楊軍華

[摘要]在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生接觸并感悟一些基本的數(shù)學(xué)思想，可以推升學(xué)生的學(xué)習(xí)層次和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在具體學(xué)習(xí)過(guò)程中，如何讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，促使學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想和策略，成為擺在教師面前的難題。教師需要透過(guò)知識(shí)來(lái)授予方法，引導(dǎo)學(xué)生自己去感悟和提煉，并加以靈活運(yùn)用，從而讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)思想。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想;數(shù)形結(jié)合;方程思想;整體思想

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“四基”的概念，除了基本知識(shí)和技能之外，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本數(shù)學(xué)思想也凸顯出來(lái)，成為教學(xué)中必須要重視的部分。之所以將基本數(shù)學(xué)思想提到如此重要的高度，是因?yàn)樵诤芏鄶?shù)學(xué)課堂中，教師的教學(xué)偏重于知識(shí)的傳授和技能的訓(xùn)練，而忽視了學(xué)生的經(jīng)歷和感悟，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)比較單一和枯燥，很難將內(nèi)容接近的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，難以自覺(jué)運(yùn)用所學(xué)技能去解決新的問(wèn)題。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要重視學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟，要推動(dòng)學(xué)生將基本的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想內(nèi)化成自己的東西，這樣才能促進(jìn)學(xué)生的深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以從以下幾方面著手。

一、迎合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，滲透數(shù)形結(jié)合思想

對(duì)于小學(xué)生而言，直觀思維比抽象思維的難度要低很多，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，可以有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，讓學(xué)生體會(huì)到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式可以讓問(wèn)題更清晰地呈現(xiàn)出來(lái)，從而找到解決問(wèn)題的最佳方案，這符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

例如在教學(xué)“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問(wèn)題”時(shí)，筆者提供給學(xué)生這樣一個(gè)問(wèn)題：“甲乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共有70噸大米，如果從甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)2/9給乙倉(cāng)庫(kù)，兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的大米數(shù)量正好相等，那么甲乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來(lái)各有大米多少噸？”

學(xué)生在讀題之后進(jìn)行了獨(dú)立思考，在交流過(guò)程中發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生的困惑在于找不出兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的大米之間的關(guān)系，所以集體交流的時(shí)候，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)線段圖來(lái)表示甲乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的數(shù)量關(guān)系。因?yàn)閺募讉}(cāng)庫(kù)運(yùn)出了大米的2/9，所以甲倉(cāng)庫(kù)的大米為9份，運(yùn)走2份之后還剩下7份，這時(shí)候與乙倉(cāng)庫(kù)的大米數(shù)量相等，說(shuō)明乙倉(cāng)庫(kù)原來(lái)的大米份數(shù)為5。在線段圖的幫助之下，學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)了問(wèn)題，找到了數(shù)量關(guān)系。還有學(xué)生提出，既然知道了兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)大米的份數(shù)分別是9份和5份，也可以用按比例分配來(lái)算出兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的大米噸數(shù)各是多少。學(xué)生之所以發(fā)現(xiàn)了更簡(jiǎn)單便捷的方法，與線段圖的幫助是分不開(kāi)的。在數(shù)形結(jié)合的思想下弄清楚題目中的數(shù)量關(guān)系之后，解題就水到渠成了，還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的新理解和新認(rèn)識(shí)。

數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)了多次，比如一列相連的數(shù)求和時(shí)，可叫督所有數(shù)畫(huà)成一個(gè)梯形來(lái)理解;在搭配的規(guī)律教學(xué)時(shí)，可以用連線的方法來(lái)探索規(guī)律的本質(zhì)。在遇到這類問(wèn)題的時(shí)候，教師要推動(dòng)學(xué)生自己去感悟數(shù)形結(jié)合的作用，幫助學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思想。

二、比較不同方法的優(yōu)劣，滲透轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化同樣是小學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的思想，在學(xué)生遇到新的問(wèn)題時(shí)，很多時(shí)候可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題來(lái)解決，也可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決，這樣學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)可以自覺(jué)形成轉(zhuǎn)化的意識(shí)，體會(huì)到轉(zhuǎn)化在解題中的實(shí)際作用。在實(shí)際教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生比較不同解題方法的優(yōu)劣，讓學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想的重要性，給轉(zhuǎn)化思想添上濃墨重彩的一筆。

例如在教學(xué)“轉(zhuǎn)化的策略”時(shí)，例2和例3都可以用多種方法來(lái)解決，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到解決問(wèn)題的方法的多樣化和優(yōu)化，引領(lǐng)他們體會(huì)到思想轉(zhuǎn)化的妙處。

比如教學(xué)例2（10支球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽采用單場(chǎng)淘汰制，直到?jīng)Q出冠軍，一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？）的時(shí)候，有的學(xué)生運(yùn)用除法計(jì)算的方法來(lái)找出一共需要多少場(chǎng)比賽，也有學(xué)生根據(jù)教材的提示，用點(diǎn)表示出10支球隊(duì)，然后用連線的方法找出直到?jīng)Q出冠軍一共需要多少場(chǎng)比賽。在組織集體交流的時(shí)候，教師引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度思考：一場(chǎng)比賽淘汰幾支球隊(duì)，到?jīng)Q出冠軍一共要淘汰多少支球隊(duì)？在這個(gè)視角之下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要轉(zhuǎn)化思路，就可以用10減1算出需要比賽的場(chǎng)次。在引導(dǎo)學(xué)生比較各種方法的異同時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果參加比賽球隊(duì)數(shù)量變多，轉(zhuǎn)化策略的優(yōu)勢(shì)將越來(lái)越明顯地凸顯出來(lái)。

在教學(xué)例3的時(shí)候，大部分學(xué)生在計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32的時(shí)候是用通分的辦法來(lái)解決的，但是在教師提示可以用一個(gè)正方形來(lái)表示1，然后將這個(gè)加法算式中的所有加數(shù)表示出來(lái)之后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)整個(gè)加法算式可以轉(zhuǎn)化為1-1/32來(lái)解決。教學(xué)這道例題之后，教師再出示幾道類似的問(wèn)題，學(xué)生嘗試畫(huà)圖，然后成功地將加法算式轉(zhuǎn)化為減法算式計(jì)算。在此過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化的妙用，轉(zhuǎn)化的思想不自覺(jué)地建立起來(lái)。

轉(zhuǎn)化不僅是—種獨(dú)特的解題策略，而且蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，這也是小學(xué)階段經(jīng)?？梢?jiàn)的一種數(shù)學(xué)思想。在本案例的教學(xué)中，教師首先由具體的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想的作用，通過(guò)比較方法的優(yōu)劣來(lái)感知轉(zhuǎn)化思想的價(jià)值，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧轉(zhuǎn)化思想在整個(gè)小學(xué)階段出現(xiàn)的例子，有效提高了學(xué)生對(duì)于轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)了學(xué)生的思想內(nèi)化。

三、提供系列問(wèn)題，滲透數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模對(duì)于小學(xué)生而言有一定的難度，但是一旦學(xué)生具備了數(shù)學(xué)建模的思想，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就可以從零散走向系統(tǒng)，從單一走向多元，這對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力有重要的幫助。從這個(gè)角度來(lái)看，在實(shí)際教學(xué)中教師可以為學(xué)生提供一系列的問(wèn)題，讓學(xué)生從中感悟到一類問(wèn)題的共同點(diǎn)，抓住問(wèn)題的核心來(lái)完成數(shù)學(xué)建模，并感悟到數(shù)學(xué)建模思想的作用，這對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言是有很大幫助的。

例如在教學(xué)“假設(shè)的策略”時(shí)，筆者首先出示例題：“同學(xué)們?nèi)ス珗@劃船，48名同學(xué)租了10條船正好坐滿，已知大船每條坐6人，小船每條坐4人，那么他們租的大船和小船各多少條？”學(xué)生在獨(dú)立嘗試的時(shí)候想到了多種不同的方法，比如一一列舉，也有學(xué)生用畫(huà)圖的方法來(lái)湊出48，在湊48人的時(shí)候，學(xué)生先畫(huà)出10條船，在每條船上都畫(huà)4個(gè)圓表示4人，然后算出比實(shí)際坐的人少8人，這樣只要再在4條船上各添上兩個(gè)圓就符合題意了。根據(jù)這個(gè)畫(huà)圖的過(guò)程，筆者引導(dǎo)學(xué)生用算式概括出畫(huà)圖湊48的過(guò)程，并反復(fù)說(shuō)每一個(gè)算式的含義，這樣對(duì)照?qǐng)D示，學(xué)生很快掌握了假設(shè)的思路。

解決這個(gè)問(wèn)題之后，筆者出示了“雞兔同籠”的問(wèn)題給學(xué)生，很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”的問(wèn)題跟剛才的問(wèn)題是相似的，雞相當(dāng)于題中的小船，兔相當(dāng)于題中的大船，雞和兔的頭相當(dāng)于題中的10條船，腳的只數(shù)相當(dāng)于題中的48人。當(dāng)學(xué)生有了這樣的認(rèn)識(shí)之后，他們的數(shù)學(xué)模型其實(shí)已經(jīng)建立了起來(lái)，遇到類似問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生立即能調(diào)用之前的假設(shè)策略來(lái)解決。

有些時(shí)候教師布置大量機(jī)械重復(fù)的作業(yè)的初衷就是促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模，但是相對(duì)于引領(lǐng)學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)建模思想而言，模仿的功效有限。實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)用題組來(lái)促進(jìn)學(xué)生的觀察、比較和歸類，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模的思想。就像案例中這樣，教師提供相近的問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生比較，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候也可叫督一些變型的問(wèn)題提供給學(xué)生，豐富他們的數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)一類問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，這對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言是有益的。

四、關(guān)注思維發(fā)展，滲透整體思想

建立基本的數(shù)學(xué)思想有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生的思維發(fā)展。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生的整體思想孕育萌芽，讓學(xué)生形成整體思維的意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性。

例如在教學(xué)“梯形的面積”時(shí)，筆者給學(xué)生提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“王大爺用柵欄一面靠墻圍成了一個(gè)梯形的花圃（如圖1），已知柵欄的總長(zhǎng)度是19米，梯形的高是6米，求梯形的面積。”不少學(xué)生在獨(dú)立嘗試時(shí)糾結(jié)于無(wú)法找到梯形的上底和下底是多少米。在隨后的交流中，成功解決了問(wèn)題的學(xué)生說(shuō)出，了用19減去6米得到梯形的上下底之和13米，然后用“13×6÷2”的思路，頓時(shí)撥開(kāi)了學(xué)生的疑云，讓他們體會(huì)到將梯形的上底和下底看成一個(gè)整體的重要性。

而在“圓的面積”教學(xué)中，筆者給學(xué)生提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“一個(gè)正方形的面積是48平方厘米，在這個(gè)正方形中畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的面積是多少平方厘米？”很多學(xué)生在分析這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候知道圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)，但是題中給出的條件是正方形的面積是48平方厘米，他們無(wú)法根據(jù)正方形的面積來(lái)求出正方形的邊長(zhǎng)。在交流這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，筆者引導(dǎo)學(xué)生從圓的面積計(jì)算方法入手來(lái)思考。結(jié)合畫(huà)圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然這個(gè)問(wèn)題無(wú)法找到圓的直徑（半徑）是多少，但是只要將正方形平均分成4個(gè)小正方形，其中一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)就是圓的半徑，也就是說(shuō)只要用48除以4就可以得到圓的半徑的平方是多少。這樣的發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生對(duì)圓的面積計(jì)算有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)增強(qiáng)了學(xué)生的整體意識(shí)。

當(dāng)然，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用整體思想來(lái)解決問(wèn)題的案例絕不止這些，在實(shí)際教學(xué)中我們要利用典型問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生自己去感悟用整體思想解題的好處，要幫助學(xué)生建立整體的視角，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

總之，數(shù)學(xué)思想作為教學(xué)環(huán)節(jié)中不可或缺的部分，需要得到教師的重視，需要在日常教學(xué)中做好引導(dǎo)，讓學(xué)生接觸更多的數(shù)學(xué)思想并感悟數(shù)學(xué)思想的妙用，從而提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，推動(dòng)學(xué)生的深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。