李顯哲 曹云東 付思

摘要：以磁流體動力學(xué)（MHD）為基礎(chǔ)，建立了小電流真空電弧的雙溫磁流體動力學(xué)模型及三維電弧的數(shù)學(xué)控制模型，仿真分析了小電流真空電弧的特性參數(shù)以及電機(jī)旋轉(zhuǎn)對于電弧特性參數(shù)的影響。分析表明：小電流真空等離子體數(shù)密度、電子溫度、離子溫度、壓強(qiáng)、縱向電流密度、能流密度的最大值都出現(xiàn)在電弧中心位置，并且沿徑向逐漸減小，電弧等離子體從外觀以及各項(xiàng)參數(shù)的分布上符合擴(kuò)散型電弧的規(guī)律;同時，隨著電極轉(zhuǎn)速的增加，縱向電流密度、電子溫度、離子溫度、陽極側(cè)能流密度都逐漸減小，分布更加均勻。

關(guān)鍵詞：真空斷路器;磁流體動力學(xué)（MHD）;數(shù)值仿真;電弧參數(shù)

0? ? 引言

真空電弧的本質(zhì)是存在于真空介質(zhì)中的蒸氣電弧[1]。目前，真空電弧已經(jīng)廣泛應(yīng)用于真空滅弧室、真空鍍膜以及相控真空開關(guān)等多個領(lǐng)域，對真空電弧的建模仿真及研究作為一種重要研究手段，受到了眾多專家學(xué)者的重視。

真空電弧在真空環(huán)境中，電極間的氣體十分稀薄，所以不存在空氣電弧中氣體的游離問題，電弧中的帶電粒子主要來自于電極蒸發(fā)的氣體金屬蒸氣分子的游離[2]，這些游離的金屬蒸氣分子為極間真空區(qū)域提供了大量的等離子體，形成承載電流的載荷粒子。

R.L.Boxman[3]最早針對平板電極真空電弧進(jìn)行了一維仿真，將真空電弧當(dāng)作流體處理，方程反映了電流密度在陽極區(qū)域發(fā)生收縮現(xiàn)象，但其將流體方程與電磁場方程割裂開來，因此模型并不完整。I.I.Beilis和M.Keidar[4-5]將流體方程與電磁場方程進(jìn)行耦合，并加入了縱向磁場，建立了二維電弧模型，分析了電子溫度以及陽極鞘層電勢的變化。E.Schade和D.L.Shmelev[6-7]最終考慮了能量平衡方程，建立了比較完善的雙溫MHD模型，并分析了在外加磁場的作用下，超音速電弧、亞音速電弧的參數(shù)分布及轉(zhuǎn)換過程，此外還分析了能流密度分布以及磁場對于電弧等離子體的影響。王立軍、賈申利等[8-10]在Schade模型的基礎(chǔ)上，添加了離子動能以及離子粘性應(yīng)力，進(jìn)一步完善了雙溫等離子體模型，并且針對觸頭半徑、觸頭開距等結(jié)構(gòu)參數(shù)對電弧進(jìn)行了模擬。隨后建立了縱向磁場下的三維真空電弧模型，發(fā)現(xiàn)了等離子體的螺旋運(yùn)動，并分析了空間區(qū)域內(nèi)電場的分布[11]，形成了完善的真空電弧MHD模型。

真空電弧主要是依靠陰極表面上大量的陰極斑點(diǎn)提供的金屬蒸氣來維持的，陰極斑點(diǎn)位置溫度高，電流密度大，它不僅提供維持真空電弧燃燒的金屬蒸氣，同時也是電子進(jìn)入真空區(qū)域的通道[12]。因此，當(dāng)陰極斑點(diǎn)跟隨電極發(fā)生運(yùn)動時，將會改變真空電弧的特性參數(shù)，這些特性參數(shù)包括流動參數(shù)以及電磁參數(shù)，對于真空電弧的燃燒過程以及熄滅過程有著重要的影響。

本文將根據(jù)現(xiàn)有的MHD模型，著重研究電極在不同轉(zhuǎn)速下小電流真空電弧物性參數(shù)，分析對比討論電極旋轉(zhuǎn)對小電流真空電弧的影響。

1? ? 小電流真空電弧模型

1.1? ? 物理模型與基本假設(shè)

I.I.Beilis等人建立了小電流（100～500 A）下陰極斑點(diǎn)真空電弧等離子體模型[13]，當(dāng)電弧電流很小時，單獨(dú)存在的陰極斑點(diǎn)蒸氣射流由于自身的等離子體壓力而發(fā)生徑向擴(kuò)散，真空電弧的形態(tài)呈擴(kuò)散態(tài)，陰極斑點(diǎn)僅占整個陰極表面的很小一部分，發(fā)射的金屬氣流處于平行、獨(dú)立的狀態(tài)，可以把這種類型的電弧作為射流來處理，電流處于超音速流動狀態(tài)，其模型可用圖1來描述。值得注意的是，該模型的應(yīng)用范圍是小電流真空電弧（100～500 A），如果接觸面過小而流過接觸面的電流比較大，陰極斑點(diǎn)覆蓋的范圍將會增大，而隨著電弧電流的進(jìn)一步增大，陰極斑點(diǎn)會逐漸擴(kuò)散直到充滿整個陰極，電弧形態(tài)將發(fā)展為收縮態(tài)，由于整個陰極表面發(fā)射等離子體，將無法判斷電極旋轉(zhuǎn)對真空電弧等離子體特性參數(shù)分布的影響，因此不予考慮。

如圖1所示，真空電弧主要由三部分組成：陰極斑點(diǎn)與混合區(qū)、弧柱區(qū)以及陽極鞘層。陰極斑點(diǎn)是真空電弧等離子體的主要來源，電弧等離子體的流動方向是從陰極流向陽極，電子和金屬離子為電流的載體。本文的仿真區(qū)域?yàn)榛≈鶇^(qū)，模型中的陰極斑點(diǎn)與混合區(qū)、陽極鞘層則是作為真空電弧仿真區(qū)域的邊界，陽極作為電流收集器在超音速流動的情況下本身不影響等離子體流動，而且根據(jù)文獻(xiàn)[14]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由陽極融化、蒸發(fā)產(chǎn)生的材料也難以進(jìn)入弧柱中。文中將不再考慮陽極鞘層以及電弧的弧柱對于陰極斑點(diǎn)的影響，陰極斑點(diǎn)與混合區(qū)只作為電弧等離子體的噴射入口。因此按照圖2所示物理模型進(jìn)行建模仿真。

真空電弧的物理模型將基于以下幾個假定：

（1）電弧等離子體完全電離，極間只存在兩種帶電粒子——電子及帶電離子（金屬銅離子），不再考慮中性粒子在等離子體中的作用。

（2）等離子體中電子的自由行程le遠(yuǎn)小于電極間距d，因此對于真空電弧等離子體，可以當(dāng)作導(dǎo)電的連續(xù)流體，因而可以用流體理論來描述電弧等離子體。

（3）由于電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于離子質(zhì)量，因而忽略電子的慣性分量。

（4）考慮求解區(qū)域滿足準(zhǔn)電中性條件，即ne=zini，其中zi為銅離子的電荷量。

（5）陽極還不活躍，陽極一直處于被動狀態(tài)，入射的等離子體在到達(dá)陽極后將在陽極邊界處凝結(jié)。

（6）假定電子和離子都服從麥克斯韋分布。

1.2? ? 數(shù)學(xué)模型

真空電弧等離子體密度較低（1014～1020個/m3），弧柱內(nèi)氣體壓力也很低（數(shù)百帕以內(nèi)），等離子中電子—離子的碰撞頻率不高，電子溫度往往高于離子溫度，因此需要采用真空電弧雙溫磁流體動力學(xué)模型，分別對電子和離子建立數(shù)學(xué)控制方程組。

連續(xù)性方程：

式中，ni表示離子數(shù)密度;ux、uy、uz分別表示離子沿x、y、z軸方向的遷移速率。

由于電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于離子質(zhì)量，因此電子的連續(xù)性方程可以忽略。

動量守恒方程：

式中，jx、jy、jz分別表示電流密度沿x、y、z軸的分量;Bx、By、Bz分別表示磁場沿x、y、z軸的分量;mi為離子質(zhì)量;ne為電子數(shù)密度;τi為離子的粘性應(yīng)力張量;k為玻爾茲曼常數(shù);Te為電子溫度;Ti為離子溫度。

能量守恒方程：

式中，Cpe、Cpi為電子和離子等壓比熱;λe、λi為電子和離子熱導(dǎo)率;pe、pi為電子壓力和離子壓力;σ為電導(dǎo)率。

能量方程中由于電子和離子做隨機(jī)熱運(yùn)動發(fā)生碰撞時，電子會將自身的能量傳遞給離子從而發(fā)生熱交換：

式中，Qei 、Qie 為電子—離子的碰撞項(xiàng);vei為電子—離子的碰撞頻率。

電子—離子的碰撞頻率，電導(dǎo)率，電子、離子熱導(dǎo)率有公式：

電流密度與電子、離子遷移速率之間的關(guān)系為：

式中，e為電子電荷量。

電流密度沿x、y、z軸方向的分量形式為：

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率。

由電流密度公式可知電子沿x、y、z軸方向的遷移速率分別為：

環(huán)向磁場沿x、y軸分量的磁場輸運(yùn)方程：

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率。

以上是真空電弧磁流體動力學(xué)的數(shù)學(xué)模型，要對以上方程進(jìn)行求解，需要進(jìn)行邊界條件約束。

2? ? 邊界條件設(shè)定

2.1? ? 陰極邊界

小電流真空電弧情況下，電弧等離子體流速很高（約1.1×104 m/s），離子溫度較低（約0.3 eV），等離子體流速大于本身的熱運(yùn)動速度，電弧處于超音速流動狀態(tài)[15]，對于超音速真空電弧，根據(jù)流體動力學(xué)的計(jì)算理論，需要設(shè)定流體入口處的溫度、壓力、速度及流動方向。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，陰極邊界（入口處）電子溫度取1.5 eV，離子溫度取0.3 eV，流體速度u0取1.1×104 m/s，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，離子的平均電荷量zi為1.85，陰極邊界的電流密度可由公式j(luò)0=I/πr02得到，r0=為陰極斑點(diǎn)團(tuán)的半徑，離子數(shù)密度n0=χj0/miu0，χ為陰極侵蝕率，根據(jù)文獻(xiàn)[15]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，χ取115 μg/C。

入口處磁場大小沿x、y方向的分布為：

2.2? ? 陽極邊界

由于流體處于超音速狀態(tài)，超音速流體流場中，擾動的影響僅限于下游馬赫錐，陽極邊界（出口處）流場設(shè)置對于上游（入口處）流場沒有影響，因此陽極邊界的流場參數(shù)不用做設(shè)置。

在能量方程中，陽極邊界條件設(shè)置為絕熱條件，即：

2.3? ? 側(cè)面邊界

側(cè)面邊界處磁場邊界條件為：

流場處的邊界條件設(shè)置為絕熱條件，即：

此外，將電弧的側(cè)面當(dāng)作壁面處理，在粘性流動中，壁面處應(yīng)默認(rèn)為無滑移邊界條件。

3? ? 仿真結(jié)果與分析

3.1? ? 小電流真空電弧基本特性

本文對小電流擴(kuò)散真空電弧的基本物性參數(shù)進(jìn)行仿真，主要關(guān)注的參數(shù)有：等離子體數(shù)密度、電子溫度、離子溫度、壓力、縱向電流密度及陽極側(cè)能流密度分布。計(jì)算電流為200 A，電流將主要從陰極側(cè)陰極斑點(diǎn)處流出，陰極斑點(diǎn)位于x=5 mm處，斑點(diǎn)半徑r0為4.5 mm，電極間距為10 mm，假設(shè)等離子體從陰極邊垂直流入等離子體區(qū)，即陰極邊只有縱向速度分量。小電流真空電弧仿真結(jié)果如圖3所示，圖片截取穿過從陰極中心位置到陰極斑點(diǎn)中心的縱向截面，圖中下邊界為陰極側(cè)，上邊界為陽極側(cè)。

真空電弧的等離子體數(shù)密度空間分布如圖3（a）所示，圖中可以明顯看出電弧的形態(tài)從陰極到陽極發(fā)生了一定的擴(kuò)散，同時等離子體數(shù)密度在電弧中心區(qū)域最大，沿徑向數(shù)密度逐漸減小。數(shù)密度最大的區(qū)域出現(xiàn)在陰極邊，并且在陰極斑點(diǎn)的中心，為7.9×1020個/m3。從陰極側(cè)到陽極側(cè)，等離子體數(shù)密度逐漸減小并且分布更均勻，這也說明電弧發(fā)生了一定的擴(kuò)散。

真空電弧的電子溫度及離子溫度分別如圖3（b）和圖3（c）所示，圖中，電子溫度和離子溫度從陰極側(cè)到陽極側(cè)都有一定的升高，電子溫度從17 400 K升高到18 877 K，離子溫度從3 480 K升高到10 180 K。電子溫度始終高于離子溫度，但是沒有離子溫度上升得明顯。造成這種現(xiàn)象的原因在于電子溫度的熱源主要是電流密度產(chǎn)生的焦耳熱，由于小電流真空電弧電流密度比較小，并且主要集中在電弧的中心區(qū)域，電極的其他區(qū)域電流密度極小，電子吸熱較少，因此電子溫度升高較慢且較為集中;而離子溫度的熱源主要為電子—離子之間的碰撞使得高溫電子將自身的一部分能量傳遞給離子，因此離子溫度的分布與電子溫度分布類似。

真空電弧的壓力分布如圖3（d）所示，圖中，離子壓力的最大值在電弧中心偏陽極側(cè)的位置，約為90 Pa。根據(jù)理想氣體理論：等離子體壓力與等離子體數(shù)密度和溫度緊密關(guān)聯(lián)，因此，壓力的分布符合完全氣體公式p=nkT。此外可以看到，由于壓力的最大值出現(xiàn)在電弧的中心位置，將產(chǎn)生徑向的壓力梯度力，在梯度力的作用下，等離子體會發(fā)生徑向擴(kuò)散。

真空電弧的縱向電流密度的徑向分布如圖3（e）所示，在陰極側(cè)附近，縱向電流密度集中在電弧的中心區(qū)域，最大為3.4倍的電流密度，而到了陽極側(cè)附近，縱向電流密度明顯分布更加均勻，從陰極到陽極出現(xiàn)了擴(kuò)散的趨勢。發(fā)生這種現(xiàn)象的原因主要是作為承載電流的載荷粒子，等離子體數(shù)密度的分布從陰極到陽極發(fā)生了擴(kuò)散，因此縱向電流密度呈現(xiàn)了類似的分布。

真空電弧的陽極表面能流密度分布如圖3（f）所示，流入陽極的能流密度分為電子能流密度及離子能流密度，圖中流向陽極的能流密度主要集中在電弧的中心區(qū)域，最大值約為1.2×108 W/m2，其中電子能流密度貢獻(xiàn)較大，占到了80%左右，離子能流密度貢獻(xiàn)較小，占20%左右。

3.2? ? 電極旋轉(zhuǎn)對小電流真空電弧特性的影響

當(dāng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時，陰極斑點(diǎn)會跟隨電極一起運(yùn)動，當(dāng)陰極斑點(diǎn)跟隨電極發(fā)生運(yùn)動時，將會改變真空電弧的特性參數(shù)。圖4展示了電極轉(zhuǎn)速分別為25 000 r/s、37 500 r/s、50 000 r/s、75 000 r/s的情況下真空電弧特性參數(shù)的變化。

電極不同轉(zhuǎn)速對陽極側(cè)電弧縱向電流密度分布影響如圖4（a）所示。由圖可知，隨著電極轉(zhuǎn)速的提高，陽極側(cè)縱向電流密度分布峰值逐漸減小，分別為1.31、1.30、1.29、1.27倍電流密度，并且分布更加均勻。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因主要是陰極斑點(diǎn)會隨著電極的轉(zhuǎn)動從不同的位置向電極間噴射等離子體，因此等離子體到達(dá)陽極時會覆蓋更大的區(qū)域，并且分布更加均勻，作為承載電流的載體，等離子體的運(yùn)動方式和空間分布將對電流密度產(chǎn)生影響，因而由等離子體宏觀運(yùn)動形成的電弧電流呈現(xiàn)擴(kuò)散的分布狀態(tài)。

電極不同轉(zhuǎn)速對電子溫度、離子溫度的影響如圖4（b）、圖4（c）所示。由圖可知，電子溫度和離子溫度的最大值都隨電極轉(zhuǎn)速的提高而減小，但電子溫度最大值下降比較明顯，電子溫度最大值分別為18 815 K、18 675 K、18 598 K、18 363 K，而離子溫度最大值下降得則并不明顯，離子溫度最大值分別為10 077 K、9 981 K、9 855 K、9 707 K。這同樣是由于縱向電流密度分布的緣故，由于電極轉(zhuǎn)速的提高，縱向電流密度減小，而它是電子溫度的唯一熱源，同時，由于電極旋轉(zhuǎn)的原因電子更加容易擴(kuò)散到周圍區(qū)域，因此電子溫度最大值下降的趨勢比較明顯。而離子溫度最大值下降不明顯的原因仍然是電子—離子碰撞頻率較小，雖然電子溫度最大值出現(xiàn)了明顯的下降，但對碰撞過程中電子—離子的熱交換影響不大，因此離子溫度下降不明顯。

電極不同轉(zhuǎn)速對陽極表面能流密度影響如圖4（d）所示，由圖可知，由于到達(dá)陽極的能流密度與電子和離子各自的能流密度相關(guān)，而電子溫度與離子溫度的最大值隨電極轉(zhuǎn)速的增加都呈現(xiàn)下降的趨勢，各自的能流密度分別減小，故陽極表面能流密度隨電極轉(zhuǎn)速增加逐漸減小，分別為1.159×108 W/m2、1.109×108 W/m2、1.042×108 W/m2、0.976×108 W/m2，流入陽極的能流密度隨電極轉(zhuǎn)速的提高而減小。

4? ? 結(jié)論

通過對電極旋轉(zhuǎn)情況下小電流真空電弧的仿真，可以得出以下結(jié)論：

（1）小電流真空電弧呈現(xiàn)擴(kuò)散狀態(tài)，與大量的仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是吻合的。

（2）隨電極轉(zhuǎn)速的提高，電流密度分布更加均勻，電子溫度、離子溫度、能流密度均有所下降，這對于抑制陽極斑點(diǎn)的形成是有利的，因此更有利于電弧的熄滅。

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收稿日期：2020-04-15

作者簡介：李顯哲（1994—），男，河南鄭州人，碩士研究生，研究方向：電器設(shè)計(jì)及其控制。

曹云東（1963—），男，遼寧沈陽人，博士，教授，研究方向：現(xiàn)代電器設(shè)計(jì)理論及應(yīng)用。

付思（1985—），女，江西宜春人，博士，講師，研究方向：開關(guān)電器電弧等離子體理論與開斷特性。