何法偉 ，董永燦 ，王寒 ，馮穎 （合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 前言

鋼材具有優(yōu)良的材料特性，是目前工程建設(shè)領(lǐng)域的主要材料之一。鋼構(gòu)件在使用過(guò)程中的失穩(wěn)將導(dǎo)致重大事故，因此對(duì)其進(jìn)行失穩(wěn)監(jiān)測(cè)具有重大意義。鋼構(gòu)件在失穩(wěn)過(guò)程中，它的特征參數(shù)（如一階固有頻率）會(huì)發(fā)生顯著的變化[2]，當(dāng)這種變化到達(dá)一定程度時(shí)，鋼構(gòu)件就會(huì)失去原來(lái)的穩(wěn)定狀態(tài)即失穩(wěn)。分析鋼構(gòu)件失穩(wěn)前頻率的變化特征，能為其失穩(wěn)監(jiān)測(cè)提供依據(jù)。

1 軸心受壓桿件的振動(dòng)頻率

壓桿的穩(wěn)定性分析存在多種方法，本文從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的角度對(duì)于理想的軸心壓桿進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，以兩端鉸支壓桿為例，推導(dǎo)出兩端鉸支情況下的壓桿各階自振頻率表達(dá)式，再引入材料力學(xué)中長(zhǎng)度系數(shù)μ[1]，用相當(dāng)長(zhǎng)度μl來(lái)表示不同桿端約束下的桿長(zhǎng)，從而將鉸支情況下的壓桿各階頻率表達(dá)式[3]推廣到其他約束情形下的壓桿各階頻率表達(dá)式。

圖1 壓桿動(dòng)力分析模型

分離變量可以得到：

由此得到兩個(gè)獨(dú)立的方程：

從上式可以看出,軸向力作用下的體系仍在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

引入?yún)?shù)α和g得:

則（3）式中第二式可寫為：

為了求解式（5）令其振型 φ（x）=Derx，所以式（5）簡(jiǎn)化為:

求解得到4個(gè)根為：

中間引入的參數(shù)δ和ε為：

將 φ（x）=Derx代入，得：

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的壓桿，其邊界處的撓度和彎矩均為零，根據(jù)此邊界條件可得：

所以得到頻率方程為：

簡(jiǎn)支壓桿n階自振頻率：

而對(duì)于不同的桿端約束情況，引入上文提到的長(zhǎng)度系μ，則任意桿端約束下的壓桿各階頻率表達(dá)式：

對(duì)于壓桿的一階固有頻率而言，式(13）可簡(jiǎn)化為：

以兩端鉸支壓桿為例（μ=1），做出ω-P間關(guān)系如圖2所示。

圖2 兩端鉸支壓桿ω-P理論關(guān)系

由圖2可知，隨著桿端軸向壓力不斷增大，桿件的一階固有頻率不斷減低，當(dāng)軸向壓力增至附近P=Pcr時(shí)，一階固有頻率降至0，此時(shí)認(rèn)為壓桿處于失穩(wěn)狀態(tài)，這為基于頻率進(jìn)行鋼構(gòu)件失穩(wěn)監(jiān)測(cè)提供理論依據(jù)。

2 有限元分析

利用Ansys軟件建模，采用BEAM3單元網(wǎng)格劃分為50格單元，進(jìn)行預(yù)應(yīng)力下的模態(tài)分析，提取結(jié)構(gòu)的一階頻率，有限元模型如圖3所示。

圖3 有限元建模模型

圖4 四種不同桿端約束下的壓桿模型

用Ansys分別模擬兩端鉸支、一端固結(jié)一端無(wú)約束、一端固定另一端鉸支，兩端固定這四種桿端約束條件下的壓桿模型，如圖4所示。

由后續(xù)的分析可知4種桿件在軸向力的作用下，它們頻率的變化特征是存在共性的，故首先對(duì)兩端鉸支壓桿進(jìn)行數(shù)值模擬。

在Ansys中建立如圖3所示模型，并施加如圖4所示的約束和荷載，構(gòu)件L=1m，H=0.05m，B=0.03m，ρ=7800kg/m3，泊松比為 0.03，材料彈性模量E=2.06e11，采用BEAM3單元，網(wǎng)格劃分為50份，模態(tài)提取一階頻率，加載結(jié)果如下表所示。

圖5 兩端鉸支桿件加載示意圖

兩端鉸支桿件在軸向力作用下一階頻率的變化

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出兩端鉸支桿件在軸向力作用下，隨著軸向壓力的增大，一階固有頻率會(huì)降低。在低荷載處，壓桿的一階固有頻率隨荷載的增加降低較為緩慢，但在高荷載處壓桿的一階固有頻率會(huì)隨著荷載的增加急劇地下降[4]，如圖6所示。由歐拉臨界公式可以算的該壓桿失穩(wěn)的臨界壓力為228728N，從表1中也可看出，當(dāng)軸向壓力趨向其歐拉極限時(shí)，一階固有頻率趨向于0，即壓桿由穩(wěn)定狀態(tài)趨向失穩(wěn)狀態(tài)。

圖6 兩端鉸支壓桿ω-P的關(guān)系

將壓桿的軸向壓力同一階固有頻率的二次方進(jìn)行函數(shù)擬合，如圖7所示。

圖7 兩端鉸支壓桿ω2-P的關(guān)系

圖8 其余三種壓桿ω-P和ω2-P的關(guān)系

由圖7中擬合函數(shù)可知，兩端鉸支桿件在軸力作用下，結(jié)構(gòu)的軸向壓力同一階固有頻率呈二次方線性關(guān)系，且數(shù)值模擬出的數(shù)據(jù)點(diǎn)同擬合的一次函數(shù)有相當(dāng)高的重合度。

其余3種約束情況亦進(jìn)行同兩端鉸支壓桿相同的模擬分析步驟，將3種狀況下模擬得來(lái)的數(shù)據(jù)繪制在同一幅圖中，如圖8所示。

為了分析的方便，每種約束情況的壓桿的截面形狀以及彈性模量等數(shù)據(jù)均相同，唯一的改變量就是壓桿的長(zhǎng)度，即每種約束的壓桿μl相同且都等于1m，這樣它們的歐拉極限就都在228728N附近。

數(shù)據(jù)1為一端固結(jié)另一端無(wú)約束壓桿，L=0.5m；數(shù)據(jù)2為一端固定另一端鉸支壓桿，L=1.5m；數(shù)據(jù)3為兩端固定壓桿，L=2m。

根據(jù)圖8可以分析出其他幾種桿端約束下壓桿的一階固有頻率變化特征同兩端鉸接壓桿一階固有頻率的變化特征相同，軸向壓力同一階固有頻率呈二次方線性關(guān)系，當(dāng)軸向壓力趨近歐拉極限時(shí)，壓桿一階固有頻率趨于零，壓桿失穩(wěn)。

3 基于頻率的失穩(wěn)監(jiān)測(cè)

本文采用加速度計(jì)（拾振器）來(lái)實(shí)現(xiàn)受壓鋼構(gòu)件的頻率測(cè)定，將加速度傳感器安裝在鋼構(gòu)件上,測(cè)定結(jié)構(gòu)物在振動(dòng)時(shí)的加速度,通過(guò)對(duì)加速度積分求位移，利用振幅的衰減關(guān)系求解結(jié)構(gòu)的固有頻率等動(dòng)力特性參數(shù)。加速度計(jì)的特點(diǎn)是重量輕、體積小，因此測(cè)量值受振動(dòng)自身影響較小，可以較為方便的布設(shè)在軸心受壓構(gòu)件上，能夠滿足單一受壓鋼構(gòu)件的測(cè)量要求。

在測(cè)量時(shí)，加速度計(jì)需要和測(cè)定點(diǎn)直接接觸,同時(shí)需要采用專用配線連接加速度計(jì)和中央記錄單元，需要相關(guān)的信號(hào)放大處理及降噪處理等措施來(lái)保證測(cè)量精度。將記錄的測(cè)量信息由動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀處理輸出頻率等振動(dòng)參數(shù)，配合微型處理器（如單片機(jī)）等對(duì)鋼構(gòu)件失穩(wěn)情況進(jìn)行判斷，若發(fā)生失穩(wěn)則發(fā)出警告，則可以達(dá)到失穩(wěn)監(jiān)測(cè)的目的。由于在高荷載處壓桿的一階固有頻率會(huì)隨著荷載的增加急劇的下降，為避免受壓構(gòu)件失穩(wěn)喪失承載力對(duì)結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)造成影響，需要當(dāng)ω≤ω'（ω'≥0）時(shí)就進(jìn)行預(yù)警，ω'的設(shè)定需要結(jié)合材料的特性進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

兩端鉸支桿件在軸向力作用下一階頻率的變化

基于頻率的失穩(wěn)監(jiān)測(cè)流程如圖9所示。

4 結(jié)語(yǔ)

失穩(wěn)監(jiān)測(cè)對(duì)鋼結(jié)構(gòu)的安全具有重大意義，鋼結(jié)構(gòu)在失穩(wěn)過(guò)程中所表現(xiàn)的軸向壓力同頻率的特征關(guān)系對(duì)鋼結(jié)構(gòu)的監(jiān)測(cè)具有非常重要的理論指導(dǎo)作用。從上述的分析中可以得出如下幾個(gè)結(jié)論：

圖9 基于頻率監(jiān)測(cè)流程圖

①鋼結(jié)構(gòu)的一階固有頻率同軸向壓力有關(guān)，隨著壓力的增大而減小，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生曲屈失穩(wěn)時(shí)，一階固有頻率降低到0；

②一階固有頻率在低荷載區(qū)降低較為緩慢，而在高荷載區(qū)下降迅速，即在臨界失穩(wěn)的狀態(tài)，結(jié)構(gòu)的一階固有頻率會(huì)急劇地降低至0；

③不論何種桿端約束形式的壓桿，其軸向壓力同一階固有頻率呈二次方成線性關(guān)系。