差函數(shù)，如式（8）所示。

Pi，target表示第 i 個目標值，Pi，actual表示第 i 個目標量的實際值，X 是自變量組成的向量，從而只要求得X 向量使得S（X）函數(shù)取得極小值，X 即為滿足目標值的最優(yōu)解，也即S（X）的梯度為零時的 X 向量值。S（X）的梯度，如式（9）所示。

最終得到的結(jié)果表明LSM 方法比PSO 方法收斂快，而且在計算能力范圍內(nèi)LSM 每次計算都可以找到解，但是PSO 只有很小的概率可以找到解；在設(shè)計空間較大，參數(shù)進一步增多的時候PSO 有時會比LSM 收斂更快同時找到解?；诖艘话悴捎肔SM進行計算，只有當設(shè)計空間很大且不知道較好的初始解的時候再利用PSO 計算。

以上設(shè)計方法都存在計算開銷大，設(shè)計時間長，對于大規(guī)模的設(shè)計空間難以很快給出優(yōu)化結(jié)果的問題。為了減少類桁架點陣結(jié)構(gòu)的設(shè)計時間，文獻[8]開發(fā)了尺寸匹配和縮放方法，這種方法主要充分利用了有限元對于傳統(tǒng)實體模型的分析結(jié)果和一個包含單元結(jié)構(gòu)性能和尺寸的庫，利用有限元對于傳統(tǒng)實體模型的分析結(jié)果，結(jié)合單元結(jié)構(gòu)性能和尺寸庫為某一空間位置上的桿選取合適的尺寸。在這種方法之中，單元結(jié)構(gòu)的空間排列方式已經(jīng)確定，或者說零件所占空間區(qū)域已經(jīng)被劃分為與單元結(jié)構(gòu)數(shù)目相等的小空間區(qū)域，同時根據(jù)零件有限元分析結(jié)果可以得到每個有限元節(jié)點上的應力結(jié)果，有限元的網(wǎng)格尺寸要遠小于小空間區(qū)域的尺寸，所以每個小空間區(qū)域會包含很多有限元節(jié)點，將對應小空間區(qū)域內(nèi)的所有有限元節(jié)點的應力值的平均值作為這個小空間區(qū)域填充的單元結(jié)構(gòu)的應力評價標準，從而在前文提到的單元結(jié)構(gòu)庫中選取合適的單元結(jié)構(gòu)桿徑，利用優(yōu)化框架[7]獲得最大最小桿直徑從而建立優(yōu)化后的滿足應力和變形的類桁架點陣結(jié)構(gòu)模型。

目前的算法不能解決多載荷條件下的類桁架點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計，或者可以解決但是計算成本很大。針對這個問題文獻[9]建立了一種新的算法：相對密度變換法（RDM），這種方法利用了拓撲優(yōu)化過程中計算得到的有限元相對密度，采用一定的函數(shù)變換將相對密度和單元結(jié)構(gòu)桿直徑相對應，得到最終的類桁架點陣結(jié)構(gòu)模型。RDM 的主要原理是類桁架點陣結(jié)構(gòu)中桿的直徑與對應位置拓撲優(yōu)化結(jié)果中的相對密度成正相關(guān)。第j 根桿的截面積由公式（10）確定。

式中：Arj—第j 根桿的截面積；rij—第i 個拓撲優(yōu)化有限元與第j根桿的距離；w（）—權(quán)重函數(shù)；ρi—第i 個拓撲優(yōu)化有限元的相對密度大小。

權(quán)重函數(shù)選用了指數(shù)函數(shù)，使得距第j 根桿更近的有限元的相對密度在整個平均過程中占的權(quán)值更大。重新計算桿直徑后將得到的模型進行一些處理，得到最終的類桁架點陣結(jié)構(gòu)模型。這種算法利用了拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中得到的相對密度，所以不需要再次運行拓撲優(yōu)化過程，減小了計算量，同時每根桿的直徑既體現(xiàn)了局部特征也綜合了整體密度特征。

5 總結(jié)和展望

近年來有關(guān)類桁架點陣結(jié)構(gòu)的研究主要集中在如何建立更加精確的力學分析模型和如何減小搜索的設(shè)計空間方面。在力學分析模型方面，對于大規(guī)模的類桁架點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計目前采用比較多的方法主要是有限元分析中的梁分析和Hongqing Vincent Wang 的桁架結(jié)構(gòu)力學分析方法，后者已經(jīng)可以達到10%的誤差精度。在減小搜索的設(shè)計空間方面，主要集中于利用有限元應力分析的結(jié)果或者拓撲優(yōu)化的相對密度結(jié)果來減小設(shè)計空間，這兩種方法都取得了比較好的設(shè)計結(jié)果，但是基于拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果的算法可以解決多載荷問題。

未來有關(guān)類桁架點陣結(jié)構(gòu)的研究建議主要在力學分析的精確性方面和拓撲優(yōu)化兩方面展開。在力學分析的精確性方面需要探索單元結(jié)構(gòu)參數(shù)對剛度矩陣精度的影響。Hongqing Vincent Wang 的分析方法雖然可以達到10%的誤差，但是單元的剛度矩陣是通過大量實例擬合的矩陣，這樣得到的擬合矩陣難以進一步提高精度，而且不能獲得影響精度的具體因素，所以為了提高力學分析的精確性需要進一步研究單元結(jié)構(gòu)的哪些參數(shù)會影響到剛度矩陣的精確性，具體是如何影響的，然后得到一個含有這些影響因素作為變量的矩陣函數(shù)作為擬合函數(shù)，從而得到更加普適和精確的力學分析模型。進一步在結(jié)構(gòu)設(shè)計和力學分析方面，還需要將加工工藝的影響因素考慮進去，根據(jù)不同的加工工藝得到相應的安全系數(shù)，從設(shè)計制造一體化角度提高產(chǎn)品的整體力學性能。此外，在拓撲優(yōu)化方面提出采用綜合有限元分析的應力結(jié)果和拓撲優(yōu)化相對密度結(jié)果的方法來設(shè)計類桁架點陣結(jié)構(gòu)單元的桿參數(shù)，進一步探索滿足傳熱要求或者碰撞吸能要求的類桁架多孔材料設(shè)計方法。