基于Radau偽譜法的汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略設(shè)計(jì)*

張家旭，施正堂，趙 健，朱 冰

（1.吉林大學(xué)，汽車仿真與控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長春 130022； 2.中國第一汽車集團(tuán)有限公司智能網(wǎng)聯(lián)研發(fā)院，長春 130011；3.浙江亞太機(jī)電股份有限公司智能汽車控制系統(tǒng)研究院，杭州 311200）

前言

目前汽車主動(dòng)避障系統(tǒng)多是通過制動(dòng)主動(dòng)改變汽車縱向運(yùn)動(dòng)來避開前方障礙物［1-2］，而高速行駛的汽車遇到前方突然出現(xiàn)的低速運(yùn)動(dòng)或靜止障礙物時(shí)，基于制動(dòng)的主動(dòng)避障系統(tǒng)需要較長的制動(dòng)距離才能避免碰撞事故發(fā)生，且易導(dǎo)致后方汽車發(fā)生追尾事故。針對(duì)基于制動(dòng)的主動(dòng)避障系統(tǒng)在高速避障過程中呈現(xiàn)出的不足，通過轉(zhuǎn)向和制動(dòng)主動(dòng)改變汽車行駛車道來避開前方障礙物的主動(dòng)避障系統(tǒng)需要的制動(dòng)距離更短，避障過程中的汽車縱向速度損失更小。因此，深入研究基于轉(zhuǎn)向和制動(dòng)的汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)對(duì)于進(jìn)一步提高汽車的主動(dòng)安全性具有重要的意義。

基于轉(zhuǎn)向和制動(dòng)的汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)包括環(huán)境感知模塊、行為決策模塊和軌跡規(guī)劃與跟蹤控制模塊，而軌跡規(guī)劃與跟蹤控制模塊是汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)的核心組成部分，得到了國內(nèi)外汽車廠商和學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)［3］中采用圓弧 直線組合方式規(guī)劃滿足汽車側(cè)向加速度約束的高速緊急換道避障軌跡，并采用β樣條曲線對(duì)其平滑處理，使最終輸出的汽車高速緊急換道避障軌跡曲率連續(xù)。隨后，以線性2自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)汽車高速緊急換道避障自抗擾軌跡跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡的跟蹤控制。文獻(xiàn)［4］中將汽車高速緊急換道避障軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為七次多項(xiàng)式曲線系數(shù)最優(yōu)化問題，并利用模擬退火算法的全局搜索能力求解該最優(yōu)化問題，得到滿足避障約束和邊界條件約束的汽車高速緊急換道避障最優(yōu)軌跡。為了抑制模型參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾對(duì)最優(yōu)軌跡跟蹤控制性能的影響，文獻(xiàn)［4］中采用強(qiáng)魯棒性的μ綜合方法設(shè)計(jì)汽車高速緊急換道避障軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)［5］中基于斯塔克伯格微分對(duì)策理論規(guī)劃滿足避障約束的汽車高速緊急換道避障軌跡，并采用多項(xiàng)式曲線對(duì)軌跡進(jìn)行平滑處理。隨后，采用非奇異終端滑模控制理論設(shè)計(jì)汽車高速緊急換道避障軌跡跟蹤控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)具有時(shí)間收斂特性。文獻(xiàn)［6］中將汽車高速緊急換道避障軌跡規(guī)劃問題抽象為人造引力場中搜索最優(yōu)軌跡問題，并通過求解人造引力場合力來確定汽車高速緊急換道避障軌跡。隨后，以線性2自由度汽車動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，采用模型預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)滿足執(zhí)行機(jī)構(gòu)性能約束的汽車高速緊急換道避障軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)［7］中采用三次多項(xiàng)式曲線描述汽車高速緊急換道避障軌跡的曲率，并且基于汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立汽車高速緊急換道避障軌跡上的位姿與軌跡曲率之間的關(guān)系，通過梯度下降法優(yōu)化求解三次多項(xiàng)式曲線系數(shù)即可得到汽車高速緊急換道避障的最優(yōu)軌跡。隨后，以汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為基礎(chǔ)，采用模型預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)汽車高速緊急換道避障軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)［8］中采用主成分分析法和K均值聚類分析法提取出反映不同風(fēng)格駕駛?cè)说奶卣髦?，并采用該特征值?biāo)定五次多項(xiàng)式系數(shù)，從而得到滿足駕駛舒適性約束和避障約束的汽車高速緊急換道避障軌跡。隨后，采用基于預(yù)瞄的前饋控制和基于LQR的反饋控制相結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡的跟蹤控制。文獻(xiàn)［9］中基于高斯假設(shè)提出可表征駕駛行為和汽車動(dòng)力學(xué)特性的汽車高速緊急換道避障軌跡模型，并采用反饋線性化方法設(shè)計(jì)汽車高速緊急換道軌跡跟蹤控制器，對(duì)汽車高速緊急換道避障軌跡模型輸出的汽車位姿進(jìn)行跟蹤控制。文獻(xiàn)［10］中采用sigmoid函數(shù)描述汽車高速緊急換道避障軌跡，并利用滾動(dòng)優(yōu)化方法實(shí)時(shí)調(diào)整sigmoid函數(shù)參數(shù)，以使規(guī)劃的汽車高速緊急換道避障軌跡對(duì)動(dòng)態(tài)障礙物具有自適應(yīng)能力。隨后，采用模型預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)汽車高速緊急換道避障軌跡跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)軌跡的跟蹤控制。上述研究均采用分層式架構(gòu)設(shè)計(jì)汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃與跟蹤控制模塊，即：軌跡規(guī)劃層采用幾何算法、搜索算法和優(yōu)化算法等規(guī)劃出滿足汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)約束、邊界條件約束的汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)的軌跡；軌跡跟蹤控制層以汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，采用魯棒控制方法設(shè)計(jì)出汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)的軌跡跟蹤控制策略，實(shí)現(xiàn)對(duì)軌跡規(guī)劃層輸出的目標(biāo)軌跡跟蹤控制。由于上述研究在軌跡規(guī)劃層和軌跡跟蹤控制層重復(fù)考慮了汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性，極大地增加了汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃與跟蹤控制模塊設(shè)計(jì)的復(fù)雜性。

鑒于此，本文中采用汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型相結(jié)合的方式將汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃與跟蹤控制模塊設(shè)計(jì)問題集中表示成汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制問題，并通過Radau偽譜法將汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，通過求解該非線性規(guī)劃問題得到汽車高速緊急換道避障系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃與跟蹤控制模塊對(duì)汽車制動(dòng)系統(tǒng)和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的最優(yōu)控制量，即：目標(biāo)輪胎縱向滑移率和目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)向角變化率。隨后，采用離散滑模變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計(jì)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾具有強(qiáng)魯棒性的車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)輪胎縱向滑移率的跟蹤控制。最后，基于高精度的車輛動(dòng)力學(xué)軟件構(gòu)建模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，驗(yàn)證所提控制策略的可行性和有效性。

1 高速緊急換道避障最優(yōu)控制

1.1 高速緊急換道避障最優(yōu)控制模型

汽車在高速緊急換道避障過程中處于極限行駛狀態(tài)，需要采用汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型相結(jié)合的方式描述汽車緊急換道避障最優(yōu)控制問題。汽車模型如圖1所示，建立原點(diǎn)固結(jié)于初始時(shí)刻的汽車質(zhì)心在地面上投影點(diǎn)的地面坐標(biāo)系OXYZ和原點(diǎn)固結(jié)于汽車質(zhì)心的車身坐標(biāo)系BXYZ，汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程［11］可以描述為

式中：x、y和φ分別為汽車質(zhì)心的縱向坐標(biāo)、側(cè)向坐標(biāo)和汽車方位角；vx、vy和γ分別為汽車的縱向速度、側(cè)向速度和橫擺角速度；Iz為汽車?yán)@通過質(zhì)心垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ax、ay和Mz分別為汽車的縱向加速度、側(cè)向加速度和橫擺力矩。

式中：m為整車質(zhì)量；Lf和Lr分別為汽車質(zhì)心到前軸和后軸的距離；Tf和Tr分別為1/2前輪輪距和1/2后輪輪距；δf為汽車前輪轉(zhuǎn)向角；Fx1（i=1，…，4）和Fyi（i=1，…，4）分別為車輪平面與地面交線方向及其垂直方向的左前、右前、左后、右后的輪胎縱向力和側(cè)向力。

圖1 汽車模型

式中：Fwli和Fwsi分別為車輪前進(jìn)方向及其垂直方向的左前、右前、左后、右后的輪胎縱向力和側(cè)向力；αi分別為左前、右前、左后、右后的輪胎側(cè)偏角。

基于Burckhardt輪胎模型可將車輪前進(jìn)方向及其垂直方向的左前、右前、左后、右后的輪胎縱向力和側(cè)向力［12］表示為

式中：kb為修正因子；Fzi分別為左前、右前、左后、右后的車輪垂向載荷；λli和λsi分別為左前、右前、左后、右后的輪胎縱向滑移率和側(cè)向滑移率；μresi和λresi分別為左前、右前、左后、右后的輪胎地面合成附著系數(shù)和合成滑移率。

式中?1、?2和?3為針對(duì)不同輪胎 地面附著條件的調(diào)節(jié)因子。

已知制動(dòng)工況下的輪胎縱向滑移率，其側(cè)向滑移率可表示為

考慮汽車縱向加速度和側(cè)向加速度產(chǎn)生的車輪垂向載荷轉(zhuǎn)移，其左前、右前、左后、右后的車輪垂向載荷可表示為

式中：L和H分別為汽車軸距和汽車質(zhì)心高度；g為重力加速度。

將汽車質(zhì)心縱向坐標(biāo)x、汽車質(zhì)心側(cè)向坐標(biāo)y、汽車方位角φ、汽車縱向速度vx、汽車側(cè)向速度vy、汽車橫擺角速度γ和汽車前輪轉(zhuǎn)向角δf作為狀態(tài)變量，將左前、右前、左后、右后的輪胎縱向滑移率λli和汽車前輪轉(zhuǎn)向角變化率ω做控制變量，則基于式（1）～式（14）可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

式中χ和υ分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和控制向量，可表示為

假設(shè)汽車高速緊急換道避障工況的初始車速為v0，道路寬度為l0，則由系統(tǒng)狀態(tài)向量在初始時(shí)刻t0和終止時(shí)刻tf的約束可得到如下邊界條件：

考慮汽車制動(dòng)系統(tǒng)和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)性能約束，可得如下路徑約束：

式中：λlmax為 制動(dòng)工況下輪胎地面合成附著系數(shù)峰值對(duì)應(yīng)的輪胎縱向滑移率；δfmax和ωmax分別為最大前輪轉(zhuǎn)向角和最大前輪轉(zhuǎn)向角速率。

考慮輪胎摩擦圓約束，可得如下路徑約束：

式中：μres，max為 輪胎地面合成附著系數(shù)峰值；η為修正因子，本文中取η=0.6。

在汽車高速緊急換道避障過程中，通常要求汽車行駛的縱向距離最小。因此，汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制模型可以描述為

1.2 高速緊急換道避障最優(yōu)控制律求解

汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制問題可通過Radau偽譜法轉(zhuǎn)化為包含一系列代數(shù)方程約束的非線性規(guī)劃問題。首先，采用式（22）歸一化汽車高速緊急換道避障過程的時(shí)間區(qū)間［t0，tf］，即將時(shí)間區(qū)間［t0，tf］中的任意時(shí)刻t變換為 τ∈［-1，+1］。

基于歸一化后的時(shí)間變量 τ∈［-1，+1］，汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制問題的狀態(tài)向量與控制向量可以近似表示為

式中：τN+1=1為結(jié)束時(shí)刻的末配置點(diǎn)；｛τ1，…，τN｝為Legendre多項(xiàng)式PN-1（τ）+PN（τ）=0的根。

基于式（23）和式（24），將式（21）描述的汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制模型離散化為

式中Dij為Radau偽譜法的微分矩陣，可表示為

針對(duì)式（26）描述的汽車高速緊急換道避障非線性規(guī)劃問題，采用非線性規(guī)劃求解器SNOPT進(jìn)行求解［13］，得到滿足狀態(tài)方程、路徑約束和邊界條件約束的最優(yōu)輪胎縱向滑移率和汽車前輪轉(zhuǎn)向角變化率。

2 車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制

2.1 車輪滑移率跟蹤控制模型

制動(dòng)工況下的車輪滑移率是描述車輪運(yùn)動(dòng)過程中滑動(dòng)成分比重的物理量，主要由車輪角速度和汽車縱向速度決定。因此，本文中忽略輪胎側(cè)偏特性、車輪垂向載荷轉(zhuǎn)移等次要因素，基于1/4汽車模型建立包含車輪角速度動(dòng)態(tài)和汽車縱向速度動(dòng)態(tài)的車輪滑移率跟蹤控制模型。

式中：J、r和m1/4分別為車輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、車輪有效滾動(dòng)半徑和1/4整車質(zhì)量和Tb分別為車輪角速度和車輪制動(dòng)力矩。

制動(dòng)工況下的車輪滑移率定義為

2.2 車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律設(shè)計(jì)

離散滑模變結(jié)構(gòu)控制理論對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，并且適用于計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制。因此，離散滑模變結(jié)構(gòu)控制理論在工程領(lǐng)域得到了一系列應(yīng)用［14-15］。但是，離散滑模變結(jié)構(gòu)控制理論存在固有的“抖振”，影響閉環(huán)控制系統(tǒng)的品質(zhì)。鑒于此，本文中通過自適應(yīng)調(diào)整控制律中符號(hào)項(xiàng)的增益系數(shù)來降低離散滑模變結(jié)構(gòu)控制理論產(chǎn)生的“抖振”，并得到定理1描述的車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律。

定理1 針對(duì)式（33）描述的離散系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如下車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律：

則閉環(huán)系統(tǒng)的平衡原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

由式（42）可知：當(dāng)S（k）≠0時(shí)，ΔV（k）＜0。因此，S（k）=0是全局漸近穩(wěn)定的平衡面。同時(shí)，由式（35）可知，閉環(huán)系統(tǒng)的平衡原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

3 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)中采用高精度的車輛動(dòng)力學(xué)軟件MSCCar-Sim構(gòu)建模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，并通過汽車高速緊急左換道避障仿真工況和汽車高速緊急右換道避障仿真工況驗(yàn)證所提出的汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略的可行性和有效性。仿真過程中，車輛和控制策略參數(shù)如表1所示。

3.1 汽車高速緊急左換道避障仿真工況

在汽車高速緊急左換道避障仿真工況中，路面附著系數(shù)設(shè)置為1，初始車速設(shè)置為33.33 m/s，道路寬度設(shè)置為3.75 m，仿真結(jié)果如圖2～圖11所示，依次為目標(biāo)軌跡與實(shí)際軌跡、汽車速度與輪速、汽車側(cè)向加速度、汽車橫擺角與橫擺角速度、汽車前輪轉(zhuǎn)向角、左前車輪滑移率、右前車輪滑移率、左后車輪滑移率、右后車輪滑移率和車輪制動(dòng)力矩。

表1 車輛和控制策略參數(shù)

圖2 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：目標(biāo)軌跡與實(shí)際軌跡

圖3 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：汽車速度與輪速

圖4 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：汽車側(cè)向加速度

圖5 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：汽車橫擺角與橫擺角速度

圖6 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：汽車前輪轉(zhuǎn)向角

由圖2～圖11可見，車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律可快速、穩(wěn)定地跟蹤汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略輸出的目標(biāo)車輪滑移率，為汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略可靠運(yùn)行奠定了重要基礎(chǔ)。仿真結(jié)果表明，在汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略輸出的目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)向角和車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律輸出的車輪制動(dòng)力矩聯(lián)合作用下，汽車側(cè)向加速度滿足預(yù)先設(shè)定的輪胎摩擦圓約束，并且汽車可以準(zhǔn)確、穩(wěn)定地跟蹤汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略規(guī)劃出的避障軌跡，實(shí)現(xiàn)高速緊急換道避障功能。

圖7 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：左前車輪滑移率

圖8 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：右前車輪滑移率

圖9 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：左后車輪滑移率

3.2 汽車高速緊急右換道避障仿真工況

在汽車高速緊急右換道避障仿真工況中，路面附著系數(shù)設(shè)置為1，初始車速設(shè)置為27.78 m/s，道路寬度設(shè)置為3.75 m，仿真結(jié)果如圖12～圖21所示，依次為目標(biāo)軌跡與實(shí)際軌跡、汽車速度與輪速、汽車側(cè)向加速度、汽車橫擺角與橫擺角速度、汽車前輪轉(zhuǎn)向角、左前車輪滑移率、右前車輪滑移率、左后車輪滑移率、右后車輪滑移率和車輪制動(dòng)力矩。

圖10 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：右后車輪滑移率

圖11 汽車高速緊急左換道避障仿真結(jié)果：車輪制動(dòng)力矩

圖12 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：目標(biāo)軌跡與實(shí)際軌跡

圖13 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：汽車速度與輪速

圖14 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：汽車側(cè)向加速度

圖15 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：汽車橫擺角與橫擺角速度

由圖12～圖21可見，車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律可快速、穩(wěn)定地跟蹤汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略輸出的目標(biāo)車輪滑移率。仿真結(jié)果表明，在汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略輸出的目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)向角和車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律輸出的車輪制動(dòng)力矩聯(lián)合作用下，汽車側(cè)向加速度滿足預(yù)先設(shè)定的輪胎摩擦圓約束，并且汽車可以準(zhǔn)確、穩(wěn)定地跟蹤汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略規(guī)劃出的避障軌跡，實(shí)現(xiàn)高速緊急換道避障功能。

圖16 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：汽車前輪轉(zhuǎn)向角

圖17 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：左前車輪滑移率

圖18 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：右前車輪滑移率

圖19 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：左后車輪滑移率

圖20 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：右后車輪滑移率

圖21 汽車高速緊急右換道避障仿真結(jié)果：車輪制動(dòng)力矩

4 結(jié)論

本文中提出了一種基于Radau偽譜法的汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制策略。利用Radau偽譜法將基于汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型推導(dǎo)出汽車高速緊急換道避障最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，通過求解該非線性規(guī)劃問題得到實(shí)現(xiàn)汽車高速緊急換道避障功能所需要的目標(biāo)輪胎縱向滑移率和目標(biāo)前輪轉(zhuǎn)向角變化率。采用離散滑模變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計(jì)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾具有強(qiáng)魯棒性的車輪滑移率自適應(yīng)滑模跟蹤控制律，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)輪胎縱向滑移率的跟蹤控制?；诟呔鹊能囕v動(dòng)力學(xué)軟件構(gòu)建模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，驗(yàn)證所提控制策略的可行性和有效性，結(jié)果表明：所提控制策略可以快速、準(zhǔn)確、穩(wěn)定地引導(dǎo)汽車完成高速緊急換道避障功能，極大地提高了汽車主動(dòng)安全性。