郭京波 ,張海東 ,,紀(jì)志飛 ,李 杰
(1.石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,河北 石家莊 050043;2.集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院,福建 廈門(mén) 361021)
盾構(gòu)管片是隧道的最終受力體,管片拼裝質(zhì)量是施工安全的重要影響因素[1]。管片拼裝機(jī)是盾構(gòu)施工實(shí)現(xiàn)襯砌安裝的關(guān)鍵裝備,其拼裝質(zhì)量、精度及效率直接影響隧道施工安全和進(jìn)程。
并聯(lián)機(jī)構(gòu)是在動(dòng)平臺(tái)與基座之間包含2 個(gè)及以上串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈的閉環(huán)機(jī)構(gòu)。學(xué)者們將其應(yīng)用于盾構(gòu)管片拼裝機(jī)微調(diào)機(jī)構(gòu),具有承載能力強(qiáng)、精度高、剛度大等特點(diǎn)[2],可獲得更優(yōu)性能。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造3-SPS/S 并聯(lián)機(jī)構(gòu),將其用于管片拼裝機(jī)的姿態(tài)微調(diào)機(jī)構(gòu),實(shí)現(xiàn)3 個(gè)自由度的空間旋轉(zhuǎn);文獻(xiàn)[4]對(duì)3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析,并應(yīng)用于管片拼裝機(jī)設(shè)計(jì)方案;文獻(xiàn)[5]基于3-PRPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了管片拼裝系統(tǒng),可同時(shí)拼裝兩個(gè)管片,提高施工效率;文獻(xiàn)[6]將3UPS-S 并聯(lián)機(jī)構(gòu)引入管片姿態(tài)微調(diào)機(jī)構(gòu),并進(jìn)行了工作空間規(guī)劃,空間內(nèi)無(wú)奇異點(diǎn);此外,文獻(xiàn)[7]對(duì)用于管片拼裝機(jī)的4-SPS-S 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置反解分析,推導(dǎo)出了雅克比矩陣,并給出了機(jī)構(gòu)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。張拉整體結(jié)構(gòu)是一種在連續(xù)受拉的構(gòu)件中包含離散受壓構(gòu)件,從形成的穩(wěn)定自平衡結(jié)構(gòu)[8]。張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)是近年來(lái)提出的新型并聯(lián)機(jī)構(gòu),與傳動(dòng)剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的區(qū)別主要是含有彈簧構(gòu)件,具有更高的運(yùn)動(dòng)精度和靈活性。將3-SPS/1-S[9]張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)引入管片拼裝機(jī)微調(diào)機(jī)構(gòu),分析位置反解、正解及工作空間問(wèn)題,并進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。
管片拼裝機(jī)微調(diào)機(jī)構(gòu)要求實(shí)現(xiàn)3 個(gè)自由度的旋轉(zhuǎn),完成管片的橫搖、俯仰及偏轉(zhuǎn)動(dòng)作,使前后兩環(huán)及單環(huán)不同管片之間的螺栓孔準(zhǔn)確對(duì)齊[6],如圖1 所示。要求機(jī)構(gòu)具有很高的控制精度、承載能力及剛度。引入3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)為管片拼裝機(jī)姿態(tài)微調(diào)機(jī)構(gòu),其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),如圖2 所示。該機(jī)構(gòu)由上平臺(tái)(運(yùn)動(dòng)平臺(tái))和下平臺(tái)(固定基座)組成,上下平臺(tái)均為等邊三角形。下平臺(tái)與管片拼裝機(jī)主體相連,上平臺(tái)為微調(diào)機(jī)構(gòu)。機(jī)構(gòu)有3 條SPS 結(jié)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)支鏈,S 為球鉸,P 為驅(qū)動(dòng)副;K 為彈簧,3 個(gè)彈簧分別將基座與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的鉸點(diǎn)連接;此外,機(jī)構(gòu)有一條S 結(jié)構(gòu)的從動(dòng)支鏈。3 條驅(qū)動(dòng)支鏈、3 個(gè)彈簧及1 條從動(dòng)支鏈將上下平臺(tái)連接起來(lái)。
圖1 管片拼裝機(jī)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Segment Erector Structure Diagram
圖2 3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.2 Topology Structure of 3-SPS/1-S Tensegrity Parallel Mechanism
3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度為:
式中:M—機(jī)構(gòu)自由度數(shù);d—機(jī)構(gòu)階數(shù);n—構(gòu)件總數(shù);g—運(yùn)動(dòng)副總數(shù);fi—第i 個(gè)運(yùn)動(dòng)副自由度數(shù);v—冗余約束量;ζ—局部自由度數(shù)。
因此,機(jī)構(gòu)自由度為3。由于驅(qū)動(dòng)支鏈的存在,動(dòng)平臺(tái)沒(méi)有沿X、Y、Z 軸的移動(dòng)自由度,僅存在3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。引入該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)管片拼裝機(jī)的橫搖、俯仰、偏轉(zhuǎn)動(dòng)作。
在固定基座上建立一個(gè)定坐標(biāo)系{O}-OXYZ ,在動(dòng)平臺(tái)上建立一個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系{O1}-O1X1Y1Z1,O、O1分別為基座和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的幾何中心,如圖2 所示。(1)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)位置變量:X=[x,y,z]T,式中:x、y、z—運(yùn)動(dòng)平臺(tái)幾何中心在{O}-OXYZ 下的坐標(biāo);(2)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)變量:φ=[α,β,γ]T,式中:α、β、γ—運(yùn)動(dòng)平臺(tái)繞 X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)角。令基座邊長(zhǎng)a,運(yùn)動(dòng)平臺(tái)邊長(zhǎng)b?;縻q點(diǎn)在{O}-OXYZ 下的位置為[9]:
采用RPY 角[10]描述動(dòng)坐標(biāo)系的方位,則旋轉(zhuǎn)矩陣為:
其中,sα=sinα,cβ=cosβ,其余類(lèi)似。
由于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)僅具有α、β、γ 方向的3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度,因此X、Y、Z 方向的位置變量可人為給定。則位置反解問(wèn)題為給定X=[x,y,z]T情況下,依據(jù)輸入變量 α、β、γ 求解驅(qū)動(dòng)支鏈 Li的問(wèn)題。
基于變步長(zhǎng)搜索法[9]的位置正解求解流程,如圖3 所示。當(dāng)已知驅(qū)動(dòng)鏈長(zhǎng)度,則輸出變量在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)3 個(gè)轉(zhuǎn)角α、β、γ 的變化范圍內(nèi)依據(jù)給定步長(zhǎng)逐一搜索。若遍歷整個(gè)范圍后仍無(wú)法找到解值,則步長(zhǎng)減半,重新搜索,如此往復(fù)。該方法無(wú)需給定初值,且不依賴(lài)于固定步長(zhǎng)。
圖3 位置正解變步長(zhǎng)搜索法求解流程圖Fig.3 Flow Chart of Inverse Position Solution Based on Variable-Step Search Solution Method
運(yùn)用數(shù)值方法求解機(jī)構(gòu)工作空間。3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有 3 個(gè)輸出變量 α、β、γ。Φ=[α,β,γ]T即為機(jī)構(gòu)工作空間。工作空間約束方程為:
式中:r—驅(qū)動(dòng)支鏈半徑;Di—相鄰兩支鏈軸線(xiàn)段之間的最小距離;θmax—球鉸的最大允許轉(zhuǎn)角;θAi—固定平臺(tái)球鉸的轉(zhuǎn)角;θBi—運(yùn)動(dòng)平臺(tái)球鉸的轉(zhuǎn)角。
上述約束條件中,任何一個(gè)變量等于其邊界值,所得解值便為工作空間的邊界點(diǎn)。αmin、βmin、γmin是循環(huán)變量初值,αmax、βmax、γmax是循環(huán)變量終值。
假定工作空間由若干微元組成。每個(gè)微元對(duì)應(yīng)機(jī)構(gòu)上平臺(tái)的一個(gè)可能位姿。當(dāng)給出一個(gè)位姿時(shí),判斷其是否滿(mǎn)足所有約束方程,若都滿(mǎn)足,則說(shuō)明該位姿存在,系統(tǒng)記錄,然后給出下一個(gè)位姿,繼續(xù)判斷,如此循環(huán)往復(fù)。最后,系統(tǒng)搜索出所有存在的位姿,得到上平臺(tái)工作空間范圍。
由此,工作空間體積V[9]:
式中:length(X)—工作空間微元數(shù)量;Δα、Δβ、Δγ—3 個(gè)變量的搜索步長(zhǎng)。
給定基本參數(shù):上平臺(tái)邊長(zhǎng)a=1m;下平臺(tái)邊長(zhǎng)b=0.5m;彈簧原長(zhǎng)Lk1=Lk2=Lk3=0.1m;彈簧彈性常數(shù)k1=k2=k3=0.5N/m。依據(jù)管片拼裝機(jī)微調(diào)機(jī)構(gòu)尺寸,令x=y=0,z=0.5m。
給定輸入變量 X=[0,0,0.5]T,有:
同理可得L2和L3。
給定驅(qū)動(dòng)支鏈 L1、L2、L3,求 α、β、γ。精度 ε=10-13,初始步長(zhǎng)Δα=Δβ=Δγ=0.15rad。計(jì)算得到 29 組解值,位置正解不唯一。前 10組位置正解,如表1 所示。
表1 前10 組位置正解Tab.1 Position Direct Solution of First 10 Sets
運(yùn)用Matlab 求解機(jī)構(gòu)工作空間,如圖4 所示。
圖4 3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間Fig.4 Workspace of 3-SPS/1-S Tensegrity Parallel Mechanism
圖中各點(diǎn)都是工作空間的微元,全部微元構(gòu)成機(jī)構(gòu)上平臺(tái)的工作空間范圍。運(yùn)用式(7)可得:
改變?chǔ)萴ax值,工作空間體積,如表2 所示。
表2 工作空間體積Tab.2 Workspace Volume
隨著θmax變大,工作空間體積不斷變大,θmax為45°時(shí)的工作空間體積是15°的196 倍。在管片拼裝機(jī)的微調(diào)工作中,僅需完成3 個(gè)方向的小幅轉(zhuǎn)動(dòng),因此較小的工作空間即可滿(mǎn)足要求。
(1)3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3 個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度,將其引入管片拼裝機(jī),實(shí)現(xiàn)了橫搖、俯仰及偏轉(zhuǎn)3 個(gè)微調(diào)動(dòng)作,且具有承載能力大的特點(diǎn);與傳統(tǒng)剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)相比,該機(jī)構(gòu)存在3個(gè)彈簧,消除了運(yùn)動(dòng)副對(duì)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的振動(dòng),提高了運(yùn)動(dòng)精度。
(2)針對(duì)3-SPS/1-S 張拉整體并聯(lián)機(jī)構(gòu),推導(dǎo)了位置反解的求解方程,得到了驅(qū)動(dòng)支鏈表達(dá)式;給出了位置正解的變步長(zhǎng)搜索法求解流程。結(jié)合管片拼裝機(jī)安裝尺寸,進(jìn)行數(shù)值算例驗(yàn)證,結(jié)果表明位置反解具有唯一性,但位置正解共有29 組解值。給出工作空間約束方程及體積求解方程,選定θmax為35°,得到工作空間可達(dá)范圍是0.768rad3。