整式乘法與圖形面積

肖智敏

整式乘法與圖形面積之間有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性——面積的表示必然出現(xiàn)二次式，而簡(jiǎn)單的整式乘法恰是兩個(gè)一次式的積。因此當(dāng)出現(xiàn)二次式的運(yùn)算時(shí)，我們經(jīng)常通過(guò)圖形對(duì)其解讀，進(jìn)而達(dá)到事半功倍的效果。下面通過(guò)幾個(gè)公式說(shuō)明兩者之間的關(guān)系。

一、教材知識(shí)回顧

1.單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式——乘法分配律。

我們都知道乘法分配律公式為a（b+c）=ab+ac，但對(duì)于這個(gè)等式是如何生成的，大部分同學(xué)卻不知道。下面用圖形面積的不同表示方法來(lái)說(shuō)明。

如圖1，長(zhǎng)方形ABCD中，EF將其分成兩個(gè)小的長(zhǎng)方形，AB=a，AE=b，ED=c。試用兩種方法表示長(zhǎng)方形ABCD的面積。

從整體看，S長(zhǎng)方形ABCD=a（b+c），從部分看，S長(zhǎng)方形ABCD=ab+ac，因此a（b+c）=ab+ac。

2.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。

由于已經(jīng)有了生成單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式公式的經(jīng)驗(yàn)，探尋多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的變形規(guī)律，只要類(lèi)比即可。

先構(gòu)造如圖2所示的長(zhǎng)方形，EF、GH將其分成四個(gè)小長(zhǎng)方形。用兩種不同方法表示其面積。

從整體看S長(zhǎng)方形ABCD=（a+b）（m+n），從從上面我們可以看出：借助圖形既可以進(jìn)行整式乘法運(yùn)算，也可對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，甚至可以逆向運(yùn)算，進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解。

二、類(lèi)比應(yīng)用

1.通過(guò)面積的表示，探究完全平方式的變形規(guī)律并應(yīng)用。

問(wèn)題1：如圖3是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用剪刀平均分成4塊小長(zhǎng)方形，然后用4塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖4）。

（1）圖4中的陰影部分的面積為;

（2）觀察圖4，（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關(guān)系是=5，xy=4，則x-y=。9;（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y

2.通過(guò)面積的表示，探究二次三項(xiàng)式的因式分解，并理解多項(xiàng)式乘法與因式分解的關(guān)系。

問(wèn)題2：一天，小嘉在玩紙片拼圖游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)利用圖5中的三種材料各若干，可以拼出一些長(zhǎng)方形來(lái)解釋某些等式。比如，圖6可以解釋?zhuān)╝+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2。

（1）圖7可以解釋為等式：;

（2）用圖5中的基本圖形若干塊（每種至少用一次）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使拼出的長(zhǎng)方形面積為2a2+3ab+b2，請(qǐng)畫(huà)出示意圖，同時(shí)在圖中標(biāo)出這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，并將多項(xiàng)式2a2+3ab+b2因式分解。

3.通過(guò)合理分割長(zhǎng)方形，探究多項(xiàng)式乘法與二次三項(xiàng)式的因式分解，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

問(wèn)題3：【活動(dòng)材料】有若干如圖5所示的長(zhǎng)方形和正方形硬紙片。

【活動(dòng)要求】用若干塊以上硬紙片拼成一個(gè)新長(zhǎng)方形（或正方形），通過(guò)不同的方法計(jì)算面積，探索相應(yīng)的等式。

（1）小明在活動(dòng)時(shí)想拼出一個(gè)兩邊長(zhǎng)分別為（a+3b）、（a+b）的長(zhǎng)方形，則他需要乙型紙片張，丙型紙片張;（2）試借助拼圖的方法，把二次三項(xiàng)式6a2+7ab+2b2分解因式（要求畫(huà)出圖形，并分解因式）;（3）小穎在活動(dòng)時(shí)，共制作了20張硬紙片（每種硬紙片至少一張），用這20張硬紙片能否拼成一個(gè)新正方形？

4.通過(guò)拼圖嘗試，開(kāi)拓思維，進(jìn)一步提升對(duì)知識(shí)的理解。

問(wèn)題4：活動(dòng)材料、要求與問(wèn)題3的相同。

（1）請(qǐng)選擇適當(dāng)形狀和數(shù)量的硬紙片，拼出面積為2b2+3ab+a2的長(zhǎng)方形，畫(huà)出拼法示意圖;（2）從這三種硬紙片中選擇一些拼出面積為12ab的不同形狀的長(zhǎng)方形，則這些長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)共有種不同情況;（3）現(xiàn)有甲型紙片1張，乙型紙片4張，則應(yīng)至少取丙型紙片張才能用它們拼成一個(gè)新的正方形;（4）取其中的若干個(gè)（三種圖形都要取到）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使其面積為a2+nab+24b2，則n可能的整數(shù)值有個(gè)。

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國(guó)際學(xué)校）