夏國清，劉彩云，陳興華

(哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，哈爾濱 150001)

在鉆井、潛水、打撈和采油等海洋工程作業(yè)中，主要有錨泊定位、動力定位(DP)和動力定位輔助錨泊定位(DPM)3種定位方式來保證船舶的位置和艏向.DPM系統(tǒng)的工作原理是在海況不高時采用錨泊定位方式以節(jié)省能耗，而在海況較高時啟動DP以提高船舶抵抗海洋環(huán)境的能力.在海洋工程作業(yè)中，為降低成本，船舶只安裝有位置和艏向傳感器，因此需要設(shè)計觀測器來估計船舶速度和外部干擾.

文獻(xiàn)[1]將非線性無源觀測器應(yīng)用于船舶推進器輔助錨泊定位系統(tǒng)的設(shè)計.此無源觀測器只能考慮緩慢變化的環(huán)境干擾，而實際環(huán)境干擾是未知且時變的.文獻(xiàn)[2]針對船舶錨泊輔助動力定位系統(tǒng)中的不確定性和計算延時問題設(shè)計了一種高階線性擴張狀態(tài)觀測器，使此觀測器具有自抗擾的特點.文獻(xiàn)[3]針對船舶動力定位系統(tǒng)設(shè)計了一種基于無跡卡爾曼濾波器(UKF)的非線性觀測器，來估計船舶狀態(tài)和系統(tǒng)的未知輸入.為了解決UKF無法跟蹤狀態(tài)突變的問題，文獻(xiàn)[4]設(shè)計了一種自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波器(AUKF).文獻(xiàn)[5]中采用無跡卡爾曼西濾波器(UKBF)來估計船舶的運動狀態(tài)，從而無需對船舶模型進行線性化和離散化.為了估計時變的外部干擾，文獻(xiàn)[6]針對一種炮塔系泊的浮式生產(chǎn)儲油和裝卸船(FPSO)設(shè)計了一種干擾觀測器，而此觀測器卻無法估計船舶的未測量狀態(tài).近年來，隨著有限時間技術(shù)的發(fā)展，有限時間控制引起了研究者的關(guān)注.一些學(xué)者對有限時間控制問題進行了詳細(xì)的綜述，并分析了控制方法起源、常用判據(jù)及研究現(xiàn)狀.文獻(xiàn)[7-8]表明有限時間穩(wěn)定系統(tǒng)比無限時間穩(wěn)定系統(tǒng)具有更好的魯棒性和抗干擾性.從近年來的相關(guān)文獻(xiàn)來看，應(yīng)用于船舶定位系統(tǒng)的考慮有限時間穩(wěn)定的觀測器還比較少.而船舶在定點作業(yè)時對定位系統(tǒng)有一定的實時性要求，希望能在有限的時間內(nèi)到達(dá)期望的位置和艏向，因此研究船舶定位系統(tǒng)的有限時間控制很有必要.

本文針對動力定位輔助錨泊定位系統(tǒng)提出了一種有限時間狀態(tài)觀測器(FTSO)，并證明了其能在有限時間內(nèi)估計船舶的速度和未知干擾.仿真驗證了定位船舶的位姿實際測量值與觀測值的誤差能在有限時間內(nèi)收斂于真值，從而證明此觀測器具有更快的收斂性和更好的抗干擾性.

1 預(yù)備知識和系統(tǒng)模型

1.1 定義及引理

考慮下面的非線性系統(tǒng)：

(1)

定義1[9]如果對于?λ>0，有f(λr1x1,λr2x2,…,λrnxn)=λkf(x)并且k>-minri，那么稱標(biāo)量函數(shù)f(x):Rn→R關(guān)于權(quán)系數(shù)(r1,r2,…,rn)是k階齊次.如果對于?λ>0，fi(λr1x1,λr2x2,…,λrnxn)=λk+rifi(x),i=1,2,…,n，那么稱向量函數(shù)f:Rn→Rn關(guān)于權(quán)系數(shù) (r1,r2,…,rn)是k階齊次.

引理1[10]如果存在一個Lyapunov函數(shù)V(x)：D→R，實數(shù)c>0，α∈(0,1)和原點開鄰域Ω∈D使得：

(2)

那么式(1)的零解是有限時間穩(wěn)定的.設(shè)定時間T滿足：T(x0)≤V1-α(x0)/[c(1-α)],x0∈Ω.

引理2[10]如果存在一個Lyapunov函數(shù)V(x)：D→R，實數(shù)l1，l2>0，α∈(0,1)和原點開鄰域Ω∈D使得：

(3)

那么式(1)的零解是有限時間穩(wěn)定的.N={x|V(x)1-α

1.2 船舶動力學(xué)模型

在整個的DPM數(shù)學(xué)模型中，通常用到兩種坐標(biāo)系，分別是大地坐標(biāo)系(XOY)和船體坐標(biāo)系(XbObYb).船舶運動坐標(biāo)系如圖1所示.對于定位船舶，一般我們只考慮水平面三自由度運動，即縱蕩、橫蕩和艏搖.

通常情況下，船舶的參數(shù)矩陣難以精確得到，考慮系統(tǒng)矩陣的不確定性，動力定位輔助錨泊定位船舶的非線性數(shù)學(xué)模型可以表示為

(4)

假設(shè)1假設(shè)系統(tǒng)中的未建模動態(tài)項和外界干擾滿足下面的關(guān)系式：

d(υ,t)=de+ω

(5)

假設(shè)2定義κ為未知干擾變化率，且是時變有界的，并存在正常數(shù)ρ，使得‖κ‖≤ρ.

為了方便有限時間觀測器的設(shè)計，需要對船舶數(shù)學(xué)模型，即式(4)進行如下形式轉(zhuǎn)換.令

則式(4)可以寫為

(6)

2 主要結(jié)果

2.1 觀測器數(shù)學(xué)模型

(7)

(8)

考慮下面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：

(9)

式中：σ∈(0,1)，且為正實數(shù)，于是式(8)變?yōu)?/p>

(10)

2.2 穩(wěn)定性分析

(11)

(12)

根據(jù)定義1很容易得到，對于2/3<α<1，式(12)關(guān)于權(quán)系數(shù)1，α，2α-1是α-1階齊次的.定義fε是式(12)的向量場，LfεV1是V1沿著向量場fε的李導(dǎo)數(shù).于是可以證明V1(ε)和LfεV1(ε)關(guān)于權(quán)系數(shù)1，α，2α-1分別是2和α+1階齊次的.

根據(jù)文獻(xiàn)[13-14],可以得到下列不等式：

-c1(α,θ)[V1(ε)]δ≤LfεV1(ε)≤

-c2(α,θ)(V1(ε))δ

(13)

(14)

式中：λmax(P)表示矩陣P的最大特征值；

對式(11)求導(dǎo)可得：

(15)

(16)

(17)

(18)

于是式(15)可以進一步寫為

(19)

下面分兩種情況來進行穩(wěn)定性分析.

情況1若V(ε)>1，則：

(20)

根據(jù)引理2可以得到V(ε)在有限時間內(nèi)收斂于區(qū)域V(ε)≤1.

情況2若V(ε)≤1，因為0<δ<1，于是式(19)可以重新寫為

(21)

(22)

因此可以說明觀測器誤差在有限時間內(nèi)收斂于區(qū)域‖e‖≤Ω1.從而證明所提出FTSO是有限時間穩(wěn)定的.定理1證明完成.為了分析FTSO的特性，進行下面的討論.

備注2若設(shè)α=1并忽略觀測器中的未知干擾項，所提觀測器，即式(7)可以寫為

(23)

參考文獻(xiàn)[15]中的方法，可以證明式(23)是半全局一致指數(shù)穩(wěn)定的.如果式(23)中加入時變干擾，我們可以證明觀測器誤差e在有限時間內(nèi)收斂于‖e‖≤12ρλmax(P)/θ-2kλmax(P)=Ω3.如果選擇θ使得c4/[θ2+σ(c2-c3)]<1，選擇α→2/3使得α2/α3?1，于是Ω1?Ω3.這意味著所提FTSO比式(23)具有更好的抗干擾性.

3 仿真結(jié)果

(24)

LSO中參數(shù)的取值與所提FTSO中參數(shù)的取值的一致.為了驗證所提FTSO在參數(shù)不確定性情況下的性能，分以下兩種情況：

情況A假設(shè)矩陣M和D是已知的，不考慮矩陣的不確定性.

情況B考慮模型參數(shù)不確定性，令M=M0+ΔM，ΔM=0.1M，D=D0+ΔD，ΔD=0.1D.其中M0和D0為情況A中的標(biāo)稱模型參數(shù).

圖2為情況A和B下分別采用FTSO和LSO得到的‖e1‖和‖e2‖的響應(yīng)曲線.圖3為情況A 和B下采用FTSO和LSO得到的船舶北向位置、東向位置和艏向的誤差響應(yīng)曲線.圖4為情況A和B下采用FTSO和LSO得到的船舶縱蕩速度、橫蕩速度和回轉(zhuǎn)率的誤差響應(yīng)曲線.

綜合圖2(a)、3(a)和4(a)可以看出在情況A下采用FTSO船舶的位置、艏向和速度誤差在5 s以內(nèi)都能收斂于零附近，而采用LSO船舶的位置、艏向和速度誤差收斂到零附近則需要10 s，因此可以總結(jié)得出FTSO比LSO具有更快的收斂速度.另外，從圖2(a)、3(a)和4(a)可以看出采用FTSO得到的誤差收斂于零附近后曲線比較平穩(wěn)，而采用LSO得到的誤差收斂于零附近后曲線會有振蕩，因此可以總結(jié)出FTSO比LSO具有更高的穩(wěn)態(tài)精度.

綜合圖2(b)、3(b)和4(b)可以看出在情況B下采用FTSO船舶的位置、艏向和速度誤差在6 s以內(nèi)都能收斂于零附近，而采用LSO船舶的位置、艏向和速度誤差收斂到零附近則需要15 s.綜合圖2～4可以總結(jié)出在加入未建模動態(tài)項后，F(xiàn)TSO的收斂速度沒有受到太大的影響，而LSO的收斂速度明顯下降了很多，F(xiàn)TSO比LSO仍具有更快的收斂速度.另外，可以看出加入未建模動態(tài)項FTSO得到的誤差收斂于零附近后曲線依然很平穩(wěn)， 而LSO的超調(diào)明顯增大了.總結(jié)以上兩點描述可以得出FTSO比LSO具有更好的抗干擾性.

綜上可見，F(xiàn)TSO具有更快的收斂速度和更好的抗干擾性.

4 結(jié)論

針對DPM船舶運動模型中的未知干擾和速度無法測量問題，設(shè)計了一種有限時間狀態(tài)觀測器.通過對誤差系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，證明了誤差系統(tǒng)可以實現(xiàn)有限時間收斂，從而證明了所提觀測器能實現(xiàn)半全局有限時間穩(wěn)定.最后的仿真結(jié)果表明所提出FTSO與LSO相比具有更快的收斂速度和更好的抗干擾性.