彭 飛，熊 凌，陳 洋

（1.武漢科技大學(xué) 機(jī)器人與智能系統(tǒng)研究院，武漢430081；2.武漢科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，武漢430081）

地磁場(chǎng)是由地球內(nèi)部液態(tài)鐵的流動(dòng)，以及地球內(nèi)部和外部的電流體系，所產(chǎn)生的各種磁場(chǎng)組合疊加而產(chǎn)生的[1-2]。 近些年，隨著地磁場(chǎng)模型、地磁測(cè)量設(shè)備、地磁信息處理技術(shù)等研究的不斷發(fā)展，使得地磁匹配導(dǎo)航技術(shù)逐漸成為導(dǎo)航技術(shù)研究領(lǐng)域熱點(diǎn)之一。 目前，地磁匹配導(dǎo)航技術(shù)的研究主要集中在匹配算法上，對(duì)于匹配導(dǎo)航基準(zhǔn)圖的研究則較少，但一些具有代表性的地磁匹配算法，如TERCOM 算法[3-4]、ICCP 算法[5-6]為基礎(chǔ)的地磁導(dǎo)航算法等都是基于地磁圖的匹配定位方法。 因此，在地磁匹配導(dǎo)航技術(shù)的研究中，地磁基準(zhǔn)圖的構(gòu)建具有重大意義。

地磁基準(zhǔn)圖的構(gòu)建主要有模型法和實(shí)測(cè)法2種。 前者主要用于地磁場(chǎng)性質(zhì)的研究，而高精度地磁圖的構(gòu)建主要依賴后者[7-8]。 國(guó)際地磁參考場(chǎng)（IGRF）是用來描述地球的主磁場(chǎng)及其變化的地磁模型。 該模型自1900 年開始，每5 年進(jìn)行一次更新?lián)Q代，迄今為止已更新到第13 代，IGRF13 的相關(guān)系數(shù)也于2019 年12 月發(fā)布。 在此，主要利用IGRF13 的相關(guān)系數(shù)來構(gòu)建地磁基準(zhǔn)圖，并對(duì)地磁分量進(jìn)行分析，選擇適用于地磁導(dǎo)航的地磁信息。

1 地磁場(chǎng)模型構(gòu)建及分析

1.1 地磁場(chǎng)模型構(gòu)建

地磁場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)，是一個(gè)空間與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)[9-10]?？梢圆捎脠D1 所示的空間坐標(biāo)系來表示地磁場(chǎng)各要素之間的相互關(guān)系及其空間分布特點(diǎn)。

圖1 地磁場(chǎng)元素結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of geomagnetic elements

在該坐標(biāo)系中，地理北向、地理東向和垂直向下為該空間坐標(biāo)系的正方向，這3 個(gè)方向的分量分別記為X，Y，Z。 此外，地磁場(chǎng)中還有其他幾個(gè)要素：總磁場(chǎng)強(qiáng)度F，水平強(qiáng)度H，磁偏角D 和磁傾角I。

在這地磁場(chǎng)七要素中，只要知道3 個(gè)相互獨(dú)立的要素，就可以求其余的要素，它們的幾何關(guān)系為

19 世紀(jì)30 年代高斯理論問世以來， 許多學(xué)者利用不同數(shù)量、不同類型的地磁資料，對(duì)地球磁場(chǎng)做了不同階數(shù)的球諧分析。 直到1968 年，在華盛頓召開的“地球磁場(chǎng)的描述”座談會(huì)上正式提出了全球地磁場(chǎng)模型；國(guó)際地磁學(xué)和高空物理學(xué)協(xié)會(huì)的世界地磁測(cè)量部以及協(xié)會(huì)執(zhí)行委員會(huì)也先后對(duì)1965.0 國(guó)際地磁參考場(chǎng)給出了承認(rèn)[11]。 地磁場(chǎng)的球諧模式即是用球諧分析法來描述地球主磁場(chǎng)及其長(zhǎng)期變化的分布。

由高斯球諧分析可得，表示地磁場(chǎng)磁位的球諧函數(shù)為

其中

式中：a 為參考球體半徑， 通常為地球平均半徑，一般取a=6371.2 km；r 為參考球體中心至球表面或表面以上空間中的計(jì)算點(diǎn)的距離；h 為距離球面的高度；λ，θ 分別為球冠坐標(biāo)系中的經(jīng)度、緯度；，為施密特的標(biāo)準(zhǔn)化球諧系數(shù)又稱高斯系數(shù)；n 為截止階，根據(jù)最新的IGRF13 系數(shù)，截?cái)嚯A數(shù)n=13，當(dāng)n=m=13 時(shí)，系數(shù)總數(shù)為195 個(gè)；（cosθ）為n 階m 次的締合Legendre 函數(shù)。球冠諧系數(shù)（cosθ）的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：Kmax為球冠諧分析的截?cái)嚯A數(shù)；X，Y，Z 分別為地磁場(chǎng)的北向分量、東向分量和垂直分量。

根據(jù)以上公式，并結(jié)合IGRF13 的相關(guān)系數(shù)，可以得到一個(gè)自建的全球地磁場(chǎng)模型，并將某一個(gè)點(diǎn)的地理坐標(biāo)、距離地面的高度數(shù)據(jù)和時(shí)間信息帶入到地磁場(chǎng)模型中，從而計(jì)算出地磁場(chǎng)的各個(gè)分量信息。

這樣，通過多次代入相關(guān)區(qū)域的坐標(biāo)信息，就可以得到多個(gè)散點(diǎn)處的地磁分量信息。 利用這些散點(diǎn)信息，就可以將試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)的各坐標(biāo)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的地磁場(chǎng)各分量繪制成地磁基準(zhǔn)圖。 為了以后與地磁傳感器測(cè)量得到的實(shí)時(shí)圖進(jìn)行匹配做好導(dǎo)航，可以把地磁基準(zhǔn)圖預(yù)先分配一個(gè)儲(chǔ)存區(qū)，并將根據(jù)地磁傳感器測(cè)量得到的實(shí)時(shí)值所繪制的實(shí)時(shí)圖，在匹配算法模塊中，與預(yù)先存儲(chǔ)在導(dǎo)航系統(tǒng)中的地磁基準(zhǔn)圖不斷進(jìn)行匹配。 地磁基準(zhǔn)圖生成如圖2 所示。

圖2 地磁基準(zhǔn)圖計(jì)算流程Fig.2 Calculation flow chart of geomagnetic reference map

1.2 模型的準(zhǔn)確性分析

在線WMM 2020 模型由美國(guó)國(guó)家海洋和大氣管理局（NOAA）提供，主要預(yù)測(cè)2020—2024 年5 年間地磁場(chǎng)主成分的變化。

在此，利用在線WMM 2020 模型數(shù)據(jù)與自建模型進(jìn)行比較，分析自建模型的準(zhǔn)確性。 2 組模型的地磁總分量F 和地向分量Z 的圖像對(duì)比如圖3，圖4所示，日期為2020 年1 月1 日，區(qū)域?yàn)榻?jīng)度110°E～112°E，緯度10°N～12°N，離散點(diǎn)間隔為0.1°，海拔0 m。

圖3 地磁總量F 分布圖Fig.3 Distribution map of total geomagnetism F

圖4 地向分量Z 分布圖Fig.4 Distribution map of ground component Z

由圖可見自建模型與在線WMM 2020 模型的仿真圖像變化趨勢(shì)較為一致。

在此從數(shù)值的角度來分析自建模型與在線WMM 2020 模型的相關(guān)性，設(shè)定以下指標(biāo)作為模型準(zhǔn)確性的參考：

1）均值 為反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)。 其計(jì)算公式為

式中：aij為m×n 的矩陣A 中的值。

2）標(biāo)準(zhǔn)差 主要強(qiáng)調(diào)組內(nèi)個(gè)體間的離散程度。其具體的計(jì)算公式為

3）皮爾遜相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)是反映變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。 著重研究線性的單相關(guān)系數(shù)，取值范圍在［-1，+1］之間。 對(duì)于相關(guān)系數(shù)的大小所表示的意義，目前在統(tǒng)計(jì)學(xué)界尚不一致，但通常是按表1認(rèn)為的。

表1 相關(guān)系數(shù)與相關(guān)程度的關(guān)系Tab.1 Relationship between correlation coefficient and correlation degree

對(duì)于具有相同維度的矩陣A 和B，皮爾遜給出二維相關(guān)系數(shù)分析，計(jì)算公式為

將經(jīng)度110°E～112°E，緯度10°N～12°N，步長(zhǎng)為0.1°，網(wǎng)格數(shù)為21×21，海拔0 m 的南海某區(qū)域的地磁場(chǎng)信息，與在線網(wǎng)站地磁計(jì)算器上的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，以驗(yàn)證自建模型的準(zhǔn)確性。 自建模型、在線數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別見表2，表3；自建模型與在線WMM 2020 模型的相關(guān)度見表4。

表2 自建模型各分量均值和標(biāo)準(zhǔn)差Tab.2 Mean value and standard deviation of each component of self built model

表3 在線WMM 2020 各分量均值和標(biāo)準(zhǔn)差Tab.3 Mean value and standard deviation of each component of online WMM 2020

表4 自建模型與在線WMM 2020 各分量相關(guān)系數(shù)Tab.4 Correlation coefficient between self-built model and online WMM 2020

在選定的試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)，相同點(diǎn)的各地磁分量的最小差和最大差見表5。

表5 自建模型與在線WMM 2020 模型的極差Tab.5 Range between self-built model and online WMM 2020

由表2 和表3 可知，在選定試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)，自建模型與WMM 2020 模型的均值和標(biāo)準(zhǔn)差較為接近，表明自建模型與在線WMM 2020 模型在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)的分布較為一致。 由表4 可知，自建模型與在線WMM 2020 模型高度相關(guān)， 具有很強(qiáng)的正相關(guān)性。由表5 可知在試驗(yàn)范圍內(nèi)自建模型與在線WMM 2020 模型偏差較小。

為了更準(zhǔn)確地分析自建模型與在線WMM 2020 模型的差別， 定義了均值偏差ηE和標(biāo)準(zhǔn)差偏差ησ這2 個(gè)指標(biāo)。 其數(shù)值的計(jì)算方法為

地磁各分量偏差值計(jì)算結(jié)果見表6。

表6 自建模型與在線WMM 2020 模型的均值偏差與標(biāo)準(zhǔn)差偏差Tab.6 Mean deviation and standard deviation between self-built model and online WMM 2020

由表6 可知， 以在線模型為標(biāo)準(zhǔn)作為參考，自建模型的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與在線模型的數(shù)據(jù)相當(dāng)接近；均值偏差百分比最大的地磁分量為地向分量Z，為2.346%；標(biāo)準(zhǔn)差偏差值百分比最大的地磁分量為北向分量X，為1.688%；各分量的相關(guān)系數(shù)均大于0.999，證明所選區(qū)域的自建模型與在線WMM 2020模型有很強(qiáng)的正相關(guān)。

綜上分析，通過圖像和數(shù)據(jù)都驗(yàn)證了自建模型與在線WMM 2020 模型十分相似，從而驗(yàn)證了自建模型的準(zhǔn)確性。

2 地磁場(chǎng)分量分析

因?yàn)榈卮呕鶞?zhǔn)圖的特征信息決定了后續(xù)設(shè)計(jì)地磁匹配的方法，并且特征信息對(duì)地磁匹配概率、定位精度等有關(guān)指標(biāo)具有較大影響，所以需要對(duì)影響地磁基準(zhǔn)圖匹配性能的特征信息進(jìn)行綜合分析[12-13]。

在地磁匹配中，匹配特征量的選擇是指：考慮地磁場(chǎng)特征量在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)變化的穩(wěn)定程度、短期時(shí)間內(nèi)變化的影響程度、地磁特征量與地理坐標(biāo)位置的相關(guān)程度和相關(guān)特征，以及現(xiàn)有地磁傳感器的性能指標(biāo)等因素，從7 個(gè)地磁場(chǎng)分量中選取某一個(gè)特征量或者多個(gè)特征量作為地磁基準(zhǔn)圖匹配時(shí)特征量。

據(jù)此，在選擇匹配特征量時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮：準(zhǔn)則1地磁特征量在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)（如1a）的穩(wěn)定程度；準(zhǔn)則2地磁特征量受到短期變化（如磁暴等）的影響程度；準(zhǔn)則3地磁特征量的變化與地理位置的相關(guān)程度；準(zhǔn)則4地磁測(cè)量設(shè)備的測(cè)量精度；準(zhǔn)則5匹配區(qū)域的特征信息。作為匹配準(zhǔn)則，準(zhǔn)則3—準(zhǔn)則5 是進(jìn)行地磁匹配的關(guān)鍵， 準(zhǔn)則1 和準(zhǔn)則2 是為提高地磁匹配的概率和精度而采取的細(xì)化措施。

首先，在所有的地磁特征量中，當(dāng)匹配探測(cè)區(qū)域位于地磁場(chǎng)南北極或者地磁赤道附近時(shí)，磁偏角D 和磁傾角I 的變化才比較明顯[14-15]。根據(jù)特征量選擇的準(zhǔn)則3 和準(zhǔn)則4，應(yīng)先排除選取磁偏角D 和磁傾角I 這2 個(gè)角度類特征量，然后從5 個(gè)強(qiáng)度類特征量中選取匹配特征量。

在此所選取的研究對(duì)象為位于我國(guó)南海10°～12°N，110°～120°E 的區(qū)域， 以0.1°為間隔的21×21的網(wǎng)格區(qū)域。 試驗(yàn)數(shù)據(jù)均為海拔高為0 m 的地磁數(shù)據(jù)。 在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)，分別沿西-東、南-北、西南-東北、西北-東南4 個(gè)方向，依據(jù)自建模型的相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算各點(diǎn)的地磁分量（F，H，X，Y，Z），并進(jìn)行比較分析。 在此匹配特征量的選擇結(jié)果是適用于試驗(yàn)中的具體區(qū)域的。

由于數(shù)據(jù)均為相鄰變化值，為便于分析，所有數(shù)值均取其絕對(duì)值，單位為nT。 依據(jù)自建模型4 個(gè)方向相鄰坐標(biāo)的地磁各分量變化情況如圖5 所示。

圖5 四個(gè)方向上各分量的變化Fig.5 Variation of components in four directions

由圖5 可見，在所研究的10°～12°N，110°～120°E低緯度區(qū)域內(nèi)，除了在南-北方向上特征量F，H 和X 的相鄰點(diǎn)的地磁差值大致相同外， 在其余3 個(gè)方向上特征量Z 的相鄰點(diǎn)的地磁差值明顯高于其它特征量。根據(jù)特征量選取準(zhǔn)則3，在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)可以選擇特征量Z 作為地磁匹配的特征量（接近南-北方向上，也可選擇F 作為匹配特征量）。 若將經(jīng)緯度信息轉(zhuǎn)化為地理距離信息， 在10°～12°N，110°～120°E區(qū)域0.1°的間隔可粗略換算為11 km， 以Z 分量的地磁變化差值計(jì)算， 西-東方向上的地磁變化率約為16 nT/km，西南-東北和西北-東南方向上的地磁變化率約為11 nT/km，而常用的磁通門傳感器的精度為0.1 nT， 可以得知在較小范圍內(nèi)Z 分量的地磁變化可以被探測(cè)到，證明了在試驗(yàn)區(qū)域內(nèi)選擇Z 分量作為特征量的可靠性。

經(jīng)過驗(yàn)證，在此所選定的區(qū)域內(nèi)，以不同的經(jīng)緯度間隔或者以在線WMM 2020 模型為基礎(chǔ)進(jìn)行研究時(shí)，得到的結(jié)論依然相同。 （因篇幅有限，不再列出相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表格和圖像）

通過分析各緯度區(qū)域的地磁數(shù)據(jù)，得出以下結(jié)論：①高緯度地區(qū) 在西-東方向上，Y 分量變化明顯；在南-北方向上，H 分量變化明顯。 ②中緯度地區(qū) 在西-東方向和南-北方向上，Z 分量變化明顯。③低緯度地區(qū) 在西-東方向上，Z 分量變化明顯；在南-北方向上，F(xiàn)，H 和X 分量變化較大。

3 結(jié)語

在此主要分析了地磁場(chǎng)模型的建立與準(zhǔn)確度，分析了適用于地磁匹配的地磁特征量。 在分析自建模型與在線WMM 2020 模型的相似程度方面，主要引入了均值、標(biāo)準(zhǔn)差和皮爾遜相關(guān)系數(shù)3 個(gè)參考指標(biāo)，定義了均值偏差量和標(biāo)準(zhǔn)值偏差量2 個(gè)指標(biāo)，更深入地分析了自建模型與在線WMM 2020 模型的相似程度。 結(jié)果證明了自建模型與在線WMM 2020模型具有高度正相關(guān)性。 因此在研究地磁匹配時(shí)，將自建模型與在線WMM 2020 模型作為基本場(chǎng)均具可行性。 在分析適用于地磁匹配的地磁特征量時(shí)， 主要考慮了地磁場(chǎng)的梯度變化這一特征，分析了高、中、低緯度的地磁特征量變化，并得到初步結(jié)論。