吳建武 吳 浩 張惠平

北京航天自動控制研究所，北京 100854

0 引言

穩(wěn)定裕度[1]，包括幅值裕度和相位裕度，是度量控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要指標(biāo)，在工程應(yīng)用上具有重要的指導(dǎo)意義。關(guān)于各類控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的研究，特別是穩(wěn)定裕度的計(jì)算[2-4]與在線辨識[5-7]方法，一直是控制理論研究中的一個重要內(nèi)容。

穩(wěn)定裕度同樣也是各類導(dǎo)彈(火箭)姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中的重要指標(biāo)。當(dāng)導(dǎo)彈(火箭)飛行狀態(tài)和預(yù)設(shè)值發(fā)生偏離時，姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度將不可避免地與設(shè)計(jì)結(jié)果存在偏差，甚至超出穩(wěn)定要求，嚴(yán)重時將導(dǎo)致飛行失利。針對這一情況，眾多學(xué)者提出了提高姿態(tài)控制系統(tǒng)對偏差適應(yīng)能力的方案，這包括從模型著手，如通過辨識風(fēng)場建立更為精確的被控對象模型的方案[8]，以及從控制器著手，如通過魯棒動態(tài)逆[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容錯控制[10]、自適應(yīng)控制[11]、智能控制[12]等的方案。

研究在線辨識姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的方法，并基于穩(wěn)定裕度辨識結(jié)果在線調(diào)整控制參數(shù)，使穩(wěn)定裕度重新“回到”穩(wěn)定要求范圍之內(nèi)則是一種最為直接的方案。建立控制參數(shù)與穩(wěn)定裕度之間的映射關(guān)系，是實(shí)現(xiàn)在線調(diào)整姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的基礎(chǔ)。

鑒于控制參數(shù)與穩(wěn)定裕度之間的映射關(guān)系的重要性，本文將針對固體導(dǎo)彈(火箭)主動段姿態(tài)控制系統(tǒng)，研究基于解析方式建立控制參數(shù)與幅值(相位)裕度映射公式的方法，并利用數(shù)學(xué)仿真對映射公式的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 被控對象描述

對于固體導(dǎo)彈(火箭)的主動段，影響姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的主要因素有導(dǎo)彈(火箭)本體特性、單機(jī)特性和控制器特性。由于慣組(平臺)的帶寬通常遠(yuǎn)高于伺服機(jī)構(gòu)的帶寬，為了簡化問題，單機(jī)特性方面本文僅考慮伺服機(jī)構(gòu)的特性?？紤]到導(dǎo)彈(火箭)的偏航通道與俯仰通道類似，本文只對俯仰通道進(jìn)行討論。另外，考慮到固體導(dǎo)彈(火箭)的彈性運(yùn)動頻率一般遠(yuǎn)高于彈(箭)體的截止頻率，本文在對控制參數(shù)與剛體穩(wěn)定裕度映射關(guān)系的研究過程中，忽略彈性運(yùn)動的影響。

1.1 剛體運(yùn)動模型

固體導(dǎo)彈(火箭)姿態(tài)運(yùn)動剛體部分的傳遞函數(shù)在彈(箭)體靜穩(wěn)定時為[13]：

(1)

在彈(箭)體靜不穩(wěn)定時為[13]：

(2)

式中：

k0=(b3fc1f-b3fc2f-b2fc3f)/(b2fc2f)，

ωz1=(b3fc1f-b3fc2f-b2fc3f)/b3f，

ωp2=

1.2 伺服機(jī)構(gòu)模型

本文按下述傳遞函數(shù)考慮伺服機(jī)構(gòu)特性，

(3)

1.3 控制器構(gòu)型

本文采用的控制器的傳遞函數(shù)形式為：

(4)

在控制器GC(s)中有ωcp>ωcz。在本文的討論過程中，忽略離散化過程對控制器幅相特性的影響。

1.4 姿控回路開環(huán)幅相特性

考慮導(dǎo)彈(火箭)本體特性、伺服機(jī)構(gòu)特性和控制器特性等因素后，俯仰通道姿態(tài)控制回路開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=-GV(s)GS(s)GC(s)

(5)

在靜穩(wěn)定情形，當(dāng)滿足|ωp2|<ω?|ωz2|時，或靜不穩(wěn)定情形，當(dāng)滿足max(|ωp2|,|ωp3|)<ω?|ωz2|時，忽略公式里的小量部分，G(s)的對數(shù)幅頻特性函數(shù)可以近似如下:

(6)

同理，G(s)的對數(shù)相頻特性函數(shù)可以近似如下:

(7)

2 控制參數(shù)與幅值裕度的映射關(guān)系

2.1 幅值裕度計(jì)算

(8)

注意到，ωφ滿足ωφ?ωs，如果在選取控制參數(shù)時，使ωcz和ωcp分別滿足ωcz?ωφ和ωcp?ωφ，那么忽略式(6)中的小量，可以將俯仰通道幅值裕度計(jì)算公式進(jìn)一步化簡為：

(9)

根據(jù)上式，就可以利用導(dǎo)彈(火箭)模型參數(shù)(b3f)、伺服機(jī)構(gòu)模型參數(shù)(ωs和ξs)、控制器參數(shù)(kc，ωcp和ωcz)近似計(jì)算俯仰通道幅值裕度。利用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)可知，當(dāng)-L(G(jωφ))>0時，姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定并擁有足夠的幅值裕度，在設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器參數(shù)kc，ωcp和ωcz時，需要將式(9)“≈”號的右邊設(shè)計(jì)為恰當(dāng)?shù)恼怠?/p>

2.2 控制參數(shù)與幅值裕度映射公式

根據(jù)式(9)，可以分別得到控制參數(shù)與幅值裕度的對應(yīng)關(guān)系為：

L1(kc)=-20lgkc

(10)

控制參數(shù)ωcp和ωcz與幅值裕度的對應(yīng)關(guān)系為：

(11)

導(dǎo)彈(火箭)模型參數(shù)b3f、伺服模型參數(shù)ωs和ξs與幅值裕度的對應(yīng)關(guān)系為：

(12)

根據(jù)式(10)和式(11)，可以直接得到控制參數(shù)kc，ωcp和ωcz變化時，對應(yīng)的-L(G(jωφ))的變化量，即分別建立了控制參數(shù)kc，ωcp和ωcz與幅值裕度之間的一種映射關(guān)系。從式(10)可以看出，幅值裕度關(guān)于kc單調(diào)遞減。從式(11)可以看出，當(dāng)差值ωcp-ωcz固定時，幅值裕度關(guān)于比值ωcp/ωcz單調(diào)遞減；當(dāng)比值ωcp/ωcz固定時，幅值裕度關(guān)于差值ωcp-ωcz單調(diào)遞增；分別以ωcp/ωcz和ωcp-ωcz為x和y軸坐標(biāo)，可以得到L2(ωcp,ωcz)隨控制參數(shù)ωcp和ωcz變化的曲面如圖1所示。以上單調(diào)性表明，當(dāng)給定幅值裕度的變化量時，可以根據(jù)式(10)，或者式(11)確定kc，ωcp和ωcz的調(diào)節(jié)量。

圖1 控制參數(shù)ωcp和ωcz與幅值裕度映射關(guān)系

3 控制參數(shù)與幅值裕度的映射關(guān)系

3.1 基于代數(shù)方程求解的相位裕度計(jì)算

(13)

3.2 基于區(qū)間近似的相位裕度計(jì)算

根據(jù)前面的討論，雖然俯仰通道姿態(tài)控制系統(tǒng)的相位裕度可以通過求解三次代數(shù)方程得到，但是計(jì)算結(jié)果與模型參數(shù)b2f和b3f存在復(fù)雜的非線性關(guān)系，無法類似于幅值裕度情形，進(jìn)一步直接建立控制參數(shù)與相位裕度的映射關(guān)系。

下面根據(jù)俯仰通道姿態(tài)控制回路開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的對數(shù)相頻特性函數(shù)的特點(diǎn)，通過迭代逐步縮小包含頻率點(diǎn)ωL的區(qū)間。在完成若干次迭代之后，將θ(G)-(-π)在區(qū)間端點(diǎn)處的值作為相位裕度值，進(jìn)而得到簡化的相位裕度計(jì)算公式，并建立不含模型參數(shù)的控制參數(shù)與相位裕度的映射關(guān)系。

為了保證姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，選取的控制參數(shù)kc需要滿足kc>-b2f/b3f[13]，即有b3f·kc+b2f>0。因此可以定義數(shù)列{ω1,n}：

(14)

和數(shù)列{ω2,n}：

(15)

在式(14)和式(15)中，函數(shù)f(x)定義為：

(16)

顯然，該函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增。

注意到，b3f和kc均為正數(shù)，因此有

(17)

式(17)表明，數(shù)列{ω1,n}單調(diào)遞增。

同理，由

(18)

可知，數(shù)列{ω2,n}單調(diào)遞減。

因此，由式(13)，或者等價的下式

(19)

可知，數(shù)列{ω1,n}和數(shù)列{ω2,n}均收斂，并且均收斂于ωL。令

(20)

顯然有，

-∞

(21)

對于n=1,2,…,N，如果在設(shè)計(jì)控制參數(shù)時讓kc滿足

(22)

那么，根據(jù)式(17)～(22)式可得

[ωcpx1ωcz1-x1,ωcp1-x1ωczx1]?
[ωcpx2ωcz1-x2,ωcp1-x2ωczx2]?
?
[ωcpxNωcz1-xN,ωcp1-xNωczxN]

(23)

并且，

ωL∈[ωcpxNωcz1-xN,ωcp1-xNωczxN]

(24)

另外一方面，注意到?x∈(-∞,1/2]，控制器相頻特性曲線滿足

(25)

(26)

因此，在代入θ(G(jωL))-(-π)近似計(jì)算俯仰通道相位裕度時，可以用ωcpxNωcz1-xN或者ωcp1-xNωczxN替代ωL，即當(dāng)條件(22)滿足時，俯仰通道姿態(tài)控制系統(tǒng)相位裕度可近似為

(27)

3.3 控制參數(shù)與相位裕度映射公式

將式(27)“≈”號右邊的兩項(xiàng)分別記為

(28)

和

(29)

顯然有θ1(ωcp,ωcz)?θ2(ωcp,ωcz,ξs)，即θ2(ωcp,ωcz,ξs)相對于θ1(ωcp,ωcz)為小量。而θ1(ωcp,ωcz)僅與控制參數(shù)ωcz和ωcp相關(guān)，因此根據(jù)θ1(ωcp,ωcz)就可以得到控制參數(shù)ωcp和ωcz變化時，對應(yīng)的θ(G(jωL))-(-π)的變化量，即分別建立了控制參數(shù)ωcp和ωcz與相位裕度之間的一種映射關(guān)系。從式(28)可以看出，相位裕度關(guān)于ωcz單調(diào)遞減，關(guān)于ωcp則單調(diào)遞增。

作為例子，當(dāng)取xN=0.18時，分別以控制參數(shù)ωcp和ωcz為x軸和y軸，可以得到θ1(ωcp,ωcz)隨控制參數(shù)ωcp和ωcz變化的曲面如圖2所示。

圖2 控制參數(shù)ωcp和ωcz與相位裕度映射關(guān)系

4 應(yīng)用算例與數(shù)學(xué)仿真

在基于控制參數(shù)與幅值裕度映射關(guān)系式(10)確定與期望的幅值裕度變化量對應(yīng)的控制參數(shù)kc的變化量時，可以通過下面三階泰勒展式計(jì)算得到控制參數(shù)kc的相對變化量，

(30)

式中:ΔL為期望的幅值裕度變化量。

在基于控制參數(shù)與幅值裕度映射關(guān)系式(11)，或者基于控制參數(shù)與相位裕度映射關(guān)系式(28)，確定與期望的幅值裕度或者相位裕度變化量對應(yīng)的控制參數(shù)ωcz和ωcp的變化量時，則可以采用兩分法、割線法、牛頓法等迭代方法。

以某火箭為背景進(jìn)行仿真驗(yàn)證時，在某偏差狀態(tài)下飛行的80s～100s，期望的幅值裕度按幅值為3dB、頻率為0.1Hz的正弦規(guī)律進(jìn)行變化。通過對控制參數(shù)kc的在線調(diào)節(jié)，幅值裕度調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)的效果如圖3所示，從圖可以看出，較好地實(shí)現(xiàn)了期望的幅值裕度變化規(guī)律。

圖3 某偏差狀態(tài)下幅值裕度在線調(diào)節(jié)效果

某偏差狀態(tài)下，在火箭飛行的75s～95s，期望的相位裕度按幅值為12°、頻率為0.1Hz的正弦規(guī)律進(jìn)行變化。通過對控制參數(shù)ωcp的在線調(diào)節(jié)，相位裕度調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)的效果如圖4所示，從圖可以看出，較好地實(shí)現(xiàn)了期望的相位裕度變化規(guī)律。

圖4 某偏差狀態(tài)下相位裕度在線調(diào)節(jié)效果

5 結(jié)論

采用解析方式，建立了固體導(dǎo)彈(火箭)姿態(tài)控制參數(shù)與穩(wěn)定裕度之間的映射關(guān)系，該映射關(guān)系可應(yīng)用于姿態(tài)控制系統(tǒng)在線調(diào)節(jié)裕度，并通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了映射關(guān)系的有效性。

考慮到在建立解析映射關(guān)系的過程中采取了一些近似處理，后續(xù)可以通過深入研究，提高映射關(guān)系的精度，同時將映射關(guān)系的適用范圍推廣到考慮彈(箭)體彈性影響的更廣泛情形。此外，還可通過進(jìn)一步的研究，與各類穩(wěn)定裕度在線辨識方法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定裕度調(diào)節(jié)回路的閉環(huán)。