王永剛， 陳 夢(mèng)，2， 馮三營(yíng)

(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南 鄭州 450001； 2.中原銀行 交易銀行部 河南 鄭州 450001)

0 引言

考慮如下部分線性固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型：

(1)

關(guān)于面板數(shù)據(jù)序列相關(guān)檢驗(yàn)的問(wèn)題，文獻(xiàn)[6]在T固定的情況下提出了多種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并比較了它們的檢驗(yàn)功效；文獻(xiàn)[7]針對(duì)線性固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型，提出了基于置換檢驗(yàn)的方法來(lái)檢驗(yàn)序列相關(guān)的存在性；文獻(xiàn)[8]考慮了非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的序列相關(guān)檢驗(yàn)；文獻(xiàn)[9]研究了半?yún)?shù)部分線性面板數(shù)據(jù)模型的一階和高階序列相關(guān)檢驗(yàn)，但該研究并沒有考慮固定效應(yīng)的影響。因此，本文研究部分線性固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型(1)的序列相關(guān)檢驗(yàn)問(wèn)題。不失一般性，這里僅考慮一階序列相關(guān)性檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)如下假設(shè)：

H0:E(νitνi,t-1)=0, ? H1:E(νitνi,t-1)≠0。

(2)

對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題(2)，本文構(gòu)造了適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，證明其在原假設(shè)成立的條件下具有漸近正態(tài)分布，并通過(guò)數(shù)值模擬研究了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在有限樣本下的表現(xiàn)。

1 估計(jì)方法與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造

為消除個(gè)體效應(yīng)μi的影響，從而保證估計(jì)量的一致性，對(duì)模型(1)進(jìn)行以下差分變換：

Yit-Yi,t-1=(Xit-Xi,t-1)Tβ+g(Uit)-g(Ui,t-1)+νit-νi,t-1。

令ΔYit=Yit-Yi,t-1，ΔXit=Xit-Xi,t-1，εit=νit-νi,t-1，可得

(3)

(4)

進(jìn)一步，將模型(4)表示為矩陣形式

ΔY≈ΔXβ+Dγ+ε,

(5)

對(duì)模型(1)采用一階差分變換后，隨機(jī)誤差項(xiàng)轉(zhuǎn)化為εit=νit-νi,t-1。 由于誤差序列νit不存在高階相關(guān)，從而檢驗(yàn)原假設(shè)H0:E(νitνi,t-1)=0等價(jià)于檢驗(yàn)H0:E(εitεi,t-2)=0。 因?yàn)?/p>

E(εitεi,t-2)=E(νitνi,t-2-νitνi,t-3-νi,t-1νi,t-2+νi,t-1νi,t-3)=-E(νi,t-1νi,t-2)=-E(νitνi,t-1)。

于是，對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題(2)，基于E(εitεi,t-2)構(gòu)造如下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

2 漸近結(jié)果

為了得到In的漸近分布，需要以下條件。

C2：g(u) 在[a，b]上有有界的r(r≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

C3： 令c1,c2,…,cK為區(qū)間[a，b]上的內(nèi)節(jié)點(diǎn)，并令c0=a，cK+1=b，hi=ci-ci-1，h=max{hi}， 那么存在常數(shù)C使得h/min{hi}

C5： 隨機(jī)變量(Yi,Xi,Ui,μi,vi)獨(dú)立同分布，(Yit,Xit,Uit,νit)關(guān)于t嚴(yán)平穩(wěn)。

C6： 在H0成立的條件下，E(νit|Xit,Xi,t-1,…,Xi1,Uit,μi)=0。

C7：T固定，n→∞且內(nèi)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)K=Op(n1/(2 r+1))。

條件C1和C2是非參數(shù)估計(jì)中的常見假設(shè)，C3和C7是B樣條估計(jì)的基本假設(shè)，C4和C5是研究半?yún)?shù)面板數(shù)據(jù)模型估計(jì)的常用假設(shè)，C6是對(duì)誤差項(xiàng)期望的常規(guī)設(shè)定。

定理1假定條件C1～C7成立，則有

定理3假定條件C1～C7成立， 且當(dāng)原假設(shè)H0:E(εitεi,t-2)=0成立時(shí)，有

3 數(shù)值模擬

通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證本文所提出的估計(jì)以及一階序列相關(guān)檢驗(yàn)方法的有效性。

例1(誤差服從對(duì)稱分布) 考慮從如下模型產(chǎn)生數(shù)據(jù)：

Yit=Xit,1β1+Xit,2β2+g(Uit)+μi+νit,i=1,2，…,n,t=1,2，…,T,

式中：Xit,1～N(1,2.25)；Xit,2～N(0,1)；Uit～U(0,1)，g(Uit)=sin(πUit)；β1=2；β2=3。

固定效應(yīng)的產(chǎn)生方式為

在數(shù)值模擬中使用立方B樣條基函數(shù)，內(nèi)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)K采用交叉驗(yàn)證方法選取，樣本容量n分別為50、100和150，T分別為5和8，重復(fù)模擬計(jì)算1 000次。首先驗(yàn)證估計(jì)方法的有效性?？紤]如下誤差結(jié)構(gòu)：νit=δei,t-1+eit，其中eit～N(0,1)，δ分別取0和0.4。

δ=0時(shí)對(duì)應(yīng)于誤差序列不相關(guān)的假設(shè)，δ=0.4時(shí)對(duì)應(yīng)于誤差序列相關(guān)的假設(shè)，參數(shù)估計(jì)的有限樣本表現(xiàn)如表1所示?？梢钥闯觯S著樣本量的增加，參數(shù)估計(jì)的均值越來(lái)越接近于真值，且它們的標(biāo)準(zhǔn)差(SD)和均方誤差(MSE)均減小；不存在誤差序列相關(guān)時(shí)參數(shù)估計(jì)的Bias、SD和MSE明顯要比存在序列相關(guān)時(shí)小，這也進(jìn)一步表明了模型估計(jì)之前檢驗(yàn)序列相關(guān)的必要性。

表1 參數(shù)估計(jì)的有限樣本表現(xiàn)Table 1 Finite sample performance of parameter estimators

下面研究一階序列相關(guān)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效。考慮如下2種情形：

(i)νit～N(0,1)或t(2)；

(ii)νit=δei,t-1+eit，其中eit～N(0,1)或t(2)。

情形(i)對(duì)應(yīng)于誤差序列不相關(guān)的假設(shè)，取正態(tài)誤差和非正態(tài)誤差兩種誤差結(jié)構(gòu)。對(duì)于情形(i)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在顯著性水平α=0.05下的經(jīng)驗(yàn)拒絕頻率模擬結(jié)果見表2。情形(ii)對(duì)應(yīng)于誤差序列相關(guān)的假設(shè)，取δ=0,0.1,0.2,…,1.1。 當(dāng)δ=0時(shí)，誤差不存在相關(guān)性，轉(zhuǎn)化為情形(i)。

表2 情形(i)下序列相關(guān)檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)拒絕頻率Table 2 Empirical rejection frequencies of the serial correlation tests for case (i)

圖1給出了n=100，T=8時(shí)的檢驗(yàn)功效函數(shù)。從圖1可以看出，當(dāng)原假設(shè)成立，即δ=0時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的功效接近0.05；當(dāng)備擇假設(shè)成立， 即δ>0時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的功效隨著δ的增加而快速變大。結(jié)果表明，所構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)備擇假設(shè)是敏感的。從表2也可以看出，經(jīng)驗(yàn)拒絕頻率都接近理論水平0.05，且所提方法對(duì)誤差分布假設(shè)也是穩(wěn)健的。因此，本文提出的序列相關(guān)檢驗(yàn)方法是可行的。

圖1 n=100，T=8時(shí)的檢驗(yàn)功效函數(shù)Figure 1 The power functions when n=100 and T=8

例2(誤差服從非對(duì)稱分布) 從模型(1)產(chǎn)生數(shù)據(jù)，其中Xit服從均值為1、協(xié)方差陣為I10的p=10維正態(tài)分布，β=(2,2,…,2)T，Uit、μi和g(u)的設(shè)置方式與例1相同?？紤]如下非對(duì)稱分布誤差結(jié)構(gòu)：νit=δei,t-1+eit，其中eit～0.3χ2(3)+0.7N(-1,1)，δ分別取0和0.6。

δ=0時(shí)對(duì)應(yīng)于誤差序列不相關(guān)的假設(shè)，即原假設(shè)；δ=0.6時(shí)對(duì)應(yīng)于誤差序列相關(guān)的假設(shè)，即備擇假設(shè)。非對(duì)稱誤差分布情形下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在顯著性水平α=0.05和α=0.1下的經(jīng)驗(yàn)拒絕頻率模擬結(jié)果見表3。可以看出，在非對(duì)稱誤差分布情形下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量仍表現(xiàn)良好。當(dāng)模型中不存在誤差序列相關(guān)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)拒絕頻率均接近顯著性水平，且隨著n和T的增大表現(xiàn)趨好。當(dāng)模型中存在誤差序列相關(guān)時(shí)，檢驗(yàn)功效隨著n和T的增大越來(lái)越趨近于1。

表3 非對(duì)稱誤差分布情形下序列相關(guān)檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)拒絕頻率Table 3 Empirical rejection frequencies of the serial correlation tests with asymmetric error distribution

4 定理證明

證明引理1的證明類似于文獻(xiàn) [10] 中推論 6.21 的證明，此處省略。

定理1的證明簡(jiǎn)單計(jì)算可得

(ΔXTMDΔX)-1ΔXTMDΔXβ+(ΔXTMDΔX)-1ΔXTMDΔg+(ΔXTMDΔX)-1ΔXTMDε-β=

(ΔXTMDΔX)-1ΔXTMDΔg+(ΔXTMDΔX)-1ΔXTMDε，

其中Δg=g(Uit)-g(Ui,t-1)。

類似于文獻(xiàn)[9]中引理A.2的證明，易證n-1ΔXTMDε=n-1ΔΠε+op(n-1/2)，n-1ΔXTMDg=op(n-1/2)，以及n-1ΔXTMDΔX=n-1ΔΠTΔΠ+op(1)。于是有

定理2的證明由引理1和定理1，類似于文獻(xiàn)[11]中定理2的證明，可證定理2成立。

可得In的新展式為

A1n-A2n-A3n-A4n-A5n-A6n-A7n-A8n+A9n。

由定理1和定理2，簡(jiǎn)單計(jì)算可得A2n=op(n-1/2)，A4n=op(n-1/2)，A5n=op(n-1/2)，A6n=op(n-1/2)，A8n=op(n-1/2)。 下面考慮A3n，可得

簡(jiǎn)單計(jì)算可知

又因

進(jìn)一步可得

所以有A3n.1=op(n-1/2)。 同理，可以證得A3n.2=op(n-1/2)，故A3n=op(n-1/2)。 類似地，由定理2易證A7n=op(n-1/2)，A9n=op(n-1/2)。