妙用坐標(biāo)系確定球心位置

陳旋輝

(廣東省興寧市第一中學(xué)，514500)

求多面體外接球的表面積與體積是立體幾何的熱點(diǎn)問題.求解時(shí)通常需要借助球心求出球的半徑,從而求出球的表面積或體積.在球心及半徑不易確定時(shí),通過建立空間直角坐標(biāo)系能幫助我們迅速解決此類問題.

解建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.如圖1,過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D,因平面PAC⊥平面ABC,故PD⊥平面ABC.

設(shè)外接球心為點(diǎn)O,O′為BC的中點(diǎn),則O′為Rt?ABC的外心,且OO′⊥平面ABC.設(shè)O(2,2,z),由|OP|=|OA|,可得 (2-0)2+(2-3)2+(z-1)2=22+22+z2,解得z=-1.

評注易知三棱錐外接球的球心在經(jīng)過面三角形的外心,且垂直于此三角形所在平面的直線上.利用建系及外接球的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確假設(shè)并求出球心坐標(biāo).

建立空間直角坐標(biāo)系E—xyz，如圖2,則A(1,0,1),C(0,2,0).因?yàn)锽C2+BD2=16=CD2，所以?BCD是直角三角形,點(diǎn)E為?BCD的外心.設(shè)三棱錐的球心為O，則OE⊥平面BCD.可設(shè)O(0,0,z)，球的半徑為R,則 由R=|OA|=|OC|,可得(0-1)2+(0-0)2+(z-1)2=(0-0)2+(0-2)2+(z-0)2,解得z=-1.

S=4πR2=20π.

評注當(dāng)萬事俱備的時(shí)候,建系確定球心的位置猶如吹來的東風(fēng),使問題簡單明了,減少了許多煩瑣的運(yùn)算.