小小五角星 蘊(yùn)含大學(xué)問

王維松

在“平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）”這一章中，教材上有這樣一個(gè)問題：

如圖1，在五角星形ABCDE中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于多少度？請(qǐng)加以證明。

相信你不假思索就說出了結(jié)果，而且能用一些方法進(jìn)行證明。

下面歸納了三種求五角星五個(gè)角度數(shù)之和的常用方法，順便帶領(lǐng)同學(xué)們復(fù)習(xí)之前學(xué)過的內(nèi)容。

（方法一）證明：如圖2，

∵∠BOF是△AOD的外角，∴∠BOF=∠A+∠D。

∵∠BFO是△CEF的外角，∴∠BFO=∠C+∠E。

∵在△BFO中，∠B+∠BFO+∠BOF=180°，

∴∠B+（∠C+∠E）+（∠A+∠D）=180°，

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

這種方法直接運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理的推論，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，把三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)化為外角，又通過三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果。

（方法二）教材上還探究過圖3中的∠A、∠B、∠C、∠BDC之間的關(guān)系，即∠A+∠B+∠C=∠BDC。

這個(gè)圖形的形狀像飛鏢，又叫“飛鏢”模型圖，也叫“A”型模型圖。運(yùn)用它也可以快速求出五角星五個(gè)角度之和。

證明：如圖4，由“飛鏢”模型圖，得∠1=∠E+∠B+∠C。

∵∠1與∠2是對(duì)頂角，

∴∠1=∠2。

∵在△AOD中，∠2+∠A+∠D=180°，

∴∠1+∠A+∠D=180°，

∴（∠E+∠B+∠C）+∠A+∠D=180°，

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

（方法三）教材上證明了這樣一個(gè)結(jié)論：

如圖5，AD、BC相交于點(diǎn)O，則∠A+∠B=∠C+∠D。

因?yàn)檫@個(gè)圖形像數(shù)字“8”，所以又叫“8”字模型圖。直接運(yùn)用這個(gè)結(jié)論，可以快速找到突破口。

證明：如圖6，連接BC，由“8”字模型圖，得∠A+∠D=∠1+∠2。

∵在△BCE中，∠E+∠EBC+∠ECB=180°，

即∠E+（∠1+∠3）+（∠2+∠4）=180°，即∠E+（∠1+∠2）+∠3+∠4=180°，∴∠E+（∠A+∠D）+∠3+∠4=180°，

即∠A+∠EBD+∠ACE+∠D+∠E=180°。

對(duì)于很多關(guān)于角的數(shù)學(xué)問題，我們可以運(yùn)用“飛鏢”模型圖或“8”字模型圖，快速找到解題方法。解決問題的關(guān)鍵還是從復(fù)雜的幾何圖形中分離出基本圖形。

在幾何問題中，通過已知條件往往很難找到已知量與所求的量之間的關(guān)系。在這種情況下，我們可以作輔助線，揭示圖形中隱藏的條件;可以將兩個(gè)或兩個(gè)以上不相關(guān)的量通過變換和轉(zhuǎn)化，使它們相對(duì)集中，聚攏到有關(guān)圖形上來，使題設(shè)條件與結(jié)論建立邏輯關(guān)系，從而推導(dǎo)出結(jié)論;可以把復(fù)雜圖形分解成簡(jiǎn)單圖形，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的;還可以通過構(gòu)造新的圖形的方法;等等。對(duì)于求五角星五個(gè)角度數(shù)之和，還有其他方法，有興趣的同學(xué)可以自己嘗試一下。

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國(guó)際學(xué)校）